專題22圓錐曲線軌跡全歸納M目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：定義法：圓型 1題型二：橢圓定義型 3題型三：雙曲線定義型 6題型四：拋物線定義型 10題型五：直接設(shè)點(diǎn)型 13題型六：相關(guān)點(diǎn)代入法 16題型七：交軌法 18題型八：參數(shù)消參法 22題型九：空間型：坐標(biāo)法 25題型十：空間型：截面型曲線軌跡 29題型十一：空間型：雙球圓錐型 34題型十二：立體幾何定角型 38題型十三：復(fù)數(shù)中的軌跡 42題型一：定義法：圓型如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，可直接寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑．若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行1．（22-23高三·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)（與，不重合），則錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)P的軌跡方程C． D．的最大值為【答案】B【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷A，由已知可得兩條直線互相垂直，由此可驗(yàn)證B、C，由已知可得，設(shè)，進(jìn)而求出的最大值，即可判斷D．【詳解】由動(dòng)直線，得，所以定點(diǎn)，故A正確；由動(dòng)直線，可得，由和，滿足所以，可得，所以，故C正確；設(shè)，則，即點(diǎn)P的軌跡方程為，而與，不重合，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)，為銳角，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故D正確．故選：B．2．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由兩直線方程求出的坐標(biāo)，由于兩直線垂直，所以，若設(shè)，則，，然后表示出變形后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.【詳解】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線，即，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查兩直線的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知得到，通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.3．（24-25高三·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直線過(guò)定點(diǎn)及兩直線位置關(guān)系先確定P的軌跡，取點(diǎn)構(gòu)造相似結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€，直線，易知，且分別過(guò)定點(diǎn)，取其中點(diǎn)C-2,0，易知，則P點(diǎn)在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點(diǎn)，連接,不難發(fā)現(xiàn)，則，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且與線段和圓C的交點(diǎn)重合時(shí)取得等號(hào).故選：A.4．（22-23高三·福建莆田·階段練習(xí)）已知，若過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)P（P與A，B不重合），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．A點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)P的軌跡方程C． D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)定點(diǎn)判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：可以轉(zhuǎn)化為，故直線恒過(guò)定點(diǎn)A，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：恒過(guò)定點(diǎn)B，由和,滿足，所以,可得,所以,故正確;對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè),則,即點(diǎn)的軌跡方程為,而與不重合,則挖去A，B兩點(diǎn)故錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?設(shè)為銳角,則,所以,所以當(dāng)時(shí),取最大值,故正確.故選：ACD.5．（22-23高三·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是【答案】【分析】根據(jù)兩直線的方程可求得定點(diǎn)、的坐標(biāo)，以及兩直線垂直，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，即得.【詳解】由可知，所以該直線過(guò)定點(diǎn)，由可得，所以該直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?所以直線與垂直，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程是，即.故答案為：.題型二：橢圓定義型平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距1．（20-21高三·浙江金華·模擬）如圖，，等邊的邊長(zhǎng)為2，M為BC中點(diǎn)，G為的重心，B，C分別在射線OP，OQ上運(yùn)動(dòng)，記M的軌跡為，G的軌跡為，則（

）A．為部分圓，為部分橢圓B．為部分圓，為線段C．為部分橢圓，為線段D．為部分橢圓，也為部分橢圓【答案】C【分析】建系如圖，由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的軌跡方程，由此得為部分橢圓；過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的直線分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得等邊，由平面幾何可得是等邊的外心，由此可得點(diǎn)的軌跡為軸在曲線內(nèi)的一段線段.【詳解】以為原點(diǎn)，以的角平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.依題意得直線的方程為，直線的方程為.設(shè)點(diǎn)，，由得（*），設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以即.將其代入（*）得，即，故的軌跡為橢圓在內(nèi)部的部分.過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的直線分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則顯然也是等邊三角形.下面證明等邊的重心即等邊的外心.設(shè)，則，又，且，所以，因此.在和中，，又，所以，則，同理可證，即點(diǎn)是等邊的外心，所以，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，故點(diǎn)的軌跡為軸在曲線內(nèi)的一段線段.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.2．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）單位向量，向量滿足，若存在兩個(gè)均滿足此條件的向量，使得，設(shè)，在起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)分別為.則的最大值（

）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】設(shè)，，整理得，可知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，分析可知三點(diǎn)共線，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意不妨設(shè)，，則，因?yàn)椋瑒t，整理得，可知向量的終點(diǎn)的軌跡為橢圓，且為橢圓的右焦點(diǎn)，可知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，由可知三點(diǎn)共線，設(shè)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)：1.設(shè)，，求得向量的終點(diǎn)的軌跡為橢圓；2.設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，可知三點(diǎn)共線.3．（23-24高三上·上海·模擬）設(shè)圓和圓是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓與這兩個(gè)定圓都相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】按動(dòng)圓與圓、圓內(nèi)切、外切情況分類，結(jié)合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓和圓的半徑分別是，①當(dāng)，且兩圓外離時(shí)，，若圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，則有或，于是，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線；若圓與圓、圓一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或，于是，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因此此時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線和一個(gè)雙曲線，B可能；②當(dāng)，且兩圓內(nèi)含時(shí)(不妨設(shè))，，若圓與圓、圓都內(nèi)切，則有，即有，此時(shí)點(diǎn)軌跡為橢圓；若圓與圓內(nèi)切、與圓外切時(shí)，則有，即有，此時(shí)點(diǎn)軌跡為橢圓；因此點(diǎn)軌跡為兩個(gè)橢圓，C可能；③當(dāng)兩圓且兩圓外離時(shí)(不妨設(shè)，，若圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，則有或，有，點(diǎn)軌跡為雙曲線；若圓與圓、圓一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或，有，點(diǎn)軌跡為雙曲線，因此點(diǎn)軌跡為兩個(gè)雙曲線，D可能；而兩個(gè)圓相交或相外切時(shí)，點(diǎn)軌跡是被直線分成的不連續(xù)的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓兩圓內(nèi)切時(shí)，點(diǎn)軌跡是直線被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線（不含端點(diǎn)），A不可能.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及軌跡形狀的判斷問(wèn)題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.4．（23-24高三·陜西榆林·模擬）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在圓M：上運(yùn)動(dòng)，線段AN的垂直平分線交AM于P點(diǎn)，則P的軌跡方程為；若動(dòng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為.【答案】【分析】由題意得出，得到點(diǎn)滿足，根據(jù)橢圓的定義，求得點(diǎn)表示為焦點(diǎn)的橢圓，即可求解.將求最大值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到圓心距離最大值的問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)P滿足橢圓方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求給定區(qū)間的最大值即可.【詳解】由題意，圓的圓心為，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以是的垂直平分線上的一點(diǎn)，所以，又由，所以點(diǎn)滿足，根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)表示為焦點(diǎn)的橢圓，其中，可得，所以，所以橢圓的方程為.圓的方程為，圓心，半徑，設(shè)，則，，到圓心的距離，又當(dāng)時(shí)，取得最大值，的最大值為：，故答案為：，題型三：雙曲線定義型平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．1．（22-23高三·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線與圓有交點(diǎn)，由此求的最小值.【詳解】圓C：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1.點(diǎn)，如圖所示：由，所以A，B，C三點(diǎn)共線，有，.問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，求的最小值，如圖所示：設(shè)，則點(diǎn)P軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，雙曲線方程為，由點(diǎn)P在圓上，所以雙曲線與圓有交點(diǎn)，由，消去y，得，，解得，則，所以的最小值.故選：D【點(diǎn)睛】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．2.解答曲線與曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強(qiáng)化聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．2．（21-22高三·江蘇南通·階段練習(xí)）在矩形中，，，把邊AB分成n等份，在的延長(zhǎng)線上，以的n分之一為單位長(zhǎng)度連續(xù)取點(diǎn).過(guò)邊AB上各分點(diǎn)和點(diǎn)作直線，過(guò)延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P滿足的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合題意找出與的關(guān)系式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，根據(jù)題意，易得直線，直線.由，令，得，因此邊AB上各分點(diǎn)坐標(biāo)為，由，令，得，因此延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合題意，可知，化簡(jiǎn)得.因此點(diǎn)P滿足的方程為：.故選：C.3．（2018高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，，是圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線【答案】D【分析】由是圓上任意—點(diǎn)，可得，結(jié)合已知，由垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得為定值，由雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線.【詳解】因?yàn)镹為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，所以，因?yàn)镻在線段的中垂線上，所以，因此，即點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查定義法求軌跡方程、雙曲線定義的應(yīng)用，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.4．（20-21高三·湖北武漢·模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和連線的斜率之積等于，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：與交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．滿足的直線有2條【答案】CD【解析】由已知結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式有，即可得的方程為，進(jìn)而可求的離心率，利用圓心到的漸近線距離判斷圓與的漸近線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與曲線，結(jié)合求值的個(gè)數(shù)，由此即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】令，由題意得：，即得，∴A錯(cuò)誤，又，即，故B錯(cuò)誤，由E的漸近線為，而圓心為，半徑為1，∴到距離為，故的漸近線與圓相切，故C正確，聯(lián)立曲線E與直線的方程，整理得：，，∴，而，代入整理：，即有或(由與無(wú)交點(diǎn)，舍去)，故，∴D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：（1）兩點(diǎn)式表示斜率時(shí)要保證分母不為0，從而確定曲線E的軌跡要去掉.（2）由求得值要考慮曲線E的軌跡不包含的情況舍掉增根.5．（24-25高三·全國(guó)·模擬）過(guò)曲線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則曲線的方程為．【答案】（且）【分析】設(shè)P及切線方程，由直線與圓相切得出關(guān)于斜率k的方程，由判別式得出，再由斜率關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)Px0,y0，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為所以，得，則是此方程的兩根，，，即，故，得，而要滿足題意需P在圓外，則，即曲線的方程為（且）．故答案為：(且)題型四：拋物線定義型平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．1．（21-22高三下·浙江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，已知圓M過(guò)定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|＝l1，|DB|＝l2，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程，設(shè)M進(jìn)而得到⊙M的方程為：，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，，再利用基本不等式即可得出．【詳解】設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)，∵，∴(0，y+1)(－x，2)＝(x，y－1)(x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，∴x2＝4y．∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為：x2＝4y．設(shè)M．（a∈R）．則⊙M的方程為：．化為．令y＝0，則x2－2ax+a2＝4，解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1，|DB|＝l2．當(dāng)a≠0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)．當(dāng)a＝0時(shí)，2．綜上可得：的最大值為．故選：C．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，則的重心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，的重心為，由定理1.1知【詳解】設(shè)Ax1,y1，B由定理1.1知Px可得，．于是，，，由點(diǎn)在直線上得，即．其中定理1.1及證明：如圖，拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為Ax1,y1，以，為切點(diǎn)的切線，相交于點(diǎn)，我們稱弦為阿基米德的底邊．定理1.1．點(diǎn)的坐標(biāo)為；證明：由，則，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去，可得，再將代入點(diǎn)處的切線方程，可得．這表明，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．3．（20-21高三·廣西南寧·模擬）拋物線：的過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出兩根之和，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)可得中點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，可得過(guò)焦點(diǎn)的直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為：，設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，，，，設(shè)的中點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：，，，所以可得，消去可得的軌跡方程：y2=2x-2，故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常見(jiàn)方法有：1、定義法；2、待定系數(shù)法；3、直接求軌跡法；4、反求法；5、參數(shù)方程法等等.4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（

）A．若，則曲線的圖象為一條拋物線B．若，則曲線的方程為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有【答案】AC【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意求出的方程，分、化簡(jiǎn)后逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，為拋物線，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，而，顯然不成立，綜上，若，則曲線的圖象為一條拋物線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，為拋物線，當(dāng)時(shí)，為一條射線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，為開(kāi)口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，當(dāng)時(shí)，，為開(kāi)口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，且與關(guān)于對(duì)稱,其圖象大致如下，因?yàn)?，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對(duì)稱性可得，故C正確；對(duì)于D，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，為開(kāi)口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，當(dāng)時(shí)，，為開(kāi)口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，且與關(guān)于對(duì)稱,其圖象大致如下，因?yàn)?，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對(duì)稱性可得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答案5．（24-25高三·全國(guó)·模擬）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)，，，根據(jù)可得，根據(jù)可得，代入即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，即，可得，即．故點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：.題型五：直接設(shè)點(diǎn)型如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．（1）到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線．（2）到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線．（3）平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑．求解過(guò)程：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)Px（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y（5）檢驗(yàn)：對(duì)某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn)．1．（24-25高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知曲線：，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由題意可得，代入曲線中即可得.【詳解】設(shè)，則有，設(shè)，則，由，則有，即，故有，即.故選：B.2．（24-25高三·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)整理即可求解.【詳解】設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合.由此得，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，即.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.3．（23-24高三·江蘇南通·階段練習(xí)）已知等腰底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可得頂點(diǎn)A的軌跡是的垂直平分線（除去垂直平分線與線段的交點(diǎn)），利用斜率關(guān)系與點(diǎn)斜式方程可得．【詳解】，且三點(diǎn)不共線，頂點(diǎn)A的軌跡是線段的垂直平分線（除去垂直平分線與線段的交點(diǎn)，即除去的中點(diǎn)），，，，所以與直線BC垂直的直線的斜率為，又BC的中點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為，即.頂點(diǎn)A的軌跡方程是，故選：D.

4．（24-25高三上·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（

）A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線關(guān)于某條直線對(duì)稱C．若曲線與直線（）無(wú)交點(diǎn)，則D．在曲線上取兩點(diǎn)，，其中，，則【答案】AC【分析】利用直接法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷AB選項(xiàng)，聯(lián)立直線與曲線，可判斷C選項(xiàng)，聯(lián)立曲線與單位圓，可得曲線與單位圓交于與，此兩點(diǎn)間距離恰好為，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知，即，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，將代入曲線方程可得成立，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)正確，做出曲線，易知該曲線可表示漸近線為及軸的雙曲線，則對(duì)稱軸過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為或，而,則其對(duì)稱軸為，又，所以曲線不是軸對(duì)稱圖形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；聯(lián)立直線與曲線方程，得無(wú)解，則或，即或，綜上，C選項(xiàng)正確；聯(lián)立曲線與單位圓，則，解得或，即曲線與單位圓交于，兩點(diǎn)，且，所以當(dāng)，分別與，重合時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.5．（24-25高三·江蘇常州·階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線上存在動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，，且時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得，此方程有實(shí)數(shù)根，可得，解出即可得出．【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得，此方程有解，，即，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.題型六：相關(guān)點(diǎn)代入法如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出Px,y,用x,y表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)第一步：設(shè)所求軌跡的點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)；第二步：找出與的關(guān)系，由表示，即；第三步：滿足已知的曲線方程，將代人，消去參數(shù)．對(duì)于不符合條件的點(diǎn)要注意取舍．1．（22-23高三·北京·階段練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓C：上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，建立等量關(guān)系，代入橢圓方程，整理可得答案.【詳解】設(shè)，，，則，，由，則，解得，由點(diǎn)在橢圓C：上，則，即，即點(diǎn)的軌跡方程是.故選：C.2．（21-22高三·遼寧沈陽(yáng)·模擬）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)檩S，且，所以，又動(dòng)點(diǎn)在圓上，所以，化簡(jiǎn)，得，即點(diǎn)的軌跡方程為；故選B.3．（22-23高三·四川內(nèi)江·模擬）已知面積為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】設(shè)，不妨令，正方形ABCD的面積為16，則，則，由，可得，即，則，整理得故選：B4．（24-25高三·河北唐山·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之比是常數(shù)（，且）的點(diǎn)的軌跡是圓．若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為B．點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6D．面積的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可判斷AB是否正確；對(duì)于D，只需，即可判斷D是否正確；對(duì)于C：根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，由，即，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡是圓且圓心，半徑為，對(duì)于A：點(diǎn)的軌跡區(qū)域面積，故A正確；對(duì)于B，圓心在直線上，故點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，B正確，對(duì)于C，,故點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為,C錯(cuò)誤，對(duì)于D，又，所以，而，則的最大值為．D正確，故選：ABD5．（20-21高三·上海楊浦·模擬）已知△的頂點(diǎn)，若頂點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則△的重心的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)的重心，，由重心的性質(zhì)可得，代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】設(shè)的重心，，則有，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線上，所以有，即，故答案為：.題型七：交軌法所求點(diǎn)滿足條件方程所求點(diǎn)滿足條件方程1所求點(diǎn)滿足條件方程2動(dòng)點(diǎn)是方程1、2兩軌跡方程，則滿足兩個(gè)軌跡所組成的方程組，通過(guò)兩個(gè)方程選擇適當(dāng)?shù)募记上?shù)得到軌跡的普通方程參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動(dòng)點(diǎn)；二是消參，消參的途徑靈活多變.1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，是橢圓上垂直于的弦的端點(diǎn)，則直線與交點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)出和根據(jù)三點(diǎn)共線得到兩組等式，左右兩邊相乘后利用點(diǎn)在橢圓上，代入消元即得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則∵共線，故①，又∵共線，故②.由①，②兩式相乘得（*）,因在橢圓上，則，可得：將其代入（*）式，即得：，化簡(jiǎn)得：，即P的軌跡方程為.故選：C.2．（2014·四川·一模）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作拋物線的切線，，則與的交點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出焦點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立得，設(shè)出，，求導(dǎo)求出切線方程，得到，變形整理即可.【詳解】拋物線為焦點(diǎn)為，設(shè)，代入得，即．設(shè)，將求導(dǎo)得，所以，兩個(gè)方程相除得，變形整理得，所以交點(diǎn)的軌跡方程是．故選：A.3．（22-23高三·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，是橢圓：的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與交于，兩點(diǎn)，，，，分別表示直線，，，的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，得到，利用斜率公式表達(dá)出；B選項(xiàng)，設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，利用斜率公式表達(dá)出；C選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，表達(dá)出直線和直線方程，聯(lián)立后得到，結(jié)合求出答案.【詳解】對(duì)于A：設(shè)交點(diǎn)，因?yàn)樵跈E圓上，故，所以.選項(xiàng)正確；對(duì)于B：設(shè)，，直線：，聯(lián)立，消去，得，則①，②，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：聯(lián)立和，相除得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)直線方程：③，直線方程：④，聯(lián)立③④，消得，，結(jié)合選項(xiàng)B中①②得，所以.D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，本題的難點(diǎn)是表達(dá)出直線和直線方程，聯(lián)立后得到，下一步的處理方法，本題中用到了求軌跡方程的交軌法，屬于較難一些的方法，要結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)得到，再代入式子中，即可求解.4．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）兩條直線和的交點(diǎn)的軌跡方程是【答案】【分析】由題意，消去即可得方程.【詳解】直線方程變形為，即，故，．故答案為：5．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）由圓外一定點(diǎn)向圓作割線，交圓周于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡【答案】弦中點(diǎn)的軌跡是圓在圓內(nèi)的部分.【分析】根據(jù)題意，設(shè)，割線斜率為k（參數(shù)），進(jìn)而點(diǎn)是與的交點(diǎn)，進(jìn)而消參求解，并結(jié)合實(shí)際情況得其軌跡為圓在圓內(nèi)的部分.【詳解】解：設(shè)動(dòng)弦的中點(diǎn)為，P點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的割線，設(shè)其斜率為k（參數(shù)），其方程為（1）另一方面，由為弦的中點(diǎn)，故P點(diǎn)是在過(guò)O點(diǎn)到線AB的弦心距所在的直線上，其斜率為，方程為（2）所以點(diǎn)是兩直線系（1）、（2）相應(yīng)直線的交點(diǎn)，所以兩式相乘，消去參數(shù)，得，所以弦中點(diǎn)的軌跡是圓在圓內(nèi)的部分.6．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足，求得重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)合拋物線方程得到，利用重心坐標(biāo)公式，得到軌跡方程.【詳解】設(shè)△AOB的重心為G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則（1）∵OA⊥OB∴，即(2)又點(diǎn)A、B在拋物線上，有，，代入（2）化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，所以所以重心為G的軌跡方程為題型八：參數(shù)消參法有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，截距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，進(jìn)而（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時(shí)要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．解題步驟：1引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；2.消去參數(shù)，得到關(guān)于的方程，即為所求軌跡方程。1．（20-21高三·上海寶山·模擬）如圖，設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（原點(diǎn)除外）B．（原點(diǎn)除外）C．（原點(diǎn)除外）D．（原點(diǎn)除外）【答案】A【解析】當(dāng)斜率存在時(shí)，由題意設(shè)，直線的方程為，根據(jù)直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，整理可得，所以，又可得，代入直線方程，可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，解得，故點(diǎn)，滿足方程，從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由得，聯(lián)立和消去得，所以，所以，由得，所以，所以，所以，把代入得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由得點(diǎn)在軸上，即，，，又點(diǎn)在拋物線上，故，整理得，故點(diǎn)，滿足方程，綜上所述：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（除原點(diǎn)外）故選：A.【點(diǎn)睛】（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．2．（2022·河南南陽(yáng)·三模）和是拋物線上除去原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出，，的坐標(biāo)，由已知得到三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，然后分的斜率存在和不存在分析，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，和拋物線聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得的軌跡．【詳解】解：設(shè)，，，由，則①，②，當(dāng)垂直于軸時(shí)，，則，即，解得或（舍去），此時(shí)，即在軸上，當(dāng)斜率存在時(shí)，由題意可知斜率不為，則由，即，所以，設(shè)，代入拋物線方程可得，，，，，即③，④，又點(diǎn)滿足⑤，由③④⑤得：，而滿足上式，點(diǎn)的軌跡方程為：即．故選：A．3．（22-23高三下·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸正半軸上從左至右四點(diǎn)A?B?C?D橫坐標(biāo)依次為a-c?a?a+c?2a，y軸上點(diǎn)M?N縱坐標(biāo)分別為m?-2m（m>0），設(shè)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，滿的動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線F，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，DQ交曲線E于點(diǎn)P0（異于D），且OP0與BQ交點(diǎn)恰好在曲線F上，則a：c=（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，則，因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A?C為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，因?yàn)锳?B?C橫坐標(biāo)依次為，所以點(diǎn)是該橢圓的對(duì)稱中心，且橢圓方程為，其中，設(shè)，因?yàn)?，所以，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，顯然原點(diǎn)經(jīng)過(guò)該圓，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，此時(shí)，因?yàn)槭侵睆?，所以，即，由，所以，設(shè)，則有，因?yàn)樵跈E圓上，所以，代入中，得，故選：A4．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)M是橢圓C：上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MN⊥MQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程.【答案】；【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則由M和N滿足橢圓方程得，求出QN斜率和方程，聯(lián)立QN方程和PT方程求出x，y，由此用x，y表示M的坐標(biāo)，將M坐標(biāo)代入橢圓方程就可以得E的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則∵M(jìn)、N在橢圓C上，∴，由(1)－(2)可得，即，又，MN⊥MQ，∴，∴，∴直線QN的方程為(3)，又直線PT的方程為(4)，聯(lián)立(3)和(4)得.∴代入橢圓方程可得此即為所求點(diǎn)E的軌跡方程.題型九：空間型：坐標(biāo)法立體幾何內(nèi)的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入立體幾何內(nèi)的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入建系，利用空間坐標(biāo)系求出方程。通過(guò)轉(zhuǎn)化，把空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系，把空間軌跡轉(zhuǎn)化為平面軌跡求解。1．（2022·北京石景山·模擬）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱AB上，且AM，點(diǎn)P是平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【答案】B【分析】作，為垂足，作為垂足，則可得，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用已知條件可求出的關(guān)系式，從而可得答案【詳解】作，為垂足，則平面，作為垂足，因?yàn)椤危?，因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椤?，所?以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依題意可得.由可得，即化簡(jiǎn)可得.故選：B.2．（24-25高三·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為線段、的中點(diǎn)，若點(diǎn)為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，從而得到⊥平面，從而點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足平面，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，故，所以，又，平面，所以⊥平面，故當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足平面，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：B3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的位置關(guān)系可證得平面，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由此即可得．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,則，令得，，故，因?yàn)?，故平面，為平面上的?dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為30°，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對(duì)稱性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C.4．（24-25高三·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的有（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．不存在點(diǎn)，使得C．點(diǎn)在棱上，且，若，則點(diǎn)的軌跡是圓D．當(dāng)是正方形ABCD的中心時(shí)，為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合位置關(guān)系運(yùn)算求解，進(jìn)而判斷ABC；對(duì)于D：將兩個(gè)平面翻折成一個(gè)平面，結(jié)合平面幾何性質(zhì)分析求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為為軸，為建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于A：因?yàn)椋?，則，即與不垂直，所以不存在點(diǎn)，使得，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，則，解得，不合題意，所以不存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?，則，整理可得，可知圓心，且，所以軌跡為圓被四邊形截得的4段圓弧，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：將正方形和翻折至同一平面，如圖所示：可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.5．（24-25高三·浙江·階段練習(xí)）如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長(zhǎng)都是，且它們所在的平面互相垂直.長(zhǎng)度為的金屬桿端點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，且始終保持，則端點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.

【答案】【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合長(zhǎng)度可得，分析可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，可得，因?yàn)?，即，可得，則，則，整理可得，可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，所以端點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.題型十：空間型：截面型曲線軌跡1．（24-25高三·湖北·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為3的正方體側(cè)面上，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，計(jì)算出，由點(diǎn)平面，得出點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【詳解】

如圖，易得平面,因平面，則，不妨設(shè)，則,，解得，又點(diǎn)平面，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧,故其長(zhǎng)度為.故選：D.2．（23-24高一下·湖北武漢·模擬）已知棱長(zhǎng)為4的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長(zhǎng)度范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先過(guò)點(diǎn)作出與平面平行的平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】如圖，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、，由是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，易得，則平面，取、中點(diǎn)、，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、、、，由正方體的性質(zhì)易得，，則，又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，平面，故平面平面，又平面，平面，故，即點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)點(diǎn)到的距離為，有，故，又，故的長(zhǎng)度范圍為.故選：C..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過(guò)作出與平面平行的平面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.3．（23-24高三·浙江寧波·模擬）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，以為球心，為半徑的球面與正方體表面的交線記為曲線，則曲線的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，得到以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心，為半徑的，同理可得另外兩段弧，求出弧長(zhǎng)即可得到答案.【詳解】如圖，在棱上分別取，使得，在Rt中，，同理可得，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，⊥，故，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心，為半徑的，同理，與平面的交線為為半徑的，與平面的交線為為半徑的，由可知，同理，故，這三段弧長(zhǎng)相等，均為，故曲線的長(zhǎng)度為.故選：B4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，已知點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)到的距離等于其到平面的距離，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分B．若，則點(diǎn)的軌跡為圓的一部分C．若與所成的角為30°，則點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分D．若與平面所成的角為30°，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分【答案】BCD【分析】A，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由立體幾何知識(shí)可得點(diǎn)H到平面的距離為，即可判斷選項(xiàng)正誤；BCD，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題分別算出所在的曲線的表達(dá)式，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由于平面，平面，則，，，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離為；∵且點(diǎn)到的距離等于其到平面的距離，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，故A錯(cuò)誤；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，A0,0,0，，，.對(duì)于B：∵，，，平面，∴平面，即，同理：，又∵，∴，∴，即，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)M的軌跡為圓的一部分，故B正確；對(duì)于C，，，因?yàn)榕c所成的角為30°，所以，化簡(jiǎn)得，的軌跡為橢圓的一部分，故C正確；對(duì)于D：作，則，平面，所以與平面所成的角即為，所以，，即，化簡(jiǎn)得：，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一部分，故D正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中的軌跡問(wèn)題，可建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出相應(yīng)軌跡方程.5．（24-25高三上·河南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），若平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】/【分析】記的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，則平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直于平面，的法向量確定點(diǎn)的位置，利用向量即可得解.【詳解】由題知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎叫?，為中點(diǎn)，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，由題知平面，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點(diǎn)的軌跡，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因?yàn)椋?，解得，則，又所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用向量垂直確定點(diǎn)的軌跡與的交點(diǎn)位置，然后利用向量運(yùn)算求解即可.題型十一：空間型：雙球圓錐型1．（2023·遼寧阜新·模擬預(yù)測(cè)）比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(GerminalDandelin)發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓．這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個(gè)高為20，底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切．若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個(gè)橢圓，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】橢圓的短軸長(zhǎng)即為圓柱的底面的直徑即可求解【詳解】由平面與圓柱所截可知橢圓的短軸即為圓柱底面直徑的長(zhǎng)，即，故選：D2．（19-20高三·河南·階段練習(xí)）比利時(shí)數(shù)學(xué)家GerminalDandelin發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢圓.這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個(gè)高為10，底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，作出圓柱的軸截面，由于,所以，而由已知可求出的長(zhǎng)，從而可得，而橢圓短軸的長(zhǎng)就等于圓柱的底面直徑，得，由此可求出離心率.【詳解】對(duì)圓柱沿軸截面進(jìn)行切割，如圖所示，切點(diǎn)為，，延長(zhǎng)與圓柱面相交于，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.在直角三角形中，，，所以，又因?yàn)?，所?由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長(zhǎng)，即，則可求得，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系、直角三角形中正弦的定義和橢圓的基本概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3．（23-24高三·浙江寧波·模擬）如圖1，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個(gè)球分別與截面切于、，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球切于、，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是，由、的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以、為焦點(diǎn)的橢圓.如圖2，一個(gè)半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】圖2中，設(shè)球心為，球與相切于點(diǎn)，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得，得出離心率.【詳解】圖2中，設(shè)球心為，球與相切于點(diǎn)，作出截面如圖所示，由題意知：，，,又，，則，又，則，則橢圓的離心率為.故選：A.4．（2024·山東日照·一模）如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點(diǎn)）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（

）A．橢圓C的中心不在直線上B．C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為D．橢圓C的離心率為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長(zhǎng)軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長(zhǎng)軸與圓錐的軸相交，橢圓長(zhǎng)軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點(diǎn)分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長(zhǎng)軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點(diǎn)）不在直線上，故A正確；橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，過(guò)作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過(guò)作交延長(zhǎng)線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B錯(cuò)誤；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.5．（2020·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到截口曲線是橢圓.理由如下：如圖（2），若兩個(gè)球分別與截面相切于點(diǎn)，在得到的截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓錐母線，分別與兩球相切于點(diǎn)，由球與圓的幾何性質(zhì)，得，，所以，且，由橢圓定義知截口曲線是橢圓，切點(diǎn)為焦點(diǎn).這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖（3），在一個(gè)高為，底面半徑為的圓柱體內(nèi)放球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱所得的截口曲線也為一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意可得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，再代入離心率方程，即可得答案；【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可得橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離等于，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化、橢圓離心率的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.題型十二：立體幾何定角型1．（20-21高三·浙江寧波·模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是底面正方形的中心，點(diǎn)P是底面所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（

）A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【答案】D【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量，，代入化簡(jiǎn)整理為的形式，即可通過(guò)判別式判斷軌跡.【詳解】在點(diǎn)D處建立如圖所示直角坐標(biāo)系，正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，化簡(jiǎn)得，等式兩邊同時(shí)平方可得，，上式表示橢圓，即點(diǎn)P的軌跡方程為橢圓.故選：D【點(diǎn)睛】(1)如果是標(biāo)準(zhǔn)方程，是橢圓方程；或，是雙曲線方程；(2)如果是一般方程：，那么要看判別式的符號(hào)：?<0，是橢圓；(特殊情況：一點(diǎn)或無(wú)圖形)?>0，是雙曲線；(特殊情況：兩相交直線)?=0，是拋物線；(特殊情況：兩平行直線或一直線).2．（19-20高三·安徽黃山·模擬）如圖所示正方體中，設(shè)是底面正方形所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線與直線所成的角等于，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡是圓 B．點(diǎn)的軌跡是橢圓C．點(diǎn)的軌跡是雙曲線 D．點(diǎn)的軌跡是拋物線【答案】B【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可利用異面直線夾角的向量求法構(gòu)造等量關(guān)系，整理可得點(diǎn)的軌跡方程，從而確定軌跡圖形.【詳解】以為原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，則，，左右平方整理可得：，即點(diǎn)軌跡為點(diǎn)軌跡為橢圓故選：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解問(wèn)題，解決此類問(wèn)題可采用空間向量法，利用空間向量法表示出已知的角度或距離的等量關(guān)系，從而得到軌跡方程.3．（22-23高三·江西南昌·模擬）已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與斜線成角，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作平面，且滿足，得直線的軌跡是以為軸的圓錐，又由已知可得直線與圓錐的母線平行，則平面截圓錐的表面即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作平面，且滿足，