八年級下冊數(shù)學四平數(shù)學期末試卷培優(yōu)測試卷一、選擇題1．二次根式中x的取值范圍是（）A． B． C． D．2．以長度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，其中能構成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，143．下列命題：①對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；②對角線相等的平行四邊形是矩形；③有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；④有一組對邊相等且有一組對角相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．小明最近次數(shù)學測驗的成績?nèi)缦拢?，，，，．則這次成績的方差為（）A． B． C． D．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折疊該紙片，使得AB邊落在對角線AC上，點B落在點F處，折痕為AE，則線段EF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，在菱形ABCD中，，，點O是對角線BD的中點，于點E，則OE的長為（）A． B． C． D．7．如圖，在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，且AD=2，以邊AD、AC、CD為直徑畫半圓，其中所得兩個月形圖案AGCE和DHCF（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A． B． C． D．8．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點，AB＝2，BC＝4，一動點P從點B出發(fā)，沿著B﹣A﹣D﹣C在矩形的邊上運動，運動到點C停止，點M為圖1中某一定點，設點P運動的路程為x，△BPM的面積為y，表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示．則點M的位置可能是圖1中的（）A．點C B．點O C．點E D．點F二、填空題9．若有意義，則x的取值范圍為_______________．10．菱形的對角線與相交于點O，若，則菱形的面積是___________．11．如圖，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∠ACD＝2∠B，BD的長為_____．12．如圖，在矩形ABCD中，BE交AD于點E且平分∠ABC，對角線BD平分∠EBC，則的值為____．13．若點P（a+1，2a-3）一次函數(shù)y＝-2x+1的圖象上，則a=_______．14．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，已知∠AOD=120°，AB=1，則BC的長為______15．如圖，已知點，，，的坐標分別為，，，．線段、、組成的圖形為圖形，點沿移動，設點移動的距離為，直線：過點，且在點移動過程中，直線隨運動而運動，當過點時，的值為__________；若直線與圖形有一個交點，直接寫出的取值范圍是__________．16．在直角坐標系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、AnBnBn﹣1按如圖所示放置，其中點A1、A2、A3、…、An均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，點B1、B2、B3、…、Bn均在x軸上．若點B1的坐標為(1，0)，點B2的坐標為(3，0)，則點A2019的坐標為_____．三、解答題17．解下列各題計算：（1）；（2）；（3）；（4）．18．一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行千米，接著它又掉頭向正東方向航行千米．（1）此時輪船離出發(fā)點多少千米？（2）若輪船每航行千米需耗油升，那么在此過程中輪船共耗油多少升？19．如圖，每個小正方形的邊長都為1，AB的位置如圖所示．（1）在圖中確定點C，請你連接CA，CB，使CB⊥BA，AC＝5；（2）在完成（1）后，在圖中確定點D，請你連接DA，DC，DB，使CD＝，AD＝，直接寫出BD的長．20．請在橫線上添加一個合適的條件，并寫出證明過程：如圖，平行四邊形ABCD對角線上有兩點E，F(xiàn)，AE＝CF，，連接EB，ED，F(xiàn)B，F(xiàn)D．求證：四邊形EBFD為菱形．21．閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式的化簡與運算時，有時會碰上如，這樣的式子其實我們還可以進一步化簡．例如：，這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）請參照上述方法化簡：（2）猜想：（用含n的式子表示）（3）化簡：22．清明期間，某校計劃組織八年級學生去樹湘紀念館參觀，與某公交公司洽談后，得知該公司有A，B兩種不同型號客車，它們的載客量和租金如下表所示：類別A型客車B型客車載客量（人/輛）5030租金（元/輛）300180經(jīng)計算，租用A，B型客車共15輛較為合理，設租用A型客車x輛，根據(jù)要求回答下列問題：（1）用含x的代數(shù)式填寫下表：類別車輛數(shù)（輛）載客量（人）租金（元）A型客車x50x300xB型客車15﹣x（2）若租用A型客車的數(shù)量不小于B型客車數(shù)量的2倍，采用怎樣的方案可以使租車總費用y最少，最少是多少？23．如圖平行四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且AE＝CF，EF與AC交于點O．（1）如圖①．求證：OE＝OF；（2）如圖②，將平行四邊形ABCD（紙片沿直線EF折疊，點A落在A1處，點B落在點B1處，設FB交CD于點G．A1B分別交CD，DE于點H，P．請在折疊后的圖形中找一條線段，使它與EP相等，并加以證明；（3）如圖③，若△ABO是等邊三角形，AB＝4，點F在BC邊上，且BF＝4．則＝（直接填結果）．24．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，過點的直線交軸正半軸于，且面積為10．（1）求點的坐標及直線的解析式；（2）如圖，設點為線段中點，點為軸上一動點，連接，以為邊向右側作正方形，在點的運動過程中，當頂點落在直線上時，求點的坐標；（3）如圖2，若為線段的中點，點為直線上一動點，在軸上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．25．如圖，已知點A（a，0），點C（0，b），其中a、b滿足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四邊形OABC為長方形，將長方形OABC沿直線AC對折，點B與點B′對應，連接點C交x軸于點D．（1）求點A、C的坐標；（2）求OD的長；（3）E是直線AC上一個動點，F(xiàn)是y軸上一個動點，求△DEF周長的最小值．【參考答案】一、選擇題1．D解析：D【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，得到關于x的一元一次不等式組，解之即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：x-3≥0，解得：x≥3．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件以及一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．2．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理逐一進行判斷即可．【詳解】A.，故該選項不符合題意；B.，故該選項不符合題意；C.，故該選項符合題意；D.，故該選項不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解本題的關鍵．3．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定進行判斷即可．【詳解】解：①對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題；②對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；③有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；④有一組對邊相等且有一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題；故選B．【點睛】本題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關四邊形的判定條件.4．C解析：C【解析】【分析】先求出平均數(shù)，再利用方差公式計算即可．【詳解】解：，．故選：．【點睛】本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差通常用來表示，計算公式是：．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．5．A解析：A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BC=AD，∠B=90°，利用勾股定理可求出AC的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的長即可得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AD＝8，∴∠B=90°，BC=AD=8，∴AC＝＝10，∵折疊該紙片，使得AB邊落在對角線AC上，點B落在點F處，折痕為AE，∴BE＝EF，AF＝AB＝6，∠AFE=∠B=90°，∴CF＝AC-AF=10﹣6＝4，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2，∴EF2+CF2=（BC-EF）2，即EF2+42=（8-EF）2，解得：EF＝3，故選：A．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．6．A解析：A【解析】【分析】連接OA，由菱形的性質(zhì)得AD=AB=8、AO⊥BD、∠ADB=∠CDB=30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】連接OA，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，點O是對角線BD的中點，∴AD=AB=8，AO⊥BD，∠ADB=∠CDB∵∴∠ADB=∠CDB=30°，在Rt△AOD中，，∴∵OE⊥CD，∴∠DEO=90°，∴在Rt△DOE中，，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．7．D解析：D【解析】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求解AC=CD=2，進而可求得S△ACD=2，再利用陰影部分的面積=以AC為直徑的圓的面積+△ACD的面積-以AD為直徑的半圓的面積計算可求解．【詳解】解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，AD=2，∴AC2+DC2=AD2=8，∴AC=CD=2，∴S△ACD=AC?DC=2，∴=π+2-π=2，故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，理清陰影部分的面積=以AC為直徑的圓的面積+△ACD的面積-以AD為直徑的半圓的面積是解題的關鍵．8．B解析：B【分析】從圖2中可看出當x＝6時，此時△BPM的面積為0，說明點M一定在BD上，選項中只有點O在BD上，所以點M的位置可能是圖1中的點O．【詳解】解：∵AB＝2，BC＝4，四邊形ABCD是矩形，∴當x＝6時，點P到達D點，此時△BPM的面積為0，說明點M一定在BD上，∴從選項中可得只有O點符合，所以點M的位置可能是圖1中的點O．故選B．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是找出當x＝6時，此時△BPM的面積為0，說明點M一定在BD上這一信息．二、填空題9．且【解析】【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【詳解】解：由題意得：，且解得：且故答案為：且【點睛】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，掌握：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．10．A解析：120【解析】【分析】在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2，從而求出BO，繼而得出BD，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=DO，AC⊥BD∵AC=24，AO=AC=12，在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2，又AB=13，∴BO==5，∴BD=10，∴S菱形ABCD=AC?BD＝×10×24＝120，∴菱形ABCD的面積為120．故答案為：120．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，屬于中等難度的題目，解答本題關鍵是掌握①菱形的對角線互相垂直且平分，②菱形的面積等于底乘以底邊上的高，還等于對角線乘積的一半．11．A解析：【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠B＝∠CAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BC，計算即可．【詳解】解：∵∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵∠ACD＝2∠B，∠ACD＝∠B+∠CAB，∴∠B＝∠CAB，∴BC＝AC＝10，∴BD＝BC+CD＝16，故答案：16．【點睛】本題考查勾股定理、三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．12．【分析】先證明是等腰直角三角形，再證明可得結論．【詳解】解：矩形，，，，平分，，，平分，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，關鍵是證明是等腰直角三角形解答．13．【分析】把P點的坐標代入一次函數(shù)，即可求得a的值．【詳解】∵點P（a+1，2a-3）一次函數(shù)y＝-2x+1的圖象上，∴2a-3=-2（a+1）+1，∴a=．故答案為：．【點睛】考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；解題關鍵是抓住：點在函數(shù)解析式上，點的橫坐標就滿足這個函數(shù)解析式．14．A解析：【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，從而利用勾股定理可求出BC的長度．【詳解】解：由題意得：∠ACB=30°，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2AB=2，由勾股定理得，BC=，故答案為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，比較簡單，解答本題的關鍵是求出∠ACB的度數(shù)．15．1或11或【分析】l過點C、點P的位置有兩種情況：①點P位于點E時，S=1；②點P位于點C時，S=11；求出l過臨界點D、E、B即求出直線與圖形有一個交點時b的取值范圍．【詳解解析：1或11或【分析】l過點C、點P的位置有兩種情況：①點P位于點E時，S=1；②點P位于點C時，S=11；求出l過臨界點D、E、B即求出直線與圖形有一個交點時b的取值范圍．【詳解】解：∵點A、B、C、D的坐標分別為（-2，2），（-2，1），（3，1），（3，2）∴AD=BC=5，AB=1當直線l過點C（3，1）時，1=-3+b，即b=4∴直線的解析式為y=-x+4.∴，解得，即直線1與AD的交點E為（2，2）∴DE=1.∴如圖：當l過點C時，點P位于點E或點C①當l過點C時，點P位于點E時，S=DE=1；②當l過點C時，點P位于點C時，S=AD+AB+BC=5+1+5=11..∴當1過點C時，S的值為1或11；當直線l過點D時，b=5；當直線1過點C時，b=4；當直線1過點B時，將B（-2，1）代入y=-x+b得1=2+b，即b=-1∴當或時，直線與圖形有一個交點．故填1或11，或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意求出臨界值成為解答本題的關鍵．16．(22018﹣1，22018)【分析】由點B1、B2的坐標可得OB1=1，OB2=3，則B1B2=2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得OA1=OB1=1，故可得點A1的坐標，同理可求A2的坐標，進而可解析：(22018﹣1，22018)【分析】由點B1、B2的坐標可得OB1=1，OB2=3，則B1B2=2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得OA1=OB1=1，故可得點A1的坐標，同理可求A2的坐標，進而可求A1A2的解析式，結合圖形可求B1、B2、B3、B4…觀察規(guī)律進而可得Bn（2n-1，0），而的橫坐標與橫坐標相同，故當n=2018時，可求的橫坐標，即的橫坐標，再代入直線解析式即可求的縱坐標，即可寫出的坐標．【詳解】∵點B1的坐標為（1，0），點B2的坐標為（3，0），∴OB1=1，OB2=3，則B1B2=2．∵△A1B1O是等腰直角三角形，∠A1OB1=90°，∴OA1=OB1=1．∴點A1的坐標是（0，1）．同理，在等腰直角△A2B2B1中，∠A2B1B2=90°，A2B1=B1B2=2，則A2（1，2）．∵點A1、A2均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，∴，解得，，∴該直線方程是y=x+1，∵點A3，B2的橫坐標相同，都是3，∴當x=3時，y=4，即A3（3，4），則A3B2=4，∴B3（7，0）．同理，B4（15，0），…Bn（2n-1，0），∴當n=2018時，，當時，y==，即的坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標規(guī)律問題，同時結合等腰直角三角形，一次函數(shù)解析式等知識，較為綜合，根據(jù)坐標特點觀察規(guī)律是解題的關鍵．三、解答題17．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可得到答案；（2）原式從左向右依次計算即可得到答案；（3）原式根據(jù)零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的乘解析：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可得到答案；（2）原式從左向右依次計算即可得到答案；（3）原式根據(jù)零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的乘法以及絕對值的意義代簡各項后，再外掛；（4）原式利用平方差分工和完全平方公式進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）==；（2）====；（3）==；（4）===．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則，運算順序以及靈活運用乘法公式是解答本題的關鍵．18．（1）17千米；（2）9.2升【分析】（1）根據(jù)題意畫出航行圖，然后利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)輪船航行的距離以及輪船每航行1千米需耗油0.4升進行求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示解析：（1）17千米；（2）9.2升【分析】（1）根據(jù)題意畫出航行圖，然后利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)輪船航行的距離以及輪船每航行1千米需耗油0.4升進行求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，O為輪船出發(fā)點，A為輪船掉頭的地點，B是輪船掉頭后向正東方向航行15千米后的地點∵一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接著它又掉頭向正東方向航行15千米，∴OA=8千米，AB=15千米，∠BAO=90°，∴千米，∴此時輪船離出發(fā)點17千米，答：此時輪船離出發(fā)點17千米；（2）由題意得在此過程中輪船共耗油升，答：在此過程中輪船共耗油9.2升．【點睛】本題主要考查了勾股定理在航海中的應用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握勾股定理．19．（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格即可確定C點位置；（2）由勾股定理在Rt△DBG中，可求BD的長．【詳解】解：（1）如圖，∴∴BC⊥AB，在Rt△ACH中，A解析：（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格即可確定C點位置；（2）由勾股定理在Rt△DBG中，可求BD的長．【詳解】解：（1）如圖，∴∴BC⊥AB，在Rt△ACH中，AC＝5；（2）∵CD＝，AD＝，可確定D點位置如圖，∴在Rt△DBG中，BD＝．【點睛】本題考查勾股定理的應用，利用三角形內(nèi)角和確定C點位置，由勾股定理確定D點的位置是解題的關鍵．20．，見解析【分析】根據(jù)題意和圖形，可以在空格處填一個條件，注意填寫的條件不唯一，只要可以證明結論成立即可，然后根據(jù)菱形的判定方法證明即可．【詳解】補充條件：AB＝BC，證明：連接BD交AC于解析：，見解析【分析】根據(jù)題意和圖形，可以在空格處填一個條件，注意填寫的條件不唯一，只要可以證明結論成立即可，然后根據(jù)菱形的判定方法證明即可．【詳解】補充條件：AB＝BC，證明：連接BD交AC于點O，如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵AB＝BC，∴∠BAE＝∠BCF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∴平行四邊形EBFD是菱形，即四邊形EBFD為菱形．故答案為：AB＝BC．【點睛】本題考查菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想解答是解答本題的關鍵．21．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)材料運用方法進行分母有理化即可；（2）根據(jù)題意總結規(guī)律即可；（3）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解．【詳解】解：（1）==；解析：（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)材料運用方法進行分母有理化即可；（2）根據(jù)題意總結規(guī)律即可；（3）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解．【詳解】解：（1）==；（2）==故答案為：；（3）===【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是根據(jù)材料能正確的進行分母有理化．22．（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客車10輛，B型客車5輛，可使租車總費用y最少，最少為3900元【分析】（1）根據(jù)“B型車的載客量＝租的輛數(shù)×滿載人數(shù)”以及“租B型車應付解析：（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客車10輛，B型客車5輛，可使租車總費用y最少，最少為3900元【分析】（1）根據(jù)“B型車的載客量＝租的輛數(shù)×滿載人數(shù)”以及“租B型車應付租金＝每輛的租金×租的輛數(shù)”即可得出結論；（2）設租車的總費用為y元，根據(jù)“總租金＝租A型車的租金+租B型車的租金”即可得出y關于x的函數(shù)關系式，再根據(jù)A型客車的數(shù)量不小于B型客車數(shù)量的2倍，列出關于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【詳解】解：（1）設租用A型客車x輛，則租用B型客車（15﹣x）輛，B型車的載客量30（15﹣x），租金為180（15﹣x）．故答案為：30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）根據(jù)題意得：x≥2（15﹣x），解得：x≥10，∵y＝300x+180（15﹣x）＝120x+2700，又∵120＞0，∴y隨x的增大而增大，∵x是正整數(shù)，∴當x取最小值10時，y有最小值3900，答：租A型客車10輛，B型客車5輛，可使租車總費用y最少，最少為3900元．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，理解題意，根據(jù)一次函數(shù)的的性質(zhì)求最值是解題的關鍵．23．（1）見解析；（2）FG=EP，理由見解析；（3）【分析】（1）證△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）連AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，證△AOE≌△COF（SA解析：（1）見解析；（2）FG=EP，理由見解析；（3）【分析】（1）證△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）連AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，證△AOE≌△COF（SAS），得AE=CF，由折疊性質(zhì)得AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，則∠D=∠B1，證△A1PE≌△CGF（AAS），即可得出FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，證四邊形ABCD是矩形，則∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=，則CF=-4，由等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH=BC=，則HF=，OH=OB=2，由勾股定理得OF=，進而得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，在△ODE和△OFB中，，∴△ODE≌△OFB（ASA），∴OE=OF；（2）FG=EP，理由如下：連AC，如圖②所示：由（1）可知：OE=OF，OB=OD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC過點O，OA=OC，∠BAD=∠BCD，∠D=∠B，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF，由折疊性質(zhì)得：AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，∴∠D=∠B1，∵∠A1PE=∠DPH，∠PHD=∠B1HG，∴∠DPH=∠B1GH，∵∠B1GH=∠CGF，∴∠A1PE=∠CGF，在△A1PE和△CGF中，，∴△A1PE≌△CGF（AAS），∴FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，如圖③所示：∵△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC==，∴CF=-4，∵OB=OC，OH⊥BC，∴BH=CH=BC=，∴HF=4-，OH=OB=2，在Rt△OHF中，由勾股定理得：OF===，∴，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．24．（1），；（2）或；（3）存在，或或．【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式求出點坐標，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）設G（0，n）分兩種情形：①當時，如圖中，點落在上時，過作直線解析：（1），；（2）或；（3）存在，或或．【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式求出點坐標，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）設G（0，n）分兩種情形：①當時，如圖中，點落在上時，過作直線平行于軸，過點，作該直線的垂線，垂足分別為，．求出．②當時，如圖中，同法可得，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（3）由，得，，即得直線為，設，，①以、為對角線，此時、中點重合，而中點為，，中點為，，即得，解得；②以、為對角線，同理可得：；③以、為對角線，同理．【詳解】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，，，，，，，，，設直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為；（2），，，，設，①當時，如圖中，點落在上時，過作直線平行于軸，過點，作該直線的垂線，垂足分別為，．四邊形是正方形，，，，而，，，，，點在直線上，，，；②當時，如圖中，同法可得，點在直線上，，，．綜上所述，滿足條件的點坐標為或；（3）存在，理由如下：，，為線段的中點，，，設直線為，則，解得，直線為，設，，①以、為對角線，此時、中點重合，而中點為，，中點為，，，