復(fù)變函數(shù)競賽試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，且u(x,y)=x2-y2，則v(x,y)的表達式為：A.2xyB.-2xyC.xyD.-xy2.積分∮_{|z|=2}(e^z)/(z-1)dz的值等于：A.2πiB.0C.4πiD.πi3.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為：A.1/2i

B.-1/2i

C.i/2D.-i/24.函數(shù)f(z)=sin(z)/z3在z=0處的奇點類型為：A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.非孤立奇點5.解析函數(shù)f(z)在z?處的泰勒展開式中，n=1項的系數(shù)為：A.f'(z?)B.f''(z?)/2!C.f'''(z?)/3!D.f(z?)6.設(shè)f(z)在單位圓盤內(nèi)解析，且|f(z)|<1，f(0)=0，則|f'(0)|的最大值為：A.1B.1/2C.2D.1/47.積分∫_{0}^{i}(1+z)dz沿直線段的值為：A.i-1/2

B.i+1/2

C.-i+1/2

D.-i-1/28.函數(shù)f(z)=ln(z)在z=1處的導(dǎo)數(shù)為：A.1

B.iC.-1

D.-i9.解析函數(shù)f(z)的實部u(x,y)=x3-3xy2，則f(z)的表達式為：A.z3+CB.z3+iCC.z3+izD.z3+i10.積分∮_{|z|=3}(dz)/(z2+2z+5)的值為：A.0B.πi

C.2πi

D.π11.函數(shù)f(z)=e^(1/z)在z=0處的奇點類型為：A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.非孤立奇點12.解析函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式中，負冪項最高次數(shù)為-3，則z?為：A.可去奇點

B.三階極點

C.本性奇點

D.一階極點13.積分∫_{-i}^{i}(dz)/(1+z2)沿實軸的值為：A.πiB.0C.π/2D.-π/214.函數(shù)f(z)=z2sin(1/z)在z=0處的奇點類型為：A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.非孤立奇點15.解析函數(shù)f(z)滿足f(1/n)=(1+n)/n2，則f(z)在z=0處的性質(zhì)為：A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.非孤立奇點16.積分∮_{|z|=4}(z2+1)dz/(z-2)3的值為：A.8πiB.4πiC.16πiD.017.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0處的留數(shù)為：A.1B.-1C.0D.218.解析函數(shù)f(z)的虛部v(x,y)=2xy，則f(z)的表達式為：A.z2+CB.z2+iCC.z2+izD.z2+i19.積分∫_{C}(dz)/(z-a)，其中C為正向圓周|z|=2，a=1+i且|a|<2，則積分值為：A.2πiB.0C.πiD.4πi20.函數(shù)f(z)=cos(z)/z在z=0處的奇點類型為：A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.非孤立奇點二、多項選擇題（每題2分，共40分）1.解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足u(x,y)=e^xcosy，則可能的v(x,y)表達式包括：A.e^xsinyB.-e^xsinyC.e^xsiny+C

D.-e^xsiny+C2.關(guān)于積分∮_{|z|=1}(dz)/(z2+1)，下列說法正確的有：A.被積函數(shù)在單位圓內(nèi)有兩個一階極點B.積分值為0C.積分值等于πiD.被積函數(shù)在單位圓內(nèi)解析3.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z-2)在z=1和z=2處的留數(shù)正確的有：A.z=1處留數(shù)為-1B.z=1處留數(shù)為1C.z=2處留數(shù)為-1D.z=2處留數(shù)為14.解析函數(shù)f(z)在z?處的泰勒級數(shù)展開式中，下列說法正確的有：A.收斂半徑等于到最近奇點的距離B.系數(shù)a_n=f^(n)(z?)/n!C.展開式唯一D.收斂區(qū)間一定包含z?5.關(guān)于積分∫_{C}f(z)dz，其中f(z)解析，C為閉合曲線，下列說法正確的有：A.若f(z)在C內(nèi)解析，則積分值為0B.積分值與路徑無關(guān)C.若f(z)在C上有奇點，則積分值可能不為0D.積分值只與起點終點有關(guān)6.函數(shù)f(z)=ln(z)在割線岸|z|>0,0<argz<2π下，下列說法正確的有：A.在正實軸上不連續(xù)B.導(dǎo)數(shù)為1/zC.在負實軸上不連續(xù)D.是多值函數(shù)7.關(guān)于極點，下列說法正確的有：

A.m階極點處洛朗展開負冪項最高次數(shù)為-m

B.一階極點處留數(shù)等于(z-z?)f(z)在z?處的極限

C.極點處函數(shù)值趨于無窮D.極點一定是孤立奇點8.解析函數(shù)f(z)滿足f(1/n)=1/n2，則可能的f(z)表達式包括：A.z2B.z2+C(z-1)

C.z2+1/nD.z2+o(z2)9.關(guān)于積分∮_{|z|=R}(dz)/(z^n+1)，n為正整數(shù)，下列說法正確的有：A.當R>1時，積分值與n有關(guān)B.當R<1時，積分值為0C.積分值等于2πi乘以所有在圓內(nèi)的極點留數(shù)和D.當R=1時，積分值可能不為010.函數(shù)f(z)=sinz/z在z=0處的性質(zhì)，下列說法正確的有：A.是可去奇點B.定義f(0)=1可使其解析C.留數(shù)為0D.洛朗展開無負冪項三、判斷題（每題1分，共10分）1.解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。（）2.若f(z)在簡單閉曲線C上解析，則∫_{C}f(z)dz=0。（）3.極點的留數(shù)一定是非零的。（）4.本性奇點處的洛朗展開有無限多項負冪項。（）5.若f(z)在z?處可導(dǎo)，則f(z)在z?的某鄰域內(nèi)解析。（）6.積分∫_{C}(dz)/(z-a)的值與路徑C的形狀無關(guān)，只要起點終點相同。（）7.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。（）8.若f(z)在z?處有極點，則1/f(z)在z?處有可去奇點。（）9.調(diào)和函數(shù)一定可以表示為某個解析函數(shù)的實部。（）10.積分∮_{|z|=R}(dz)/(z-a)的值等于2πi，當且僅當a在圓內(nèi)。（）四、填空題（每題1分，共10分）1.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u=xy，則v(x,y)=________+C。2.積分∮_{|z|=2}(dz)/(z2+4)的值為________。3.函數(shù)f(z)=1/(z-1)2在z=1處的留數(shù)為________。4.解析函數(shù)f(z)在z?處的泰勒展開式中，a?=________。5.積分∫_{0}^{πi}e^zdz的值為________。6.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的奇點類型為________。7.若f(z)在單位圓盤內(nèi)解析，|f(z)|≤1，f(0)=i/2，則|f'(0)|≤________。8.解析函數(shù)f(z)的虛部v=x2-y2，則f(z)=________+C。9.積分∮_{|z|=3}(zdz)/(z2+1)的值為________。10.函數(shù)f(z)=e^z/(z-1)在z=1處的留數(shù)為________。答案：一、單項選擇題1.A2.A3.B4.B5.A6.A7.A8.A9.A10.A11.C12.B13.B14.C15.A16.A17.

B18.A19.A20.A二、多項選擇題1.BC2.AB3.AC4.ABC5