拓展四：直線的方程大題專項訓(xùn)練（34道）類型一求直線的方程（10道）1．已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程．【答案】；．【解題思路】根據(jù)兩點式方程和中點坐標(biāo)公式求解，并化為一般式方程即可.【解題過程】解：過的兩點式方程為，整理得．即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點A與邊中點M所連線段，由中點坐標(biāo)公式可得點M的坐標(biāo)為，即．

過，的直線的方程為，即．整理得．所以邊上中線所在直線的方程為．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.(1)求對角線所在直線的一般方程；(2)求所在直線的一般方程.【答案】(1)(2)【解題思路】（1）首先求的中點，再利用垂直關(guān)系求直線的斜率，即可求解；（2）首先求點的坐標(biāo)，再求直線的斜率，求得直線的斜率，利用點斜式直線方程，即可求解.【解題過程】(1)由和得：中點四邊形為菱形，，且為中點，對角線所在直線方程為：，即：.(2)由，解得：，，，，直線的方程為：，即：.3．在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點坐標(biāo)分別為，，.(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程.(2)求邊上的高所在直線的方程.【答案】(1)(2)【解題思路】（1）先求出線段的中點為的坐標(biāo)，再利用兩點式求出中線所在直線的方程；（2）先求出的斜率，可得邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出邊上的高所在直線的方程．【解題過程】(1)解：三個頂點坐標(biāo)分別為，，，線段的中點，則中線所在直線的方程為，即；(2)解：由于直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即．4．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求(1)頂點C的坐標(biāo)；(2)直線BC的方程；【答案】(1)；(2).【解題思路】（1）設(shè)出點C的坐標(biāo)，進而根據(jù)點C在中線上及求得答案；（2）設(shè)出點B的坐標(biāo)，進而求出點M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及求出點B的坐標(biāo)，進而求出直線BC的方程.【解題過程】(1)設(shè)C點的坐標(biāo)為，則由題知，即.(2)設(shè)B點的坐標(biāo)為，則中點M坐標(biāo)代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.5．已知：直線：與直線：交于點P．(1)求直線和交點P的坐標(biāo)．(2)若過點P的直線l與兩坐標(biāo)軸截距互為相反數(shù)，求l的直線方程．【答案】(1)(2)或【解題過程】(1)解方程組，解得，∴點的坐標(biāo)為,(2)直線的斜率顯然存在且不為0，設(shè)：令，得，令，得，所以∴，∴或，得為：或6．已知的三個頂點是，，．(1)求邊所在的直線方程；(2)求經(jīng)過邊的中點，且與邊平行的直線的方程．【答案】(1)(2)【解題思路】（1）利用直線方程的兩點式求解；（2）先求得AB的中點，再根據(jù)直線與AC平行，利用點斜式求解.【解題過程】(1)因為，，所以邊所在的直線方程為，即；(2)因為，，所以AB的中點為：，又，所以直線方程為：，即.7．已知直線過點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【解題思路】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入計算即可；(2)當(dāng)直線過原點時，根據(jù)直線的點斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線不過原點時可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入計算即可.【解題過程】(1)解：因為直線與直線垂直所以，設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線的方程為．(2)解：當(dāng)直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是，即．當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程得，所以直線的方程是．綜上，所求直線的方程為或．8．已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．【答案】(1)；(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.【解題思路】（1）由兩直線垂直時，其斜率間的關(guān)系求得直線AB的斜率為，再由直線的點斜式方程可求得答案；（2）若選①：由，求得點，再求得點B關(guān)于的對稱點，由此可求得直線AC的方程；若選②：由，求得點，設(shè)點，由BC的中點在直線上，和點C在直線上，求得點，由此可求得直線AC的方程.【解題過程】(1)解：因為AB邊上的高所在的直線方程為，所以直線AB的斜率為，又因為的頂點，所以直線AB的方程為：，所以直線AB的方程為：；(2)解：若選①：角A的平分線所在直線方程為，由，解得，所以點，設(shè)點B關(guān)于的對稱點，則，解得，所以，又點在直線AC上，所以，所以直線AC的方程為，所以直線AC的方程為；若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，所以點，設(shè)點，則BC的中點在直線上，所以，即，所以點C在直線上，又點C在直線上，由解得，即，所以，所以直線AC的方程為，所以直線AC的方程為.9．已知直線l過定點(1)若直線l與直線垂直，求直線l的方程；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【解題思路】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【解題過程】(1)直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.(2)因直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.10．在中，已知，，，，分別為邊，的中點，于點.(1)求直線的方程；(2)求直線的方程.【答案】(1)；(2).【解題思路】(1)根據(jù)給定條件求出點D，E坐標(biāo)，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點斜式方程求解作答.【解題過程】(1)在中，，，，則邊中點，邊的中點，直線DE的斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.(2)依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.類型二兩條直線平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用（6道）11．已知直線：和：．(1)若，求實數(shù)m的值；(2)若，求實數(shù)m的值．【答案】(1)2(2)或【解題思路】（1）易知兩直線的斜率存在，根據(jù)，由斜率相等求解.（2）分和，根據(jù)，由直線的斜率之積為-1求解.【解題過程】(1)由直線的斜率存在，且為，則直線的斜率也存在，且為，因為，所以，解得或2，①當(dāng)時，由此時直線，重合，②當(dāng)時，，此時直線，平行，綜上：若，則實數(shù)m的值為2．(2)①當(dāng)時，直線的斜率為0，此時若必有，不可能.②當(dāng)時，若必有，解得，由上知若，則實數(shù)m的值為或．12．已知兩條直線，.設(shè)為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.(1)；(2)直線在軸、軸上截距之和等于.【答案】(1)；(2).【解題思路】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【解題過程】(1)解：由，則，即，解得或.當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時重合，不合乎題意.綜上所述，；(2)解：對于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因為直線在軸、軸上截距之和等于，即，解得.13.已知直線和，設(shè)a為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：(1)(2)【答案】(1)a=4或a=-2(2)a=【解題思路】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【解題過程】(1)解：因為，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2．所以當(dāng)時，a=4或a=-2；(2)因為，所以4a=-2(a-2），解得a=．檢驗：此時，，成立．所以當(dāng)時，a=.14．已知直線，．請從以下三個條件中選出兩個求實數(shù)，的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)選(1)和(2)，；(2)選(1)和(3)，或；(3)選(2)和(3)，a、b無解.【解題思路】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知，若兩直線垂直則兩直線的斜率之積為-1；若兩直線平行則兩直線的斜率相等且不重合.【解題過程】(1)若選條件(1)和(2)，和，由，得，即，當(dāng)時，，，與不垂直，當(dāng)時，，，與不垂直；故且，得，又，，所以，解得，則；(2)若選條件(1)和(3)，和，由，得，當(dāng)時，，，與不平行；當(dāng)時，，，與不平行；故且，則，解得或，故或，即或；(3)若選條件(2)和(3)，和，根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系，可得和不可能同時成立，此時無解.15．已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.(1)若，，相交于一點，求的值；(2)若，，不能圍成一個三角形，求的值：(3)若，，能圍成一個直角三角形，求的值.【答案】(1)(2)或或(3)或【解題思路】(1)由二條已知直線求交點，代入第三條直線即可；(2)不能圍成一個三角形，過二條已知直線的交點，或者與它們平行；(3)由直線互相垂直得，斜率之積為-1.【解題過程】(1)顯然，相交，由得交點，由點代入得所以當(dāng)，，相交時，.(2)過定點，因為，，不能圍成三角形，所以，或與平行，或與平行，所以，或，或.(3)顯然與不垂直，所以，且或所以的值為或16．已知直線，直線，直線．(1)若與的傾斜角互補，求m的值；(2)當(dāng)m為何值時，三條直線能圍成一個直角三角形．【答案】(1)(2)0，，.【解題思路】（1）根據(jù)題意得，進而求解得答案；（2）根據(jù)題意，分別討論與垂直，與垂直，與垂直求解，并檢驗即可得答案.【解題過程】(1)解：因為與的傾斜角互補，所以，直線變形為，故所以，解得(2)解：由題意，若和垂直可得：，解得，因為當(dāng)時，，，，構(gòu)不成三角形，當(dāng)時，經(jīng)驗證符合題意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗證符合題意；故m的值為：0，，.類型三直線的恒過定點問題（2道）17．已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標(biāo)．【答案】證明見解析，【解題思路】整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線恒過定點的坐標(biāo).【解題過程】證明：原方程整理為，則由得所以點坐標(biāo)為．18．已知點，直線．不論取何值，直線過定點．(1)求點的坐標(biāo)，及點到直線距離的最大值；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值．【答案】(1)P（－1，－3）；5(2)a＝2或a＝－2【解題思路】（1）方程化為，聯(lián)立方程組可求出定點，點到直線距離的最大值即為；（2）分別求出兩坐標(biāo)軸上的截距，建立方程即可求出.【解題過程】(1)由整理可得，令，解得．所以直線l過定點P（－1，－3）．點A（2，1）到直線l距離的最大值為．(2)令y＝0，得；令x＝0，得y＝－a－2依題意，，解得a＝2或a＝－2類型四求兩點間的距離（2道）19．已知直線l過點交圓于A、B兩點．(1)當(dāng)直線l的傾斜角為時，求的長；(2)當(dāng)最小時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【解題思路】（1）利用垂徑定理去求的長；（2）利用過圓內(nèi)一點的最短弦長求法去求直線l的方程．【解題過程】(1)圓的圓心，半徑因為直線l的斜率為，則過點的直線l的方程為，即，則圓心到直線l的距離，所以．(2)由題知，當(dāng)直線時，最小，此時，故直線l的方程為，即．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標(biāo)原點重合如圖所示將矩形折疊，使點A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程（2）當(dāng)時，求折痕長的最大值．【答案】（1）；（2）【解題思路】當(dāng)時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程當(dāng)時，將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為，可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，解得故G點坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)即線段OG的中點為，即可得出．當(dāng)時，折痕長為當(dāng)時，折痕所在直線交BC于，交y軸于利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解題過程】解：（1）①當(dāng)時，此時點A與點D重合，折痕所在直線的方程為．②當(dāng)時，將矩形折疊后點A落在線段DC上的點記為，，所以點A與點G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點G的坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點線段OG的中點為，故折痕所在直線的方程為，即．綜上所述，折痕所在直線的方程為．當(dāng)時，折痕的長為當(dāng)時，折痕所在的直線交直線BC于點，交y軸于點．,,則在上，，，的取值范圍為，故點M在線段上．，折痕長度的最大值為而，故折痕長度的最大值為類型五求點到直線的距離（3道）21．直線經(jīng)過兩直線和的交點．(1)若直線與直線平行，求直線的方程；(2)若點到直線的距離為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【解題思路】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出的方程．（2）分類討論直線的斜率，利用點到直線的距離公式，用點斜式求直線的方程．【解題過程】(1)解：由，解得，所以兩直線和的交點為．當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點代入求得，可得的方程為．(2)解：斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直限的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線的方程為或．22．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知的三個頂點坐標(biāo)分別為．（1）求邊的垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或．【解題思路】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程．（2）根據(jù)的面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式，求得的值．【解題過程】解：（1），，的中點的坐標(biāo)為，又設(shè)邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即．邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設(shè)邊上的高為即點到直線的距離為且解得解得或，點的坐標(biāo)為或．23．已知直線：.(1)已知，若點P到直線的距離為d，求d最大時直線的方程.(2)若直線交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，求面積的最小值.【答案】(1)(2)4【解題思路】（1）將直線化成點斜式，由垂直關(guān)系可求出值，進而得解；（2）由直線方程分別求出，表示出，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值.【解題過程】(1)由變形得，則設(shè)直線過，要使點到直線距離最大，則滿足，，則，直線方程為，即；(2)由題知，，，令得，即，令得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為4.類型六求兩平行直線間的距離（4道）24．已知直線與直線交于點.(1)求過點且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；(2)求過點并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.【答案】(1)；.(2)或.【解題思路】(1)首先求得交點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程，再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答．【解題過程】（1）由得．設(shè)直線的方程為，代入點坐標(biāo)得，∴直線的方程為．∴兩平行線間的距離．（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，設(shè)直線的方程為，代入點坐標(biāo)得，∴直線的方程的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．25．已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線與軸平行時，求的值.【答案】（1）3；（2）5.【解題思路】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點坐標(biāo)即可求出距離.【解題過程】（1）由題可得當(dāng)且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當(dāng)直線與軸平行時，的方程為，設(shè)直線與直線，分別交于點，，則，，所以，即，所以.26．直線：和：．(1)若兩直線垂直，求m的值；(2)若兩直線平行，求平行線間的距離．【答案】(1)；(2)【解題思路】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【解題過程】(1)∵兩直線垂直，∴，解得．(2)∵兩直線平行，∴，解得或1，經(jīng)過驗證時兩條直線重合，舍去．∴．可得：直線：，：．∴兩直線間的距離．27．已知直線和直線．(1)若時，求a的值；(2)當(dāng)平行，求兩直線，的距離．【答案】(1)(2)【解題思路】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【解題過程】(1)∵，且，∴，解得．(2)∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．類型七與面積有關(guān)的問題（7道）28．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．(1)求邊AC上的中線所在直線方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【解題思路】（1）先求得的中點，由此求得邊AC上的中線所在直線方程.（2）結(jié)合點到直線距離公式求得的面積.【解題過程】(1)的中點為，所以邊AC上的中線所在直線方程為.(2)直線的方程為，到直線的距離為，，所以.29．已知直線l經(jīng)過直線，的交點M．(1)若直線l與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線l與x軸，y軸分別交于A，兩點，且M為線段AB的中點，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點）．【答案】(1)(2)4【解題思路】（1）求出兩直線的交點M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為代入點M的坐標(biāo)可得答案；（2）設(shè)，，因為為線段AB的中點，可得，由的面積為可得答案.【解題過程】(1)由，得，所以點M的坐標(biāo)為，因為，則設(shè)直線l的方程為，又l過點，代入得，故直線l方程為.(2)設(shè)，，因為為線段AB的中點，則，所以，故，，則的面積為.30．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點，，．(1)求邊所在直線的方程；(2)邊上中線的方程為，且的面積等于，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【解題思路】（1）利用兩點式求得邊所在直線方程；（2）利用點到直線的距離公式求得A到直線的距離，根據(jù)面積以及點A在直線上列方程組，解方程組求得A點的坐標(biāo).【解題過程】(1)解：由、得邊所在直線方程為，即，故邊所在直線的方程為.(2)解：因為A到邊所在直線的距離為，又，所以，所以，所以，則或，由于A在直線上，故或，解得或，所以或.31．已知直線和的交點為．(1)若直線經(jīng)過點且與直線平行，求直線的方程；(2)若直線經(jīng)過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【解題思路】（1）由已知可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；（2）設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.【解題過程】(1)解：聯(lián)立的方程，解得，即設(shè)直線的方程為：，將帶入可得所以的方程為：；(2)解：法①：易知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線方程為：，則直線與兩坐標(biāo)軸交點為，由題意得，解得：或所以直線的方程為：或，即：或.法②：設(shè)直線的斜率為，則的方程為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，解得：或所以m的方程為或即：或.32．已知直線l過點，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．(1)若的面積為，求直線l的方程；(2)求的面積的最小值．【答案】(1)或(2)4【解題思路】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過的點及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【解題過程】(1)法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或．法二：設(shè)直線，，則，．則，∴或﹣8所以直線或．(2)法一：∵，∴，∴，此時，．∴面積的最小值為4，此時直線．法二：∵，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線．33．已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(