高三數(shù)學函數(shù)復習全套講義與習題引言：函數(shù)——高中數(shù)學的靈魂與基石同學們，進入高三復習階段，數(shù)學的每一個模塊都至關重要，而函數(shù)，無疑是其中的核心與靈魂。從初中的初步認知到高中的系統(tǒng)學習，函數(shù)的概念、性質及其應用貫穿了代數(shù)乃至幾何的多個方面。可以說，學好函數(shù)，就掌握了打開高中數(shù)學大門的一把關鍵鑰匙。本講義旨在帶領大家系統(tǒng)梳理函數(shù)的知識體系，鞏固基礎，提升能力，最終從容應對各類函數(shù)問題。希望同學們在復習過程中，不僅要“知其然”，更要“知其所以然”，注重理解，勤于思考，善于總結，將零散的知識點串聯(lián)成網(wǎng)，內化為自己的解題能力。第一部分：函數(shù)的概念與表示1.1函數(shù)的定義函數(shù)的本質是兩個非空數(shù)集之間的一種特殊對應關系。設A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。理解要點：*非空數(shù)集：A、B必須是數(shù)集，且非空。*任意性：集合A中的每一個元素x都要有對應。*唯一性：對集合A中的每一個x，在集合B中的對應元素f(x)必須唯一。這是判斷是否為函數(shù)的核心。1.2函數(shù)的三要素1.定義域(Domain)：自變量x的取值范圍，即集合A。*常見求定義域依據(jù)：*分式分母不為零；*偶次根式被開方數(shù)非負；*對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零；*指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；*正切函數(shù)y=tanx，x≠kπ+π/2(k∈Z)；*實際問題中，需考慮自變量的實際意義。*求定義域的步驟：列出使函數(shù)有意義的所有不等式（組），解不等式（組），寫出解集（注意用集合或區(qū)間表示）。2.值域(Range)：函數(shù)值y的集合{f(x)|x∈A}，即集合B的子集。*常見求值域方法：*觀察法：對于簡單函數(shù)，通過觀察直接得出；*配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)；*換元法：通過代數(shù)換元將復雜函數(shù)化為熟悉的函數(shù)；*單調性法：利用函數(shù)的單調性求值域；*分離常數(shù)法：對于分式型函數(shù)，如y=(ax+b)/(cx+d)；*判別式法：對于二次分式函數(shù)y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)（注意條件限制）；*幾何法：利用函數(shù)圖像或幾何意義求值域。3.對應法則(RuleofCorrespondence)：即f，它是函數(shù)的核心，描述了x如何對應到y(tǒng)。注意：兩個函數(shù)相同，當且僅當它們的定義域和對應法則完全一致，與自變量和因變量用什么字母表示無關（即函數(shù)的表示與字母無關）。1.3函數(shù)的表示方法1.解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系，如y=2x+1。*優(yōu)點：簡潔、準確，便于進行理論分析和運算。2.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系，如三角函數(shù)表。*優(yōu)點：直觀，可直接查得函數(shù)值。3.圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應關系。*優(yōu)點：形象直觀，能清晰反映函數(shù)的變化趨勢和某些性質。分段函數(shù)：在定義域的不同子集上，對應法則用不同解析式表示的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)。處理分段函數(shù)問題時，要注意“分段處理，整體考慮”。第二部分：函數(shù)的基本性質2.1函數(shù)的單調性(Monotonicity)定義：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*若當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasingfunction)；*若當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(decreasingfunction)。*如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。理解與判斷：*單調性是函數(shù)在某個區(qū)間上的局部性質，談單調性必須指明區(qū)間。*定義中的x?，x?具有任意性，不能用特殊值代替。*判斷方法：*定義法：取值、作差（或作商）、變形、定號、下結論。*圖像法：觀察函數(shù)圖像在區(qū)間上的上升或下降趨勢。*導數(shù)法：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上可導，當f'(x)>0時，f(x)在D上單調遞增；當f'(x)<0時，f(x)在D上單調遞減。（導數(shù)部分在后續(xù)復習）*復合函數(shù)單調性：“同增異減”。設y=f(u)，u=g(x)，若f(u)與g(x)的單調性相同，則復合函數(shù)y=f(g(x))為增函數(shù)；若單調性相反，則為減函數(shù)。*常見結論：*奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；*偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性。2.2函數(shù)的奇偶性(Parity)定義：設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對于任意x∈D，都有-x∈D，且：*f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)(evenfunction)；*f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(oddfunction)。理解與判斷：*定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件。若定義域不關于原點對稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。*判斷步驟：1.檢查定義域是否關于原點對稱；2.計算f(-x)，并與f(x)、-f(x)比較。*圖像特征：*奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；*偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。*常見結論：*若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0；*奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；*奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。（注意運算后的定義域）2.3函數(shù)的周期性(Periodicity)定義：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意x∈I，都有x+T∈I，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。理解與判斷：*T必須是非零常數(shù)；*定義域需滿足x+T∈I；*若T是周期，則kT(k∈Z,k≠0)也是周期；*并非所有周期函數(shù)都有最小正周期（如常數(shù)函數(shù)）。*常見結論：*若f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)周期T=2|a|；*若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)周期T=2|a|；*若f(x+a)=1/f(x)(f(x)≠0)，則函數(shù)周期T=2|a|。第三部分：基本初等函數(shù)3.1一次函數(shù)與二次函數(shù)1.一次函數(shù)(LinearFunction)：y=kx+b(k≠0)*定義域：R；值域：R。*圖像：一條直線，k為斜率，b為y軸截距。*性質：當k>0時，在R上單調遞增；當k<0時，在R上單調遞減。當b=0時，為正比例函數(shù)，是奇函數(shù)。2.二次函數(shù)(QuadraticFunction)：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)*頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為頂點坐標。*零點式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?,x?是函數(shù)的零點。*定義域：R。*圖像：拋物線，a>0開口向上，a<0開口向下。對稱軸x=-b/(2a)（一般式）或x=h（頂點式）。*性質：*單調性：a>0時，在(-∞,h]上單調遞減，在[h,+∞)上單調遞增；a<0時反之。*最值：a>0時，當x=h時，y有最小值k=(4ac-b2)/(4a)；a<0時，當x=h時，y有最大值k。*二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題：*關鍵在于判斷對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關系，通常分對稱軸在區(qū)間左側、內部、右側三種情況討論。*二次函數(shù)的零點：*判別式Δ=b2-4ac。Δ>0時，兩個不等實根；Δ=0時，兩個相等實根；Δ<0時，無實根。*根與系數(shù)關系（韋達定理）：若x?,x?是ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，則x?+x?=-b/a,x?x?=c/a。*含參數(shù)的二次函數(shù)問題：是重點也是難點，常涉及分類討論思想，需注意對開口方向、對稱軸位置、判別式等進行討論。3.2反比例函數(shù)(InverseProportionalFunction)*形式：y=k/x(k≠0)*定義域：(-∞,0)∪(0,+∞)；值域：(-∞,0)∪(0,+∞)。*圖像：雙曲線，關于原點對稱（奇函數(shù)）。*性質：k>0時，在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調遞減；k<0時，在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調遞增。3.3冪函數(shù)(PowerFunction)*定義：y=x^α(α為常數(shù)，α∈R)*定義域、值域、圖像、性質均與指數(shù)α有關。*常見冪函數(shù)(α=1,2,3,1/2,-1)的圖像和性質是重點，需掌握它們的定義域、奇偶性、單調性及圖像特征。*例如：y=x(α=1)，y=x2(α=2)，y=x3(α=3)，y=x^(1/2)=√x(α=1/2)，y=x^(-1)=1/x(α=-1)。*圖像特征：*所有冪函數(shù)圖像都過點(1,1)。*當α>0時，冪函數(shù)圖像過原點，且在[0,+∞)上單調遞增；當α<0時，冪函數(shù)圖像不過原點，且在(0,+∞)上單調遞減。3.4指數(shù)函數(shù)(ExponentialFunction)與對數(shù)函數(shù)(LogarithmicFunction)1.指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a≠1)*定義域：R；值域：(0,+∞)。*圖像：恒過點(0,1)。a>1時，圖像在R上單調遞增；0<a<1時，圖像在R上單調遞減。*性質：*a^0=1,a^1=a。*當a>1時，x>0則a^x>1，x<0則0<a^x<1；當0<a<1時，x>0則0<a^x<1，x<0則a^x>1。*非奇非偶函數(shù)。2.對數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>0且a≠1)，是指數(shù)函數(shù)y=a^x的反函數(shù)。*定義域：(0,+∞)；值域：R。*圖像：恒過點(1,0)。a>1時，在(0,+∞)上單調遞增；0<a<1時，在(0,+∞)上單調遞減。*性質：*log?1=0,log?a=1。*當a>1時，x>1則log?x>0，0<x<1則log?x<0；當0<a<1時，x>1則log?x<0，0<x<1則log?x>0。*對數(shù)的運算性質：log?(MN)=log?M+log?N；log?(M/N)=log?M-log?N；log?M^n=nlog?M(n∈R)；換底公式：log?b=log_cb/log_ca(c>0且c≠1)。*非奇非偶函數(shù)。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比：*互為反函數(shù)，圖像關于直線y=x對稱。*單調性一致（a>1時都增，0<a<1時都減）。*定義域與值域互換。3.5三角函數(shù)(TrigonometricFunctions)*正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx。*定義域：sinx,cosx為R；tanx為{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}。*值域：sinx,cosx為[-1,1]；tanx為R。*周期性：sinx,cosx周期為2π；tanx周期為π。*奇偶性：sinx,tanx為奇函數(shù)；cosx為偶函數(shù)。*單調性：*sinx在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上遞增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上遞減。*cosx在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上遞增，在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上遞減。*tanx在(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上遞增。*圖像：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線（要熟練掌握）。*圖像變換：平移變換、伸縮變換（相位變換、周期變換、振幅變換）。