第３章基本形體的投影規(guī)律3.1平面體的投影3.2回轉(zhuǎn)體的投影

3.1平面體的投影

3.1.1棱柱

棱柱是由兩個(gè)全等的多邊形底面和矩形(直棱柱時(shí))或平行四邊形(斜棱柱時(shí))的側(cè)棱面圍成的。

圖3-1所示為一正置正六棱柱的直觀(guān)圖及投影圖。正六棱柱由上、下兩個(gè)相同的正六邊形底面和六個(gè)相同的矩形側(cè)棱面圍成。前后兩個(gè)棱面放置為平行于V面，上下兩底面平行于H面。

1．投影分析和畫(huà)法

由于正六棱柱的頂面和底面為水平面，因此其水平投影重合為反映實(shí)形的正六邊形，正面投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于相應(yīng)投影軸的水平直線(xiàn)段；前、后兩個(gè)側(cè)棱面為正平面，其正面投影反映實(shí)形且重合，水平投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于相應(yīng)投影軸的水平直線(xiàn)段和鉛垂直線(xiàn)段；其余側(cè)棱面都為鉛垂面，它們的水平投影分別積聚成斜線(xiàn)段并重合在正六邊形的邊上，正面投影和側(cè)面投影均為類(lèi)似形(矩形)。在實(shí)際應(yīng)用中，往往不畫(huà)投影軸。但三個(gè)投影必須保持主、俯長(zhǎng)對(duì)正，主、左高平齊和俯、左寬相等的投影關(guān)系。畫(huà)正六棱柱投影時(shí)，先畫(huà)出各投影的對(duì)稱(chēng)中心線(xiàn)，再畫(huà)出反映棱柱底面實(shí)形的投影即水平投影正六邊形，然后根據(jù)投影關(guān)系畫(huà)出它們的正面和側(cè)面投影，如圖3-1(b)所示。應(yīng)注意，當(dāng)棱線(xiàn)投影與中心線(xiàn)重合時(shí)應(yīng)畫(huà)成粗實(shí)線(xiàn)。

觀(guān)察各種直棱柱如工字形柱、燕尾槽形柱等的投影，會(huì)發(fā)現(xiàn)直棱柱的投影規(guī)律為：一個(gè)投影反映棱柱的形狀特征；另兩個(gè)投影都是由實(shí)線(xiàn)或虛線(xiàn)圍成的矩形線(xiàn)框。圖3-1正六棱柱的直觀(guān)圖及投影圖

2．棱柱表面取點(diǎn)

在棱柱表面取點(diǎn)的原理和方法與在平面上取點(diǎn)相同。由于正置棱柱的各個(gè)表面都為特殊位置平面，因此，在其表面取點(diǎn)可利用平面投影的積聚性原理作圖，并應(yīng)標(biāo)明點(diǎn)的可見(jiàn)性。例如已知正六棱柱表面上M點(diǎn)的正面投影，要作出水平投影m和側(cè)面投影，如圖3-1所示。由于點(diǎn)M的正面投影是可見(jiàn)的，因此點(diǎn)M在左前方的側(cè)棱面ABCD上，而棱面ABCD的水平投影為直線(xiàn)段abcd，故作垂線(xiàn)與abcd的交點(diǎn)即為水平投影m。根據(jù)點(diǎn)的三面投影規(guī)律，由m′和m可求出側(cè)面投影。由于面ABCD的側(cè)面投影可見(jiàn)，因此點(diǎn)M的側(cè)面投影也可見(jiàn)。水平投影m也按可見(jiàn)處理。3.1.2棱錐

棱錐是由幾個(gè)三角形的側(cè)棱面和一個(gè)多邊形的底面圍成的。各側(cè)棱面為共頂點(diǎn)的三角形。

圖3-2所示為一正三棱錐，底面為等邊三角形，三個(gè)側(cè)面為全等的等腰三角形。底面放置成水平位置，并使棱錐左右對(duì)稱(chēng)(后棱面垂直于W面)。

1．投影分析和畫(huà)法

因?yàn)榈酌鍭BC為水平面，所以其水平投影abc反映實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影均積聚為水平線(xiàn)段。棱面SAB和SBC為一般位置平面，三面投影均為縮小的類(lèi)似三角形。因該兩棱面左、右對(duì)稱(chēng)，故側(cè)面投影重合。棱面SAC為側(cè)垂面，所以側(cè)面投影sa(c′)積聚為斜線(xiàn)段，水平投影和側(cè)面投影為縮小的類(lèi)似三角形，如圖3-2(b)所示。

作圖時(shí)，先畫(huà)出各投影的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)，然后畫(huà)底面的水平投影和另兩面投影，再畫(huà)頂點(diǎn)的各面投影并連接各點(diǎn)即可。

2．在棱錐表面取點(diǎn)

凡屬于棱錐特殊位置表面上的點(diǎn)，都可利用表面投影的積聚性直接求得，而屬于一般位置表面上的點(diǎn)，可通過(guò)在該面上作輔助線(xiàn)求得。如已知棱錐表面上點(diǎn)M的正面投影m′，求其另兩面投影m和m″。由于m′可見(jiàn)，因此點(diǎn)M在棱面SAB上，其水平投影m可在該面上過(guò)點(diǎn)M作輔助線(xiàn)ⅠⅡ或SⅢ求得(即在正面投影中過(guò)點(diǎn)m′作輔助線(xiàn)1′2′或s′3′及輔助線(xiàn)的水平投影12或s3，并根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，在輔助線(xiàn)上作出點(diǎn)M的水平投影m)。然后由m′、m可求出側(cè)面投影m″。由于點(diǎn)M所在棱面SAB的三面投影都可見(jiàn)，因此點(diǎn)的水平投影m和側(cè)面投影m″也都可見(jiàn)，如圖3-2(b)所示。圖3-2正三棱錐的直觀(guān)圖及投影圖

3.2回轉(zhuǎn)體的投影

3.2.1圓柱

圓柱是由圓柱面和頂圓平面、底圓平面圍成的。圓柱面是由一條直母線(xiàn)繞與其平行的軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的。

圖3-3為軸線(xiàn)處于鉛垂線(xiàn)位置時(shí)的圓柱直觀(guān)圖及投影圖。圖3-3圓柱的投影

1．投影分析和畫(huà)法

圓柱的頂圓平面、底圓平面為水平面，其水平投影反映實(shí)形且重合，正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線(xiàn)段，且直線(xiàn)段長(zhǎng)度等于頂、底圓的直徑。

圓柱面因其軸線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)，故圓柱面為鉛垂面，其水平投影積聚為一圓，且與頂、底圓平面輪廓線(xiàn)的投影圓周相重合。圓柱面上所有素線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)，其水平投影積聚為點(diǎn)，且落在圓柱面的積聚投影圓周上；圓柱面的正面投影應(yīng)畫(huà)出該圓柱面正視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)的正面投影。圓柱面上的最左、最右兩條素線(xiàn)AB和CD是正視方向可見(jiàn)部分(前半個(gè)圓柱面)和不可見(jiàn)部分(后半個(gè)圓柱面)的分界線(xiàn)，稱(chēng)為正視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)。這兩條素線(xiàn)表示了圓柱正面投影范圍，其正面投影a′b′和c′d′必須畫(huà)出。其水平投影積聚在圓周的最左點(diǎn)a(b)和最右點(diǎn)c(d)。其側(cè)面投影a″b″和c″d″與圓柱軸線(xiàn)的側(cè)面投影重合，省略不畫(huà)。圓柱面的側(cè)面投影應(yīng)畫(huà)出該圓柱側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)的側(cè)面投影。圓柱面上最前、最后兩條素線(xiàn)EF和GH是側(cè)視方向可見(jiàn)部分(左半個(gè)圓柱面)和不可見(jiàn)部分(右半個(gè)圓柱面)的分界線(xiàn)，稱(chēng)為側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)。這兩條素線(xiàn)表示了圓柱側(cè)面投影的范圍，所以其側(cè)面投影e″f′和g″h″必須畫(huà)出。其水平投影積聚在圓周的最前點(diǎn)e(f)和最后點(diǎn)g(h)。其正面投影e′f′和g′h′與圓柱軸線(xiàn)的正面投影重合，省略不畫(huà)。畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出圓的中心線(xiàn)和圓柱軸線(xiàn)的各面投影(細(xì)點(diǎn)畫(huà)線(xiàn))，再畫(huà)出圓柱面有積聚性的投影(圓)，然后根據(jù)投影關(guān)系畫(huà)出圓柱的另兩面投影(同樣大小的矩形)。

2．在圓柱表面上取點(diǎn)

當(dāng)圓柱軸線(xiàn)處于垂直線(xiàn)位置時(shí)，其圓柱面在軸線(xiàn)所垂直的投影面上的投影有積聚性，其頂、底圓平面的另兩個(gè)投影有積聚性。因此，在圓柱表面作點(diǎn)的投影均可利用積聚性作圖。在圖3-4中已知點(diǎn)M的正面投影m′、點(diǎn)N的側(cè)面投影(n″)和點(diǎn)K的水平投影k，求點(diǎn)的另兩面投影。圖3-4圓柱表面上點(diǎn)的投影由點(diǎn)已知投影的位置和可見(jiàn)性可知，點(diǎn)M在圓柱面的左前部，點(diǎn)N在圓柱面的右前部，點(diǎn)K在頂圓柱平面上。可以由M點(diǎn)的m′投影求得水平投影m，再由m′和m求得投影m″；由N點(diǎn)的(n″)投影求得水平投影n，再由(n″)和n求得投影n″；由K點(diǎn)的水平投影k作投影軸垂線(xiàn)與上底面積聚投影相交即得其正面投影k′，再根據(jù)主俯視圖寬相等或者用45°輔助線(xiàn)作出側(cè)面投影k″，如圖3-4所示。3.2.2圓錐

圓錐是由圓錐面和底圓平面圍成的。

圖3-5為軸線(xiàn)處于鉛垂線(xiàn)位置時(shí)的圓錐直觀(guān)圖及投影圖。圖3-5圓錐的投影

1．投影分析和畫(huà)法

圓錐的底圓平面為水平面，其水平投影為圓，且反映實(shí)形；其正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線(xiàn)段，長(zhǎng)度等于底圓的直徑。

圓錐面的三個(gè)投影均無(wú)積聚性。圓錐面的水平投影為圓，且與底圓平面的水平投影重合，整個(gè)圓錐面的水平投影都可見(jiàn)；圓錐面的正面投影應(yīng)畫(huà)出該圓錐面正視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)的正面投影。圓錐面上最左、最右兩條素線(xiàn)SA、SB是正視時(shí)可見(jiàn)(前半個(gè)圓錐面)與不可見(jiàn)(后半個(gè)圓錐面)的分界線(xiàn)，是正視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)。其正面投影s′a′、s′b′必須畫(huà)出；其水平投影與圓的水平中心線(xiàn)重合，省略不畫(huà)；其側(cè)面投影s″a″、s″b″與圓錐軸線(xiàn)的側(cè)面投影重合，也省略不畫(huà)。圓錐面的側(cè)面投影應(yīng)畫(huà)出該圓錐面?zhèn)纫曓D(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)的側(cè)面投影。圓錐面上最前、最后兩條素線(xiàn)SC、SD是側(cè)視時(shí)可見(jiàn)(左半個(gè)圓錐面)與不可見(jiàn)(右半個(gè)圓錐面)的分界線(xiàn)，是側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)。其側(cè)面投影s″c″、s″d″必須畫(huà)出；其水平投影sc、sd與圓的豎直中心線(xiàn)重合，省略不畫(huà)；其正面投影s′c′、s′d′與圓錐軸線(xiàn)的正面投影重合，也省略不畫(huà)。

畫(huà)圖時(shí)，一般先畫(huà)出軸線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)中心線(xiàn)，再畫(huà)出圓錐反映為圓的投影及底圓平面的積聚投影，然后根據(jù)圓錐高度確定錐頂?shù)耐队埃B接投影輪廓線(xiàn)即完成作圖。

2．圓錐上的點(diǎn)的投影

由于圓錐面的三面投影均無(wú)積聚性，因此在圓錐面上作點(diǎn)的投影時(shí)，必須先過(guò)點(diǎn)作輔助線(xiàn)——素線(xiàn)或緯圓，然后在輔助線(xiàn)的投影上作出點(diǎn)的投影。

在圖3-6中，已知點(diǎn)M的正面投影m，求其另兩面投影m′、m″。圖3-6圓錐表面點(diǎn)的投影素線(xiàn)法：如圖3-6(a)所示，連接點(diǎn)s′、m′并延長(zhǎng)，與圓錐底面的正面投影交于點(diǎn)e′，s′e′即為過(guò)點(diǎn)M所作的素線(xiàn)SE的正面投影，求出其水平投影se和側(cè)面投影s″e(cuò)″，便可根據(jù)直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性由m′求出m和m″。

緯圓法：如圖3-6(b)所示，在圓錐面上過(guò)點(diǎn)M作垂直于軸線(xiàn)的緯圓，則點(diǎn)M的另兩面投影必在緯圓的同面投影上。具體作圖方法是：過(guò)點(diǎn)m′作水平線(xiàn)交圓錐正面投影輪廓線(xiàn)于點(diǎn)1′、2′，線(xiàn)段1′2′為緯圓的正面積聚投影，其長(zhǎng)度為該緯圓的直徑，從而可畫(huà)出圓心與s重合的該緯圓的水平投影。由m′向下作垂線(xiàn)，與緯圓的水平投影(圓)交于點(diǎn)m，再由m′和m求出m″。3.2.3圓球

圓球是由圓球面圍成的，如常見(jiàn)的滾珠、手柄頭等。

1．投影分析和畫(huà)法

圖3-7為圓球的三面投影圖。圖3-7圓球的三面投影圓球的三個(gè)投影都是與圓球等徑的圓，它們分別是圓球面上三個(gè)方向的轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)圓A、B和C的投影。A是圓球的俯視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)圓，是上、下半球的可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。在投影中畫(huà)出它的水平投影圓實(shí)形，其正面投影和側(cè)面投影均積聚在圓球投影的水平軸線(xiàn)上，都省略不畫(huà)。B是圓球的正視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)圓，是前、后半球的可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。在投影中畫(huà)出它的正面投影圓實(shí)形，其水平投影積聚在圓球投影的水平軸線(xiàn)上，而側(cè)面投影積聚在圓球投影的豎直軸線(xiàn)上，都省略不畫(huà)。C是圓球的側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)圓，是左、右半球的可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。在投影中畫(huà)出它的側(cè)面投影圓實(shí)形，其正面投影和水平投影均積聚在圓球投影的豎直軸線(xiàn)上，都省略不畫(huà)。

畫(huà)圓球的三面投影圖時(shí)，可先畫(huà)出三個(gè)圖中確定球心投影位置的中心線(xiàn)，然后以各面上的球心投影點(diǎn)為圓心，以球半徑為半徑畫(huà)圓，即為圓球的三面投影。

2．圓球表面點(diǎn)的投影

由于圓球的三個(gè)投影均無(wú)積聚性，因此除非屬于轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)圓上的點(diǎn)，否則圓球表面上的點(diǎn)投影都要用緯圓法來(lái)求。

如圖3-8所示，已知圓球面上點(diǎn)M的正面投影m′，求其另兩面投影m、m″。由于點(diǎn)M為圓球面上的一般點(diǎn)，因此可用作