中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)—一元二次方程組的綜合及詳細(xì)答案一、一元二次方程1．關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得代入可解出的取值范圍；（2）由韋達(dá)定理可知，列出等式，可得出的值．試題解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，∴k1＝1，k2＝－3.∵k≤，∴k＝－3.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣，x2=．【解析】試題分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.試題解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=．點(diǎn)睛：此題主要考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察一元二次方程的特點(diǎn)，然后再從一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理選擇即可.3．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根據(jù)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)和經(jīng)過兩輪傳染后的人數(shù)，列出算式求解即可．【詳解】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了5個(gè)人；（2）根據(jù)題意得：5×36＝180（個(gè)），答：第三輪將又有180人被傳染．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意找到等量關(guān)系并列方程.4．某社區(qū)決定把一塊長，寬的矩形空地建成居民健身廣場，設(shè)計(jì)方案如圖，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)(四塊綠化區(qū)為大小形狀都相同的矩形)，空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周的4個(gè)出口寬度相同，當(dāng)綠化區(qū)較長邊為何值時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到?【答案】當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到【解析】【分析】根據(jù)“活動(dòng)區(qū)的面積＝矩形空地面積﹣陰影區(qū)域面積”列出方程，可解答.【詳解】解:設(shè)綠化區(qū)寬為y，則由題意得.即列方程:解得(舍)，.∴當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到【點(diǎn)睛】本題是一元二次方程的應(yīng)用題，確定等量關(guān)系是關(guān)鍵，本題計(jì)算量大，要細(xì)心．5．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，.（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)根，滿足，求k的值.【答案】(1)k＜;(2)k=0.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1?x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，解得：k＜，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1?x2=k2，∵x1+x2+x1x2-1=0，∴1-2k+k2-1=0，∴k2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知當(dāng)k=2方程沒有實(shí)數(shù)根，∴k=2不合題意，舍去，∴k=0．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)要考慮根的判別式，以防錯(cuò)解．6．已知:如圖，在中，，cm，cm.直線從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，并始終與平行，與線段交于點(diǎn).同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(s)().(1)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形?(2)當(dāng)面積是的面積的5倍時(shí)，求出的值;【答案】（1）；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）首先根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長，再根據(jù)相似比例表示PE的長度，再結(jié)合矩形的性質(zhì)即可求得t的值.（2）根據(jù)面積相等列出方程，求解即可.【詳解】解：（1）在中，，，當(dāng)時(shí)，四邊形PECF是矩形，解得（2）由題意整理得，解得，面積是的面積的5倍?！军c(diǎn)睛】本題主要考查矩形的動(dòng)點(diǎn)問題，這是近幾年的考試熱點(diǎn)，必須熟練掌握.7．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)x2+2x+a﹣2=0，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】試題分析：（1）由根的個(gè)數(shù)，根據(jù)根的判別式可求出a的取值范圍；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代換求值即可得到a的值.試題解析：（1）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由題意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．8．閱讀下面的例題，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2請參照例題解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．【答案】x1=4，x2=﹣5．【解析】【分析】分為兩種情況：當(dāng)x≥10時(shí)，原方程化為x2﹣x=0，當(dāng)x＜10時(shí)，原方程化為x2+x﹣20=0，分別求出方程的解即可．【詳解】當(dāng)x≥10時(shí)，原方程化為x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合題意，舍去），x2=1（不合題意，舍去）；當(dāng)x＜10時(shí)，原方程化為x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程——因式分解法，解此題的關(guān)鍵是能正確去掉絕對值符號(hào)．9．關(guān)于x的一元二次方程．（1）.求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）.若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)情況與根的判別式關(guān)系可以證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)根據(jù)題意利用十字相乘法解方程，求得，再根據(jù)題意兩個(gè)根都是正整數(shù)，從而可以確定的取值范圍，即求出嗎的最小值.【詳解】(1)證明：依題意，得．，∴．∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．由．可化為：得，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的個(gè)數(shù)關(guān)系和利用十字相乘法解含參數(shù)的方程，熟知根的判別式大于零方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式等于零有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，判別式小于零無根和十字相乘法的法則是解題關(guān)鍵.10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求n的取值范圍；(2)若n為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求此方程的根．【答案】(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．【解析】【分析】(1)根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知，即可求出的取值范圍；（2）根據(jù)題意得出的值，將其代入方程，即可求得答案.【詳解】(1)根據(jù)題意知，解之得：；(2)∵且為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，∴，則方程為，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，明確和掌握一元二次方程的根與的關(guān)系（①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根）是解題關(guān)鍵.11．某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷．（1）若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得510元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）兩次下降的百分率為10%；（2）要使每月銷售這種商品的利潤達(dá)到510元，且更有利于減少庫存，則商品應(yīng)降價(jià)2.5元．【解析】【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，（1﹣x）2為兩次降價(jià)后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量條件，列出方程求解即可；（2）設(shè)每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)y元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可【詳解】解：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合題意，舍去）答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元，兩次下降的百分率為10%；（2）設(shè)每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)y元，由題意，得解得：＝1.5，＝2.5，∵有利于減少庫存，∴y＝2.5．答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到510元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)2.5元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程，解答即可．12．我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：（1）每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【答案】（1）每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元；（2）該店應(yīng)按原售價(jià)的8折出售．【解析】【分析】（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤=41600元列出方程求解即可；（2）為了讓利于顧客因此應(yīng)下降價(jià)80元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．【詳解】（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得：（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．化簡，得：x2﹣10x+240=0．解得：x1=30，x2=80．答：每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶葉可降價(jià)30元或80元．因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應(yīng)降價(jià)80元．此時(shí)，售價(jià)為：400﹣80=320（元），．答：該店應(yīng)按原售價(jià)的8折出售．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．13．某產(chǎn)品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種產(chǎn)品在未來20天內(nèi)的日銷售量（單位：件）是關(guān)于時(shí)間（單位：天）的一次函數(shù)，調(diào)研所獲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：時(shí)間/天131020日銷售量/件98948060這20天中，該產(chǎn)品每天的價(jià)格（單位：元/件）與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：（為整數(shù)），根據(jù)以上提供的條件解決下列問題：（1）直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）這20天中哪一天的日銷售利潤最大，最大的銷售利潤是多少？（3）在實(shí)際銷售的20天中，每銷售一件商品就捐贈(zèng)元（）給希望工程，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，這20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷利潤隨時(shí)間的增大而增大，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）在第15天時(shí)日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元；（3）.【解析】【分析】（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，即可確定一次函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)日利潤=日銷售量×每件利潤列出函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值，即可確定答案；（3）根據(jù)20天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值范圍【詳解】（1）設(shè)該函數(shù)的解析式為:m=kx+b由題意得:解得:k=-2,b=100∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為:.（2）設(shè)前20天日銷售利潤為元，由題意可知，∵，∴當(dāng)時(shí)，.∴在第15天時(shí)日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元.（3）由題意得：，∴對稱軸為：，∵每天扣除捐贈(zèng)后的日銷利潤隨時(shí)間的增大而增大，且，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，掌握解決最值問題的方法是解答本題的關(guān)鍵.14．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．求的取值范圍．是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？【答案】(1)且；(2)不存在,理由見解析【解析】【分析】（1）因?yàn)榉匠蹋╧﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．得出其判別式△＞0，可解得k的取值范圍；（2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出對應(yīng)的不等式即可求出k的值．【詳解