1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.會(huì)用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會(huì)用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問(wèn)題.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念并會(huì)求出直線的方向向量與平面的法向量.能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1．空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點(diǎn)，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點(diǎn)，(1)點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意點(diǎn)：(1)空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量．與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)．(3)空間任意直線都可以由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點(diǎn)：(1)平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個(gè)平面的法向量有無(wú)限多個(gè)，它們相互平行．易錯(cuò)辨析：（1）空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向向量能唯一確定一條直線嗎？能（2）一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向向量能否確定一個(gè)平面？不一定，若兩個(gè)定方向向量共線時(shí)不能確定，若兩個(gè)定方向向量不共線能確定．（3）由空間點(diǎn)A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點(diǎn)？能【即學(xué)即練1】【多選】若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是()A．(2,2,6) B．(1,1,3)C．(3,1,1) D．(－3,0,1)【即學(xué)即練2】已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1,3)，且直線l過(guò)A(0，y,3)和B(－1,2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于()A．0B．1C.eq\f(3,2)D．3【即學(xué)即練3】已知，，則平面ABC的一個(gè)單位法向量為（）A． B．C． D．【即學(xué)即練4】在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，向量是平面的一個(gè)法向量，則（）A． B． C．5 D．7【即學(xué)即練5】若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交【即學(xué)即練6】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①若分別是平面α，β的法向量，則?α∥β；②若分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?；③若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4知識(shí)點(diǎn)2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線線平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說(shuō)明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過(guò)向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示．線面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線面平行時(shí)，必須說(shuō)明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時(shí)，必須說(shuō)明兩個(gè)平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．線線垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直【即學(xué)即練7】已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)【即學(xué)即練8】已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是()A．－eq\f(10,3)B．6C．－6D.eq\f(10,3)【即學(xué)即練9】設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m＝________.【即學(xué)即練10】已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up7(→))⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up7(→))＝________.考點(diǎn)一求直線的方向向量解題方略：理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．【例1-1】若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)變式1：已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直線l的方向向量，則x的值是()A．－1 B．1或－1C．－3 D．1變式2：從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長(zhǎng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(18,17，－17) B.(－14，－19,17)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11,2)，13))考點(diǎn)二求平面的法向量解題方略：利用待定系數(shù)法求法向量的步驟【例2-1】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論：①平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)；②平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)；③平面B1CD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)；④平面ABC1D1的一個(gè)法向量為(0,1,1)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【例2-2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，G，E，F(xiàn)分別為AA1，AB，BC的中點(diǎn)，求平面GEF的一個(gè)法向量．變式1：如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量；(2)求平面SAB的一個(gè)法向量；(3)求平面SCD的一個(gè)法向量．變式2：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，求證：eq\o(OB1,\s\up7(→))是平面PAC的一個(gè)法向量．變式3：已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))【例2-3】已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．(1，－1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))考點(diǎn)三用空間向量證明平行問(wèn)題解題方略：用空間向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．在證明線面平行時(shí)，需注意說(shuō)明直線不在平面內(nèi)．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題．（一）判斷直線、平面的位置關(guān)系【例3-1】已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是()A．l⊥α B．l∥αC．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α變式1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B，AC的中點(diǎn)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定（二）證明平行問(wèn)題【例3-2】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.【例3-3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.變式1：在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB.變式2：如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)．求證：平面AA1D1D∥平面FCC1.變式3：如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱，，上，；點(diǎn)P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．考點(diǎn)四利用空間向量證明垂直問(wèn)題解題方略：用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆ㄒ唬┡袛嘀本€、平面的位置關(guān)系【例4-1】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)，則PA與底面ABCD的關(guān)系是()A．相交 B．垂直C．不垂直 D．成60°角變式1：若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無(wú)法確定（二）已知兩向量垂直求參數(shù)【例4-2】設(shè)l1的一個(gè)方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個(gè)方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，則m等于()A．1B.eq\f(5,2)C.eq\f(1,2)D．3變式1：已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于()A．4B．－4C．5D．－5變式2：在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝eq\r(21)，則n的坐標(biāo)為_(kāi)_______________．（三）證明垂直問(wèn)題【例4-3】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1的中點(diǎn)．證明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.變式1：如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求證：AB1⊥MN.變式2：如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面（1）求證：；（2）若M為中點(diǎn)，求證：平面；【例4-4】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC.變式1：如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．變式2：如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，則AE＝________.【例4-5】在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD.題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直線AD∥BC，并且AD交坐標(biāo)平面xOz于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．2、已知點(diǎn)A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,0，－2) B．(1,0,2)C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)3、平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，則平面與平面的關(guān)系是（）A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直4、已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關(guān)系是________．5、已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于()A．3 B．6C．－9 D．96、若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，則x的值為()A．10 B．－10C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)7、已知平面α的法向量為n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為()A．AB⊥α B．AB?αC．AB與α相交但不垂直 D．AB∥α題組B能力提升練已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).其中正確的是_______(填序號(hào))．9、若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，2y－1，－\f(1,4)))是平面α的一個(gè)法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3