數(shù)列

小結與復習（1）年級：高二學科：數(shù)學（湘教版）

數(shù)列

小結與復習（1）一、知識結構圖數(shù)列這一章蘊含著豐富的數(shù)學思想，方程與函數(shù)、分類討論、化歸和轉化、數(shù)形結合等中學數(shù)學常用的思想方法在教材中都得到了充分的展現(xiàn)和應用．尤其要重視函數(shù)思想的應用，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)．湘教版教材加強了用函數(shù)的角度來研究數(shù)列，一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，使我們了解不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù)，還可以有自變量離散變化的函數(shù)，豐富了我們所接觸的函數(shù)概念的范圍，加深和鞏固對函數(shù)概念的全面理解；另一方面，又可以從函數(shù)的觀點出發(fā)，主動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，以便對數(shù)列性質的認識更深入一步，更實質一些．

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義通項公式中項公式

前n項和公式

等差、等比數(shù)列的有關概念和公式二、綜合題型例說1.等差(比)數(shù)列的基本運算若

成等差數(shù)列，則

若

成等比數(shù)列，則例1

等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解析

(1)設{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.“知三求二”所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝

＝6n2－22n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.設{bn}的公差為d，則有

解得所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.將已知條件轉換成關于的方程組，利用方程的思想求出需要的量。例2設數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且an＋1＝

an(n∈N＋)，求數(shù)列的通項公式．解析

因為an＋1＝

an.(歸納猜想法)法一：法二：法三：法四：(迭代法)(累乘法)(轉化法)2：求數(shù)列的通項公式例3(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，求an.(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且a1＝1，an＋1＝

Sn，求an解析

(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，(2)∵Sn＝3an＋1，①∴n≥2時，Sn－1＝3an.②①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，∴3an＋1＝4an，不適合n＝1.當n＝1時，a1＝S1＝5不適合上式．∴an＝求數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式就可以研究函數(shù)的性質，而有了數(shù)列的通項公式便可以求出任何一項．所以研究數(shù)列的通項往往是解題的關鍵點和突破口，常用的求數(shù)列通項公式的方法有：觀察法，就是觀察數(shù)列特征，找出各項共同的構成規(guī)律，歸納出通項公式；定義法，即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.1．2．5.構造轉化法.遞推公式法，就是根據(jù)數(shù)列的遞推公式，采用迭代、疊加、累乘、轉化等方法產生與

(或

)的關系，得出通項公式；3．4．前n項和公式法，就是利用，求通項公式的方法，這里應當注意檢驗n＝1是否符合n≥2時的形式．3：等差(比)數(shù)列的判定解析

(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.因為S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.b1＝a2－2a1所以

＝3.所以數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．例4數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．

(2)設cn＝

，求證：{cn}是等差數(shù)列解析(2)由(1)知

bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以cn＋1－cn＝3，且c1＝2，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，公差為3，首項為2.3：等差(比)數(shù)列的判定例4數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．

(2)設cn＝

，求證：{cn}是等差數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法：特別提醒：證明常用判定方法選擇、填空題中的判定（1）定義法：（常數(shù)）?

{an}是等差數(shù)列；

（q為常數(shù)q≠0）?{an}是等比數(shù)列.（3）通項公式法：（k，b是常數(shù)）?{an}是等差數(shù)列；

（c，q為非零常數(shù)）?{an}是等比數(shù)列.（4）前n項和公式法：（A，B為常數(shù)，n∈N*）?{an}是等差數(shù)列；

（A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*）?{an}是等比數(shù)列.

是等差數(shù)列；

（2）中項公式法：是等比數(shù)列.解析（1）依題意得①②即③由，得將式分別代入,得①②③解得例5等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求公差

的取值范圍；

（2）若，判斷是否存在最大值？若存在，求n的值；若不存在，請說明理由.故公差的取值范圍是公式的運用.方程、不等式的思想.例5等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求公差

的取值范圍；

（2）若，判斷是否存在最大值？若存在，求n的值；若不存在，請說明理由.解析（2）由（1）知存在最大值，考查函數(shù)函數(shù)思想、數(shù)形結合思想.例5等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求公差

的取值范圍；

（2）若，判斷是否存在最大值？若存在，求n的值；若不存在，請說明理由.解析（2）由（1）知數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N＋(或它的有限子集)的函數(shù)，當自變量順次從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式、前n項和則是相應的函數(shù)