人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)全冊(cè)教學(xué)課件第六章計(jì)數(shù)原理人教A數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)汽車號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè)，并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車號(hào)牌序號(hào)需要擴(kuò)容.那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法，才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shù)(shǔ)出”某種汽車號(hào)牌序號(hào)的組成方案下所有可能的序號(hào)數(shù)，這就是計(jì)數(shù).日常生活、生產(chǎn)中類似的問(wèn)題大量存在，例如，幼兒會(huì)通過(guò)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法，統(tǒng)計(jì)自己擁有玩具的數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場(chǎng)比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)……如果問(wèn)題中數(shù)量很少，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一種計(jì)數(shù)的好方法。但如果問(wèn)題中數(shù)量很多，我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎?在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法.這兩種方法經(jīng)過(guò)推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的方法，利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問(wèn)題的計(jì)數(shù)公式--排列數(shù)公式和組合數(shù)公式應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問(wèn)題，作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用，我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理.6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第六章計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過(guò)列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢?下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26＋10＝36種不同的號(hào)碼.首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類；(2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m

種不同的方法，在第2類方案中有n

種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.例1

在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表6.1-1.如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”因?yàn)檫@名同學(xué)在A，B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N＝5＋4＝9.這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問(wèn)題的要求不同.在前一問(wèn)題中，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.但在這個(gè)問(wèn)題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.也可以這樣思考：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9＝54種不同的號(hào)碼.上述問(wèn)題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和’字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.因此得到一個(gè)座位號(hào)要經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟，每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m

種不同的方法，做第2步有n

種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.例2

某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法?分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男生；第2步，選女生.解：任選男生和女生各1名，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從30名男生中選出1名，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N＝30×24＝9.例3

書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個(gè)步驟完成解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N＝4＋3＋2＝9.(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N＝4×3×2＝24.1.填空題(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是________________；(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，則從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是______________.練習(xí)962.在例1中，若數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則A大學(xué)有6個(gè)專業(yè)可以選擇，B大學(xué)有4個(gè)專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6＋4＝10.這種算法有什么問(wèn)題?解：這種算法不正確，因?yàn)橐_定的是這名同學(xué)的專業(yè)選擇，不需要考慮學(xué)校的差異，所以這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6＋4－1＝9.3.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語(yǔ)文書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?解：從書架上任取1本書，可以是從上層書架上取書，有6種不同的取法，也可以從下層書架上取書，有5種不同的取法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為N＝6＋5＝11.(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語(yǔ)文書各1本，有多少種不同的取法?解：完成這件事，需分兩步：第一步，從上層書架上任取1本數(shù)學(xué)書，有6種不同的取法；第二步，從下層書架上任取1本語(yǔ)文書，有5種不同的取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為N＝6×5＝30.4.現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名，高二年級(jí)的學(xué)生5名，高三年級(jí)的學(xué)生4名.(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法?解：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N＝3＋5＋4＝12.(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法?解：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N＝3×5×4＝60.例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為N＝3×2＝6.這6種掛法如圖6.1-2所示.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.例5

給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名?分析：要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符，而首字符又可以分為兩類.解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7＋6＝13.后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是13×9×9＝1053.即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.例5電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制。為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.(1)1個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符?(2)計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?分析：(1)要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”。由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的數(shù)字都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；(2)只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.解：(1)用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié)，每一格代表一位.

1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是256×256＝65536.這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.1.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后4位數(shù)字都是0~9中的一個(gè)數(shù)字，這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)?練習(xí)解：確定一個(gè)電話號(hào)碼的后四位數(shù)字，分四步完成，每一步都是從0~9這10個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有10×10×10×10＝10000(個(gè)).2.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法?解：從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，分兩步完成：第1步，選正組長(zhǎng)，有5種選法；第2步，選副組長(zhǎng)，有4種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法的種數(shù)為5×4＝20.3.從1，2，…，19，20中任選一個(gè)數(shù)作被減數(shù)，再?gòu)?，2，…，10中任選一個(gè)數(shù)作減數(shù)，然后寫成一個(gè)減法算式，共可得到多少個(gè)不同的算式?解：要完成一個(gè)減法算式，分兩步完成：第1步，確定被減數(shù)，有20種方法；第2步，確定減數(shù)，有10種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得到不同的算式的個(gè)數(shù)為20×10＝200.4.在1，2，…，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)?解：方法一：被5除余2的數(shù)的末位是2或7，在1，2，···，500中適合題意的數(shù)分為三類.第一類：一位數(shù)，即2，7，此類共有2個(gè)數(shù)；第二類：兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有9種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足題意的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是2×9＝18；第三類：三位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有10種取法，百位數(shù)有4種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足題意的位數(shù)的個(gè)數(shù)是2×10×4＝80.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，在1，2，···，500中，被5除余2的數(shù)共有2＋18＋80＝100(個(gè)).方法二：5個(gè)數(shù)分一組(如1，2，3，4，5為第一組)，每組有且只有一個(gè)數(shù)被5除余2，在1，2，···，500中，可分為100個(gè)組，所以在1，2，···，500中，被5除余2的數(shù)共有100個(gè).5.由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復(fù))?解：要完成的一件事是“確定一個(gè)三位數(shù)”，分三步完成：第1步，確定個(gè)位數(shù)，有5種方法；第2步，確定十位數(shù)，有5種方法；第3步，確定百位數(shù)，有5種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成的不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×5＝125.例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成.圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊它有多少條執(zhí)行路徑?另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎?分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來(lái)完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18＋45＋28＝91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38＋43＝81.又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81＝7371.在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊，這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常，總共需要的測(cè)試次數(shù)為18＋45＋28＋38＋43＝172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為3×2＝6.如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常.這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72＋6＝178.顯然，178與7371的差距是非常大的.例8通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖6.1-5所示.其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；(2)最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌?分析：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù).按序號(hào)編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為五個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類.解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.(1)當(dāng)沒(méi)有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為10×10×10×10×10＝100000.(2)當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24×10×10×10×10＝240000.同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000＋240000＋240000＋240000＋240000=1200000.(3)當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1，2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24×24×10×10×10＝576000.同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.于是，這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000×10＝5760000.綜合(1)(2)(3)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為100000＋1200000＋5760000＝7060000.練習(xí)1.乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b5)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后共有多少項(xiàng)?解：由于每一項(xiàng)都是aibjck

的形式(i，j＝1，2，3，k＝1，2，3，4，5)，所以可以分三步完成：第1步，取ai(i＝1，2，3)，有3種方法；第2步，取bj(j＝1，2，3)，有3種方法；第3步，取ck

(k＝1，2，3，4，5)，有5種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，展開式的項(xiàng)數(shù)為3×3×5＝45.2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?解：方法一：要確定個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，可先確定個(gè)位數(shù)字后再考慮十位數(shù)字，分為九類：第一類：個(gè)位數(shù)字是0，十位數(shù)字有9種取法，故此類有9個(gè)數(shù)；第二類：個(gè)位數(shù)字是1，十位數(shù)字有8種取法，故此類有8個(gè)數(shù)；第三類：個(gè)位數(shù)字是2，十位數(shù)字有7種取法，故此類有7個(gè)數(shù)，···第九類：個(gè)位數(shù)字是8，十位數(shù)字有1種取法，故此類有1個(gè)數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45.方法二：所有兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)有9個(gè)(如11，22，···)，不滿足題意；個(gè)位數(shù)字是0的兩位數(shù)有9個(gè)(如10，20，···)，滿足題意；剩下的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為90－9－9＝72，在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)都有一個(gè)個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，根據(jù)對(duì)稱性，有36個(gè)數(shù)滿足題意，所以個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為9＋36＝45.3.某商場(chǎng)有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?解：從6個(gè)門中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，并且從其他的門出去，分兩步完成：先從6個(gè)門中選一個(gè)門進(jìn)入，再?gòu)钠溆?個(gè)門中選一個(gè)出去.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式的種數(shù)為6×5＝30.4.任意畫一條直線，在直線上任取n

個(gè)分點(diǎn).(1)從這n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?解：方法一：在一條直線上的n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可從左起第1個(gè)點(diǎn)開始，往右分(n－1)類完成.第一類：從左起第1個(gè)點(diǎn)開始，往右還有(n－1)個(gè)點(diǎn)，就有(n－1)條線段；第二類：從左起第2個(gè)點(diǎn)開始，往右還有(n－2)個(gè)點(diǎn)，就有(n－2)條線段；······

方法二：因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)點(diǎn)就有一條線段，可先確定左端點(diǎn)，再確定右端點(diǎn)，分2步完成.第一步：左端點(diǎn)可從n個(gè)點(diǎn)中任取一個(gè)，共有n

種方法；第二步：右端點(diǎn)可從剩下的(n－1)個(gè)點(diǎn)中任取一個(gè)，共有(n－1)種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從這n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成的有向線段共有n(n－1)條，而線段沒(méi)有方向，根據(jù)對(duì)稱性，可得從這n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到n(n－1)條線段.(2)從這n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成兩條有向線段，可得到多少條有向線段?解：由(1)知，從這n

個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成的有向線段共有n(n－1)條.6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理習(xí)題6.11.一個(gè)商店銷售某種型號(hào)的電視機(jī)，其中本地的產(chǎn)品有4種，外地的產(chǎn)品有7種.要買1臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī)，有多少種不同的選法?復(fù)習(xí)鞏固解：要完成的一件事是“買1臺(tái)某種型號(hào)的電視機(jī)”，可以買本地的，也可以買外地的.因此選法有4＋7＝11(種).2.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線?解：要完成的一件事是“從甲地經(jīng)乙地或經(jīng)丙地到丁地”，所以先分類，后分步.故不同的路線共有2×3＋4×2＝14(條).3.如圖，要讓電路從A處到B處只有一條支路接通，可有多少條不同的路徑?解：要完成的一件事是“接通電路”，根據(jù)電路的有關(guān)知識(shí)，容易得到不同的接通路徑有3＋1＋2×2＝8(條).4.用1，5，9，13中的任意一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)?可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)?解：對(duì)于第一問(wèn)，要完成的一件事是“構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)”.因?yàn)?，5，9，13是奇數(shù)，4，8，12，16是偶數(shù)，所以以1，5，9，13中任意一個(gè)數(shù)為分子，都可以與4，8，12，16中的任意一個(gè)數(shù)(作為分母)構(gòu)成分?jǐn)?shù)，因此可以分兩步來(lái)構(gòu)成分?jǐn)?shù)：第一步，選分子，有4種選法；第二步，選分母，也有4種選法.故可構(gòu)成的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為4×4＝16.對(duì)于第二問(wèn)，要完成的一件事是“構(gòu)成一個(gè)真分?jǐn)?shù)”.分四類：當(dāng)分子為1時(shí)，分母可以從4，8，12，16中任選一個(gè)數(shù)，有4個(gè)；當(dāng)分子為5時(shí)，分母可以從8，12，16中任選一個(gè)數(shù)，有3個(gè)；當(dāng)分子為9時(shí)，分母可以從12，16中任選一個(gè)數(shù)，有2個(gè)；當(dāng)分子為13時(shí)，分母只能選16，有1個(gè).所以可構(gòu)成的真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為4＋3＋2＋1＝10.5.的一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同.從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球，共有多少種不同的取法?解：要完成的一件事是“從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球”，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的取法種數(shù)為5×6＝30.6.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A＝{10，1，2，3，4，5}內(nèi)取值的不同點(diǎn)共有多少個(gè)?解：要完成的一件事是“用坐標(biāo)確定一個(gè)點(diǎn)”.由于橫、縱坐標(biāo)可以相同，因此可以分兩步完成：第1步，從集合A中選取橫坐標(biāo)，有6種不同的選擇；第2步，從集合A中選取縱坐標(biāo)，也有6種不同的選擇.所以共有6×6＝36(個(gè))不同的點(diǎn).(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合B＝{1，3，5，7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C＝{12，4，6，8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條?解：要完成的一件事是“確定一條直線的方程”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直線都是互不相同的，因此可分兩步完成：第一步，取斜率，有4種不同的取法；第二步，取截距，有4種不同的取法.所以共有不同的直線4×4＝16(條).綜合運(yùn)用7.一種密碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有0~9共10個(gè)數(shù)字.現(xiàn)最后一個(gè)撥號(hào)盤出現(xiàn)了故障，只能在0~5這6個(gè)數(shù)字中撥號(hào)，這4個(gè)撥號(hào)盤可組成多少個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼?解：要完成的一件事是“組成一個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼”.因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，最后一個(gè)數(shù)字只能在0到5這六個(gè)數(shù)字中選擇，所以可組成的四位數(shù)字號(hào)碼的個(gè)數(shù)為10×10×10×6＝6000.8.(1)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)不同報(bào)法的種數(shù)是34還是43?解：要完成的一件事是“4名同學(xué)分別參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)中的一個(gè)，每人限報(bào)一個(gè)，可以報(bào)同一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)”，應(yīng)該是人選運(yùn)動(dòng)隊(duì)，所以不同報(bào)法的種數(shù)是34.(2)3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53?解：要完成的一件事是“3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽”應(yīng)該是班選景點(diǎn)，故不同選法的種數(shù)是53.9.(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件，有多少種不同的送法?解：要完成的一件事是“從5件不同的禮物中選4件送給4位同學(xué)，每人1件”，應(yīng)該分4步，每步選一件禮物送給一個(gè)同學(xué)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有5×4×3×2＝120(種).(2)有5個(gè)編了號(hào)的抽屜，要放進(jìn)3本不同的書，不同的放法有多少種?(一個(gè)抽屜可放多本書.)解：要完成的一件事是“把3本不同的書放進(jìn)抽屜，每本書都可放進(jìn)5個(gè)不同的抽屜中的任意一個(gè)”是書選抽屜，所以不同的放法有53＝125(種).10.口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出2個(gè)球.(1)恰好是白球、紅球各一個(gè)的取法有多少種?解：要完成的一件事是“取出一個(gè)白球、一個(gè)紅球”.可分2步解決：第1步取一個(gè)白球，有8種取法；第2步取一個(gè)紅球，有10種取法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有8×10＝80(種)不同取法.(2)恰好是兩個(gè)白球的取法有多少種?

(3)至少有一個(gè)白球的取法有多少種?解：要完成的一件事是“取出一個(gè)白球、一個(gè)紅球或者取出兩個(gè)白球”.可分兩類解決：取出一個(gè)白球、一個(gè)紅球有80種不同的取法；取出兩個(gè)白球有28種不同的取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有80＋28＝108(種)不同的取法.(4)兩球的顏色相同的取法有多少種?

拓廣探索11.在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法?解：利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分七步來(lái)求解.第一步，安排第一天的值班人員，有7種方法；第二步，安排第二天的值班人員，有6種方法；第三步，安排第三天的值班人員，有6種方法；同理，第四、五、六、七步均有6種方法.綜上所述，共有7×6×6×6×6×6×6＝326592(種)可能的安排方法.12.2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)?解：∵2160＝24×35×5，∴若設(shè)2160的正因數(shù)P＝2α×3β×5γ，則α∈{0，1，2，3，4}，β∈{0，1，2，3}，γ∈{0，1}，故2160的正因數(shù)共有5×4×2＝40(個(gè)).同學(xué)們，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛(ài)心.誠(chéng)心.細(xì)心.耐心，讓家長(zhǎng)放心.孩子安心。第六章計(jì)數(shù)原理人教A數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)6.2推列與組合第六章計(jì)數(shù)原理在上節(jié)例8的解答中我們看到，用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，因做了一些重復(fù)性工作而顯得煩瑣，能否對(duì)這類計(jì)數(shù)問(wèn)題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢?為此，先來(lái)分析兩個(gè)具體的問(wèn)題.6.2.1排列問(wèn)題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法?此時(shí)，要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2＝6.這6種不同的選法如圖6.2-1所示.如果把上面問(wèn)題中被取出的對(duì)象叫做元素，那么問(wèn)題可敘述為：從3個(gè)不同的元素a，b，c

中任意取出2個(gè)，并按定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法種數(shù)為3×2＝6.問(wèn)題1中的“順序”是什么?問(wèn)題2從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)?顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1，2，3，4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為4×3×2＝24.因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖6.2-2所示.由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.同樣，問(wèn)題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素a，b，c，d中任意取出3個(gè)，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?所有不同的排列是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.不同的排列方法種數(shù)為

4×3×2＝24.問(wèn)題2中的“順序”是什么?問(wèn)題1和問(wèn)題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).排列的定義一般地，從n

個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如，在問(wèn)題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問(wèn)題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.例1

某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì)，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為6×5＝30.例2

(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜共有多少種不同的取法?(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法?分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個(gè)位置(給3名同學(xué))的一個(gè)排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.解：(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3＝60.(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為5×5×5＝125.1.寫出：(1)用0~4這5個(gè)自然數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的全部?jī)晌粩?shù)；(2)從a，b，c，d中取出2個(gè)字母的所有排列.練習(xí)解：(1)10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43.(2)ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.2.一位老師要給4個(gè)班輪流做講座，每個(gè)班講1場(chǎng)，有多少種輪流次序?解：第一場(chǎng)講座可以從4個(gè)班中任選1個(gè)，有4種選法；第二場(chǎng)講座從剩下的3個(gè)班中任選1個(gè)，有3種選法；第三場(chǎng)講座可從剩下的2個(gè)班中任選1個(gè)，有2種選法；最后一場(chǎng)再給最后1個(gè)班進(jìn)行講座，所以共有4×3×2×1＝24(種)輪流次序.3.學(xué)校乒乓團(tuán)體比賽采用5場(chǎng)3勝制(5場(chǎng)單打)，每支球隊(duì)派3名運(yùn)動(dòng)員參賽，前3場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)1次，其中第1，2位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員在后2場(chǎng)比賽中還將各出場(chǎng)1次.(1)從5名運(yùn)動(dòng)員中選3名參加比賽，前3場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況?解：從5名運(yùn)動(dòng)員中先選1人參加第一場(chǎng)比賽，有5種選法.再?gòu)氖Ｏ碌?名運(yùn)動(dòng)員中選1人參加第二場(chǎng)比賽，有4種選法.最后從剩下的3名運(yùn)動(dòng)員中選1人參加第三場(chǎng)比賽，有3種選法.所以前三場(chǎng)單打比賽的出場(chǎng)情況有5×4×3＝60(種).(2)甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，寫出所有可能的出場(chǎng)情況.解：可分為三類：第一類，5場(chǎng)中前3場(chǎng)贏，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6種情況.第二類，5場(chǎng)中前3場(chǎng)贏2場(chǎng)，第4場(chǎng)贏，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙甲丙乙，乙甲丙甲，乙丙甲乙，乙丙甲丙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12種情況.第三類，5場(chǎng)中前4場(chǎng)贏2場(chǎng)，最后一場(chǎng)贏，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙12種情況.綜上，所有可能的出場(chǎng)情況共有6＋12＋12＝30(種).6.2.2排列數(shù)前面給出了排列的定義，下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式.

現(xiàn)在來(lái)計(jì)算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分為兩個(gè)步驟完成：第1步，填第1個(gè)位置的元素，可以從這n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種選法；第2步，填第2個(gè)位置的元素，可以從剩下的(n－1)個(gè)元素中任選1個(gè)，有(n

－1)種選法.

填空可以分為m

個(gè)步驟完成：第1步，從n

個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1位，有種選法；第2步，從剩下的(n－1)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第2位，有(n－1)種選法；第3步，從剩下的(n－2)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第3位，有(n－2)種選法；第m

步，從剩下的[n－(m－1)]個(gè)元素中任選1個(gè)填在第m

位，有(n－m＋1)種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，m個(gè)空位的填法種數(shù)為

n(n－1)(n－2)···(n－m＋1).這樣，我們就得到公式

這里，m，n∈N*，并且m≤n，這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式.

也就是說(shuō)，將n

個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n

的連乘積.正整數(shù)1到n

的連乘積，叫做n

的階乘，用n!

表示。于是，n

個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成

另外，我們規(guī)定，0!＝1.

因此，排列數(shù)公式還可以寫成

例4用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來(lái)考慮問(wèn)題.

對(duì)于例4這類計(jì)數(shù)問(wèn)題，從不同的角度就有不同的解題方法.解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事；解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，按分類加法計(jì)數(shù)原理完成這件事；解法3是一種間接法，先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)，然后減去其中百位是0的排列數(shù)(不是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到，引入排列的概念，歸納出排列數(shù)公式，我們就能便捷地求解“從”n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題.練習(xí)

3.一個(gè)火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法?

6.2.3組合在6.2.1節(jié)問(wèn)題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2種方法，而從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮將選出的2名同學(xué)作為一組不需要考慮他們的順序.于是，在6.2.1節(jié)問(wèn)題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為-組的選法就只有如下3種情況：甲乙，甲丙，乙丙.將具體背景舍去，上述問(wèn)題可以概括為：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組，一共有多少個(gè)不同的組?這就是我們要研究的問(wèn)題.組合的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從n

個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素這是它們的共同點(diǎn)，但排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無(wú)關(guān)，只有元素相同日順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的；而兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的.例如，在上述探究問(wèn)題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，不同的排列.這樣，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，就可以建立起排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖6.2-7所示.由此，6.2.1節(jié)問(wèn)題1的6個(gè)排列可以分成每組有2個(gè)不同排列的3個(gè)組，也就是上面探究問(wèn)題的3個(gè)組合.例5平面內(nèi)有A，B，C，D

共4個(gè)點(diǎn).(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?分析：(1)確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮它們的順序，是排列問(wèn)題；(2)確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需考慮它們的順序，是組合問(wèn)題.

(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?解：由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將(1)中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB，AC，AD，BC，BD，CD.練習(xí)1.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽.(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；解：所有各場(chǎng)比賽的雙方為甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁.(2)列出所有冠、亞軍的可能情況.解：所有冠、亞軍的可能情況如下表所示.冠軍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁亞軍乙甲丙甲丁甲丙乙丁乙丁丙2.已知平面內(nèi)A，B，C，D

這4個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，寫出以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形解：所有三角形為△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.3.現(xiàn)有1，3，7，13這4個(gè)數(shù).(1)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不相等的和?解：從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，由于不需要考慮兩個(gè)數(shù)的順序，每個(gè)和式都對(duì)應(yīng)著從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合，不相等的和有如下6個(gè).1＋3＝4，1＋7＝8，1＋13＝14，3＋7＝10，3＋13＝16，7＋13＝20.(2)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到多少個(gè)不相等的差?

6.2.4組合數(shù)類比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念：

因此，

這里n，m∈N*，并且m≤n.這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.

例7在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?分析：(1)從100件產(chǎn)品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此這是一個(gè)組合問(wèn)題；(2)可以先從2件次品中抽出1件，再?gòu)?8件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題；(3)從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個(gè)分類完成的組合問(wèn)題.

(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?

練習(xí)

3.有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選3門考試成績(jī).(1)共有多少種不同的選法?

(2)如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法?

(3)如果物理和化學(xué)至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?

6.2推列與組合習(xí)題6.2復(fù)習(xí)鞏固

3.壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張，一共可以組成多少種幣值?

4.填空題(1)有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是當(dāng)______________；(2)要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學(xué)，不同方法的種數(shù)是______________；(3)5名工人各自在3天中選擇1天休息，不同方法的種數(shù)是_____________；(4)集合A有m個(gè)元素，集合B有n

個(gè)元素，從兩個(gè)集合中各取1個(gè)元素，不同方法的種數(shù)是_____________.1060243mn5.一名同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)要將這些書放在一個(gè)單層的書架上.(1)如果要選其中的6本書放在書架上，那么有多少種不同的放法?(2)如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法?

6.(1)空間中有8個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過(guò)每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作多少個(gè)平面?(2)空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過(guò)每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，可以作多少個(gè)四面體?

7.在一次考試的選做題部分，要求在第1題的4個(gè)小題中選做3個(gè)小題，在第2題的3個(gè)小題中選做2個(gè)小題，在第3題的2個(gè)小題中選做1個(gè)小題，有多少種不同的選法?

綜合運(yùn)用

9.學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序.除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，4個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，有多少種不同的排法?

10.班上每個(gè)小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽.(1)每個(gè)小組有多少種選法?

(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ)，那么每個(gè)小組有多少種選法?

(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個(gè)小組有多少種選法?

11.一個(gè)數(shù)陣有m行n列，第一行中的n

個(gè)數(shù)互不相同，其余行都由這n

個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，那么的值最大可取多少?解：n

個(gè)互不相同的數(shù)的全排列共有n!個(gè)，為使m

行中任意兩行的順序都不相同，則需m≤n!，所以m

可以取的最大值是n!.12.(1)從0，2，4，6中任取3個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

(2)由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比5000000大的正整數(shù)?

13.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.(1)如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法?(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有多少種選法?(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法?(4)如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法?

14.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì).(1)如果必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，有多少種不同的去法?(2)如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，有多少種去法?

14.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì).(1)如果必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，有多少種不同的去法?

(2)如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，有多少種去法?

15.從含有3件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取5件進(jìn)行檢驗(yàn).(1)抽出的產(chǎn)品都是合格品的抽法有多少種?(2)抽出的產(chǎn)品中恰好有2件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的產(chǎn)品中至少有2件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的產(chǎn)品中至多有2件是次品的抽法有多少種

拓廣探索16.根據(jù)某個(gè)福利彩票方案，每注彩票號(hào)碼都是從1~37這37個(gè)數(shù)中選取7個(gè)數(shù)，如果所選7個(gè)數(shù)與開出的7個(gè)數(shù)一樣(不管排列順序)，彩票即中一等獎(jiǎng).(1)多少注不同號(hào)碼的彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)?

17.如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法?解：可以按照Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的順序著色，分別有5，4，3，3種著色方法，所以不同的著色方法種數(shù)為5×4×3×3＝180.18.移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來(lái)了方便，某種移動(dòng)社交軟件平臺(tái)，既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交流，又可供多個(gè)用戶建立一個(gè)“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系)共同交流.如果某人在平臺(tái)上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.現(xiàn)有一個(gè)10人的“群”，其中1人在平臺(tái)上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說(shuō)看到了，那么這個(gè)“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)系的情況可能有多少種?

19.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍，”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況?

同學(xué)們，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛(ài)心.誠(chéng)心.細(xì)心.耐心，讓家長(zhǎng)放心.孩子安心。第六章計(jì)數(shù)原理人教A數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)6.3二項(xiàng)式定理第六章計(jì)數(shù)原理上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的(a＋b)n

展開的問(wèn)題.6.3.1二項(xiàng)式定理我們先來(lái)分析(a＋b)n

的展開過(guò)程.根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a(a＋b)＋b(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.

下面我們?cè)賮?lái)分析一下形如a2－kbk

的同類項(xiàng)的個(gè)數(shù).

從上述對(duì)具體問(wèn)題的分析得到啟發(fā)，對(duì)于任意正整數(shù)n，我們有如下猜想：

(1)下面我們對(duì)上述猜想的正確性予以說(shuō)明.由于(a＋b)n

是n

個(gè)(a＋b)相乘，每個(gè)(a＋b)在相乘時(shí)有兩種選擇，選a或b，而且每個(gè)(a＋b)中的a或b

都選定后，將它們相乘才能得到展開式的一項(xiàng).因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前，(a＋b)n

的展開式共有2n

項(xiàng)，其中每一項(xiàng)都是an－kbk(k＝0，1，···，n)的形式.

(1)

在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a＝1，b＝x，則得到公式：

例2(1)求(1＋2x)7

的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；

練習(xí)1.寫出(p＋q)5

的展開式.解：(p＋q)5＝p5＋5p4q＋10p3q2＋10p2q3＋5pq4＋q5.2.求(2a＋3b)6

的展開式的第3項(xiàng).

5.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展開式中，含x4

的項(xiàng)的系數(shù)是___________________.D－156.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

用計(jì)算工具計(jì)算(a＋b)n

的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，并填入表6.3-1.表

6.3-1n(a＋b)n

的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)123456通過(guò)計(jì)算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?從表6.3-1可以發(fā)現(xiàn)，每一行中的系數(shù)具有對(duì)稱性.除此以外還有什么規(guī)律呢?為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，上表還可以寫成如圖6.3-1所示的形式.觀察圖6.3-1，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律?

分析圖6.3-1和圖6.3-2，可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的以下性質(zhì)。1.對(duì)稱性

你能用組合的意義解釋一下這個(gè)“組合等式”嗎?2.增減性與最大值

3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和

例3

求證：在(a＋b)n

的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.

練習(xí)

1024

3.寫出n

從1到10的二項(xiàng)式系數(shù)表.4.若一個(gè)集合含有n

個(gè)元素，則這個(gè)集合共有多少個(gè)子集?

6.3二項(xiàng)式定理習(xí)題6.31.選擇題(1)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8

的展開式中，含x3

的項(xiàng)的系數(shù)是()(A)74(B)121(C)－74(D)－121(2)(x＋1)n的展開式中x2

的系數(shù)為15，則n＝().(A)7(B)6(C)5(D)4復(fù)習(xí)鞏固2.(x＋y)(x－y)5

的展開式中x3y3

的系數(shù)是_______________.DB03.用二項(xiàng)式定理展開：

4.化簡(jiǎn)：

(2)(2x

＋3x)4＋(2x－3x)4.

解：(1)前4項(xiàng)分別是1，－30x，420x2，－3640x3.(2)T8＝－2099520a9b14.(3)T7＝924.6.求下列各式的二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)：

綜合運(yùn)用7.證明：

證明：

證明：8.已知(1＋x)n

的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

9.用二項(xiàng)式定理證明：(1)(n＋1)n－1能被n2

整除；

(2)9910－1能被1000整除.

拓廣探索

11.下圖反映了二項(xiàng)式定理產(chǎn)生、完備和推廣所走過(guò)的漫長(zhǎng)歷程：(1)在上述發(fā)展過(guò)程中，無(wú)論是推廣還是證明，都是從特殊到一般.如今，數(shù)學(xué)研究的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)就是盡可能地一般化.請(qǐng)你試一試，從(a＋b)n

推廣到(a1＋a2＋···＋am)n(m，n∈N*).解：(2)請(qǐng)你查閱相關(guān)資料，細(xì)化上述歷程中的某段過(guò)程，例如從3次到n次，從二項(xiàng)到m項(xiàng)等，說(shuō)一說(shuō)數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的.略.同學(xué)們，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛(ài)心.誠(chéng)心.細(xì)心.耐心，讓家長(zhǎng)放心.孩子安心。第六章計(jì)數(shù)原理人教A數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)6.4復(fù)習(xí)參考題第六章計(jì)數(shù)原理1.填空題(1)乘積(a1＋a2＋···＋an)(b1＋b2＋···＋bn)展開后，共有_______項(xiàng)；(2)學(xué)生可從本年級(jí)開設(shè)的7門選修課中任意選擇3門，并從6種課外活動(dòng)小組中選擇2種，不同的選法種數(shù)是______________；(3)安排6名歌手演出順序時(shí)，要求某歌手不是第一個(gè)出場(chǎng)，也不是最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的種數(shù)是________________；復(fù)習(xí)鞏固n2525480(4)5個(gè)人分4張無(wú)座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是_____________；(5)5名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個(gè)講座，不同選擇的種數(shù)是_____________；(6)正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是_______________；(7)(1＋x)2n

的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第________項(xiàng).524354n＋12.一個(gè)集合有5個(gè)元素.(1)這個(gè)集合的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)這個(gè)集合的子集共有多少個(gè)?

61926500000581或－14.(1)平面內(nèi)有n

條直線，其中沒(méi)有兩條平行，也沒(méi)有三條交于一點(diǎn)，共有多少個(gè)交點(diǎn)?(2)空間有n

個(gè)平面，其中沒(méi)有兩個(gè)互相平行，也沒(méi)有三個(gè)交于一條直線，共有多少條交線?

5.(1)求(1