20222023學(xué)年小學(xué)五年級思維拓展舉一反三精編講義專題17最小公倍數(shù)知識精講知識精講專題簡析：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作[a、b]，當(dāng)（a、b）=1時(shí)，[a、b]=a×b。兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：最大公約數(shù)×最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積即（a、b）×[a、b]=a×b要解答求最小公倍數(shù)的問題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的已知條件，對問題作全面的分析，若要求的數(shù)對已知條件來說，是處于被除數(shù)的地位，通過就是求最小公倍數(shù)，解題時(shí)要避免和最大公約數(shù)問題混淆。最小公倍數(shù)的應(yīng)用題，解題方法比較獨(dú)特。當(dāng)有些題中所求的數(shù)不正好是已知數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，我們可以通過“增加一部分”或“減少一部分”的方法，使問題轉(zhuǎn)換成已知數(shù)的最小公倍數(shù)，從而求出結(jié)果。典例分析典例分析【典例分析01】兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？【思路引導(dǎo)】根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積”可先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再把這個(gè)積分解成兩個(gè)數(shù)。根據(jù)題意：當(dāng)a1b1分別是1和6時(shí)，a、b分別為15×1=15，15×6=90；當(dāng)a1b1分別是2和3時(shí)，a、b分別為15×2=20，15×3=45。所以，這兩個(gè)數(shù)是15和90或者30和45?！镜淅治?2】兩個(gè)自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個(gè)數(shù)各是多少？【思路引導(dǎo)】我們把這兩個(gè)自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因?yàn)榧住⒁覂蓴?shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是360÷120=3。又因?yàn)椋住?=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。當(dāng)a和b是1和40時(shí)，所求的數(shù)是3×1=3和3×40=120；當(dāng)a和b是5和8時(shí)，所求的數(shù)是3×5=15和3×8=24?！镜淅治?3】例題2有一批水果，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)。如果每24個(gè)裝一箱，最后一箱差2個(gè)；如果每28個(gè)裝一箱，最后一箱還差2個(gè)；如果每32個(gè)裝一箱，最后一箱只有30個(gè)。這批水果共有多少個(gè)？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，這批水果再增加2個(gè)后，每24個(gè)裝一箱，每28個(gè)裝一箱或每32個(gè)裝一箱都能裝整箱數(shù)，也就是說，只要把這批水果增加2個(gè)，就正好是24、28和32的公倍數(shù)。我們可以先求出24、28和32的最小公倍數(shù)672，再根據(jù)“總數(shù)在1000以內(nèi)”確定水果總數(shù)?！镜淅治?4】從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動外，中途還有多少根不必移動？【思路引導(dǎo)】從學(xué)校到少年宮的這段路長50×（37－1）=1800米，從路的一端開始，是50和60的公倍數(shù)處的那一根就不必移動。因?yàn)?0和60的最小公倍數(shù)是300，所以，從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動。1800÷300=6，就是6根不必移動。去掉最后一根，中途共有5根不必移動。【典例分析05】在一根長木棍上用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記，分別將木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【思路引導(dǎo)】因?yàn)?0、12和15的最小公倍數(shù)是60，所以，設(shè)這根木棍長60厘米。三種顏色的標(biāo)記分別把木棍分成的小段長是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅黃兩種標(biāo)記重復(fù)的地方有60÷30－1=1處，另兩種情況分別有2處和4處。因此，木棍總共被鋸成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022春?臨朐縣期中）兩個(gè)相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是56，這兩個(gè)自然數(shù)的和是（）A．72 B．15 C．16 D．172．（2分）（2022春?福州期末）小麗的爸爸每上班3天休息1天，媽媽每上班4天休息1天。2022年2月18日他們同時(shí)在家休息，那么他們下一次同時(shí)在家休息是（）。A．3月1日 B．3月10日 C．3月2日 D．3月9日3．（2分）（2022春?西安期末）一張長90厘米，寬75厘米的長方形紙，要把它裁成同樣大小的正方形，邊長為整厘米，且沒有剩余，至少可以裁成（）個(gè)這樣的正方形。A．24 B．25 C．30 D．364．（2分）（2022春?貴陽期中）兩個(gè)相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個(gè)自然數(shù)的和是（）A．72 B．15 C．175．（2分）（2022春?梁山縣期末）疫情期間，五（3）班的王老師給學(xué)生準(zhǔn)備了一些口罩，這些口罩不管是每人分3個(gè)還是每人分5個(gè)，最后都剩余1個(gè)。這些口罩總數(shù)可能是（）個(gè)。A．60 B．61 C．62 D．63二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022春?東昌府區(qū)期末）已知A＝2×3×5×7，B＝3×5×7，A和B的最大公因數(shù)是，它們的最小公倍數(shù)是。7．（2分）（2022春?橫縣期末）小麗一家去田徑場跑步，爸爸跑一圈用4分鐘，媽媽跑一圈用6分鐘。如果爸爸媽媽同時(shí)起跑，至少分鐘后兩人在起點(diǎn)再次相遇。8．（2分）（2022春?廣水市期末）希望小學(xué)五（1）班人數(shù)在40人到60人之間，不論是分成4人小組，還是分成6人小組都多3人，這個(gè)班可能有名同學(xué)。9．（2分）（2022春?萬柏林區(qū)期末）在今年4月的太原疫情阻擊戰(zhàn)中，許多教師從“三尺講臺”化身“抗疫戰(zhàn)士”，盡顯師者擔(dān)當(dāng)。實(shí)驗(yàn)小學(xué)的志愿者每組6人或每組8人都正好分完，那么這個(gè)學(xué)校最少有名教師逆行抗疫。10．（2分）（2022春?歷城區(qū)期末）學(xué)校舞蹈隊(duì)一共有70多名學(xué)生，為慶?！傲弧眱和?jié)，舞蹈隊(duì)編排了一支舞蹈，演出時(shí)需要兩次隊(duì)形變換，一次是4人一排，一次是6人一排，每次變換隊(duì)形后，人數(shù)都沒有剩余，舞蹈隊(duì)一共有名學(xué)生。11．（2分）（2022春?十堰期末）a÷b＝k（a，b，k都是非0自然數(shù)），那么a和b的最大公因數(shù)是，a和b的最小公倍數(shù)是。12．（2分）（2022春?甘肅期中）同學(xué)們報(bào)名參加“冬奧會知識知多少”搶答賽，參賽人數(shù)是72的因數(shù)，同時(shí)又是4和9的倍數(shù)，最少有人報(bào)名參加。13．（2分）（2019春?西塞山區(qū)期末）不滿千人的士兵等分為四隊(duì)，每隊(duì)各排成14人一排或12人一排都余8人，后來改成8人一排則無余數(shù)．一共有人．三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2021春?李滄區(qū)期末）如果兩個(gè)不為0的自然數(shù)相差1，則這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。（判斷對錯(cuò)）15．（2分）（2022春?紅寺堡區(qū)期中）兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．．（判斷對錯(cuò)）16．（2分）（2022春?大冶市期末）任何兩個(gè)相鄰的自然數(shù)（0除外）的最小公倍數(shù)就是它們的乘積.．（判斷對錯(cuò)）17．（2分）（2021春?襄汾縣期中）兩個(gè)相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個(gè)自然數(shù)的和是17。（判斷對錯(cuò)）18．（2分）（2019春?西塞山區(qū)期末）任何兩個(gè)自然數(shù)都有無數(shù)個(gè)公倍數(shù)．（判斷對錯(cuò)）四．計(jì)算題（共1小題，滿分6分，每小題6分）19．（6分）（2015春?連云港期中）求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)．[15，9]＝[12，48]＝[7，9]＝五．應(yīng)用題（共11小題，滿分58分，每小題5分）20．（5分）（2022春?清鎮(zhèn)市期末）甲、乙二人到圖書館借書，甲每6天去一次，乙每8天去一次。如果5月4日他們二人在圖書館相遇，那么他們下次在圖書館相遇是幾月幾日？21．（5分）（2022春?濱城區(qū)期末）小麗每4天必上一次校本課程，每6天必寫一篇心得。她5月30日同時(shí)上了一次校本課程又寫了一篇心得，下次同時(shí)上一次校本課程又寫一篇心得是幾月幾日？22．（5分）（2022春?安丘市期末）要用正方形地板磚鋪設(shè)長為120分米、寬50分米的教室地面，從不浪費(fèi)材料的角度考慮（使用的地板磚都是整數(shù)），你認(rèn)為最大可選用邊長多少分米的地板磚？至少需要幾塊？23．（5分）（2022春?蓬江區(qū)月考）汽車站內(nèi)每隔6分鐘發(fā)一輛公交車，每隔8分鐘發(fā)一輛中巴車，兩車同時(shí)發(fā)車后，在2小時(shí)內(nèi)，兩車共有多少次同時(shí)發(fā)車？24．（5分）（2022春?泰安期末）有48個(gè)籃球和36個(gè)排球，籃球和排球要分開裝筐。要使每個(gè)筐里籃球和排球的數(shù)量一樣多，每筐最多裝幾個(gè)？這時(shí)需要多少個(gè)筐？25．（5分）（2021春?鄖陽區(qū)期中）為慶?！拔逡弧?，張老師買來一些糖果，如果每位小朋友分4顆或6顆，都正好分完。這些糖果的顆數(shù)在30—40之間，張老師買來多少顆糖果？26．（5分）（2019春?西塞山區(qū)期末）有兩根鐵絲，一根長24厘米，一根長36厘米．現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段不許有剩余，每小段最長是多少厘米？一共可以截成多少段？27．（5分）（2021春?大同期末）箭牌陶瓷專賣店有以下三種規(guī)格的正方形地磚可供笑笑家選擇。笑笑家客廳的地面是長為40分米，寬為32分米的長方形，笑笑家選擇哪種地磚鋪客廳地面既整齊又不會有余料？（寫出過程）28．（6分）（2022春?汝州市期中）把一張長24厘米、寬18厘米的長方形紙裁成同樣大的正方形（邊長為整厘米數(shù)），且沒有剩余。最少可以裁多少個(gè)這樣的正