專(zhuān)題17數(shù)列綜合大題歸類(lèi)：求和，放縮不等式目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：分組求和：公式法 1題型二：分組求和：奇偶分段型 2題型三：分組求和：正負(fù)相間型 3題型四：倒序求和型 3題型五：裂項(xiàng)相消1：函數(shù)型 4題型六：裂項(xiàng)相消2：指數(shù)型 5題型七：裂項(xiàng)相消3：無(wú)理根號(hào)型 6題型八：裂項(xiàng)相消4：分子分母齊次分離型 7題型九：裂項(xiàng)相消5：等差指數(shù)混合型 7題型十：裂項(xiàng)相消6：正負(fù)相間裂和型 8題型十一：裂項(xiàng)相消7：三角函數(shù)型 9題型十二：裂項(xiàng)型證明數(shù)列不等式 10題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明 11題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式 12題型十五：先放縮再求和證明數(shù)列不等式 13題型十六：利用導(dǎo)數(shù)不等式證明數(shù)列不等式 13題型一：分組求和：公式法等差等比求和是求和的基礎(chǔ)。等差等比求和公式：等差等比求和是求和的基礎(chǔ)。等差等比求和公式：等差：前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).等比：前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))1．（23-24高三·河北唐山·模擬）已知數(shù)列，，．(1)證明：數(shù)列，為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（23-24高三·重慶九龍坡·模擬）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（22-23高三·河南鄭州·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型二：分組求和：奇偶分段型分組求和法：分組求和法：1.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減2.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減3.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減如果涉及到分段數(shù)列，則.要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項(xiàng)”求和1．（23-24高三·江蘇泰州·模擬）已知等差數(shù)列an中，，前n項(xiàng)和為，bn為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，．(1)求與；(2)定義新數(shù)列滿(mǎn)足，，求前20項(xiàng)的和．2．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（23-24高三下·廣東·模擬）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列．(1)求an(2)若，，求數(shù)列bn的前100項(xiàng)和．4．（23-24高三·江蘇鹽城·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差.數(shù)列為公比的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三：分組求和：正負(fù)相間型正負(fù)相間求和：正負(fù)相間求和：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以?xún)身?xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。1．（24-25高三·全國(guó)·練習(xí)）已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.4．（23-24高三·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，是數(shù)列的前項(xiàng)和.求題型四：倒序求和型倒序求和：倒序求和：倒序求和，多是具有中心對(duì)稱(chēng)的“函數(shù)型”，此類(lèi)函數(shù)具有“和定”的特征，滿(mǎn)足“和定”特征的還有組合數(shù)。1．（2022高三·全國(guó)·模擬）設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；2．（20-21高三·全國(guó)·模擬）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．3．（20-21高三·江蘇蘇州·期中）已知（1）若，求；（2）若，求除以5的余數(shù)4．（23-24高三·四川成都·模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)求的值.題型五：裂項(xiàng)相消1：函數(shù)型函數(shù)型，指的是函數(shù)型，指的是f（n）=t（q-p），差型；f（n）是分離常數(shù)型；1．（24-25高三·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，求證：．2．（23-24高三·江西·模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．4．（23-24高三·河北石家莊·模擬）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求an(2)若，數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.題型六：裂項(xiàng)相消2：指數(shù)型指數(shù)型，類(lèi)似函數(shù)型的列項(xiàng)思維指數(shù)型，類(lèi)似函數(shù)型的列項(xiàng)思維形如1．（23-24高三·河南·模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.2．（23-24高三下·河南·模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足(1)求證:為等比數(shù)列；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（23-24高三·云南曲靖·模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（23-24高三·湖北武漢·模擬）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和題型七：裂項(xiàng)相消3：無(wú)理根號(hào)型無(wú)理根式型裂項(xiàng)：一般情況下，無(wú)理型裂項(xiàng)相消滿(mǎn)足：1．（23-24高三·四川南充·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.2．（23-24高三·遼寧本溪·期末）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，證明：除點(diǎn)外，曲線段總在的下方；(3)設(shè)，證明：．4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)記，求證：．題型八：裂項(xiàng)相消4：分子分母齊次分離型分離常數(shù)型分離常數(shù)型分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂項(xiàng)，可以考慮通過(guò)分離常數(shù)，把分子次冪降下來(lái)。1．（23-24高三·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.3．（23-24高三·安徽蕪湖·模擬）設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，且其前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.32．（23-24高三·江蘇鹽城·期末）數(shù)列中，，，設(shè).(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過(guò)的最大的整數(shù).題型九：裂項(xiàng)相消5：等差指數(shù)混合型，，注意湊配“同構(gòu)”形式以裂項(xiàng)達(dá)到相消的目的1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)計(jì)算，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024高三·全國(guó)·模擬）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，．(1)求與；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（23-24高三·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn):是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型十：裂項(xiàng)相消6：正負(fù)相間裂和型正負(fù)型：等差裂和型正負(fù)型：等差裂和型1．（23-24高三·湖北武漢·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，且.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前10項(xiàng)和．3．（23-24高三·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)是“數(shù)列”．(1)若，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”；(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，且是“數(shù)列”，①求的值；②設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和為．題型十一：裂項(xiàng)相消7：三角函數(shù)型1．（2024高三·全國(guó)·模擬）已知在數(shù)列an中，.(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.2．（23-24高三下·河南·模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，(1)求；(2)若，求數(shù)列的前1012項(xiàng)和．3．（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列an和bn的各項(xiàng)均為正，且，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2023·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)求；(2)證明：是等差數(shù)列，并求出；(3)設(shè)，求的前項(xiàng)和.題型十二：裂項(xiàng)型證明數(shù)列不等式裂項(xiàng)型證明裂項(xiàng)型證明數(shù)列不等式：裂項(xiàng)求和。求和后的函數(shù)數(shù)列式子，具有放縮和單調(diào)性?xún)煞矫娴奶卣?。一些求和后的式子，還可以通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)證明45．（23-24高三·江蘇常州·模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足：，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．2．（23-24高三·安徽·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí).3．（23-24高三·山西·期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.4．（23-24高一下·上?！て谥校┰O(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和2的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記；①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②設(shè)，是否存在常數(shù)，使對(duì)恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明三角函數(shù)數(shù)列不等式：三角函數(shù)數(shù)列不等式：利用三角函數(shù)的周期型。利用三角函數(shù)正余弦函數(shù)的有界性。一些題型，可以借助泰勒公式等導(dǎo)數(shù)形式證明的結(jié)論1．（23-24高三·湖北·期中）18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱(chēng)麥克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．其中，f″x表示的二階導(dǎo)數(shù)，即為f'x的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)．(1)根據(jù)公式估計(jì)的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）(2)由公式可得：，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)比較與的大小，并給出證明；(3)已知，證明：．2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）泰勒公式是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處展開(kāi)成無(wú)限項(xiàng)的多項(xiàng)式.當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：.注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類(lèi)推，表示在原點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù).(1)根據(jù)公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(2)當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明；(3)設(shè)，證明：.3．（2024高三·全國(guó)·模擬）已知函數(shù).(1)證明：；(2)求證：.4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利畫(huà)家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類(lèi)似的可定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì).(1)類(lèi)比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫(xiě)出（不證明）雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論：________；(2)當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；(3)證明：題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式1．（24-25高三·遼寧·開(kāi)學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最大值；(3)設(shè)，證明：.2．（23-24高三·江西南昌·模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，求使得對(duì)所有都成立的自然數(shù)的值.3．（23-24高三·浙江·模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．題型十五：先放