大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例論文摘要本文對(duì)B題進(jìn)行求解分析。2011年6月4日，國(guó)家海洋局北海分局接到美國(guó)康菲石油(中國(guó))有限公司，蓬萊19-3油田B平臺(tái)東北方向海面發(fā)現(xiàn)不明來(lái)源少量油膜；本文主要針對(duì)2011年渤海蓬萊油田漏油事故進(jìn)行分析，建立石油泄漏的擴(kuò)散規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從而根據(jù)實(shí)際泄漏點(diǎn)情況，確定陸地監(jiān)測(cè)站的最佳位置和最少數(shù)量，合理安排檢測(cè)點(diǎn)，提出更好的解決方案。針對(duì)問(wèn)題一，通過(guò)航拍渤海蓬萊灣，了解石油平臺(tái)分布地點(diǎn)位置，和收油作業(yè)情況。以B平臺(tái)為石油泄漏中心建立油膜行走的Hamilton圖[1]，對(duì)于油膜行走的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)平面上的n個(gè)點(diǎn)，把其中一些點(diǎn)對(duì)應(yīng)用直線或者曲線連接起來(lái)，不考慮直線的位置和連線的曲直長(zhǎng)短，這樣就構(gòu)成了該油膜行走的路線模型。對(duì)每一個(gè)方向的油膜進(jìn)行路線分析，畫出油膜在單位時(shí)間內(nèi)行走的路線，就可以確定石油泄漏的擴(kuò)散規(guī)律。從而得出擴(kuò)散半徑為針對(duì)問(wèn)題二，只有一個(gè)擴(kuò)散點(diǎn)，位于陸地上的蓬萊(蓬萊最北端)和大連(旅順口)(旅順口最南端)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，分別在6月26日和6月27日檢測(cè)到泄漏石油，石油擴(kuò)散到兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間相距為24個(gè)小時(shí)，由于油膜往北端和南端的速度以及收到的阻力因素不一樣，所以不能確定擴(kuò)散點(diǎn)的位置，但是在油膜往兩端前進(jìn)速度相同，即V11、V12、V13分別等于V31、V32、V33，則可以利用速度圓相交定理及時(shí)間速度關(guān)系定位擴(kuò)散點(diǎn)的位置。最后根據(jù)矢量圖分析出，得到漏油點(diǎn)數(shù)據(jù)在東經(jīng)120°27′至120°38′，北緯38°04′至38°20′之間，模型成立。針對(duì)問(wèn)題三，根據(jù)實(shí)際泄漏點(diǎn)的情況，實(shí)際泄漏點(diǎn)為十六個(gè)，可以建立一個(gè)連通圖，利用G=(V,E,W),構(gòu)成一條路線，求&所有邊權(quán)之和，當(dāng)W（&）達(dá)到最小時(shí)，&即為Hamilton的最下回路。與此同時(shí)，采用海域監(jiān)測(cè)站位的聚類分級(jí)模式，并根據(jù)渤海海域環(huán)境質(zhì)量調(diào)查監(jiān)測(cè)資料，對(duì)監(jiān)測(cè)站位進(jìn)行聚類分級(jí)，再優(yōu)化探討獲得最佳位置和最少數(shù)量。最后得出共有7個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)。關(guān)鍵詞：矢量分析，Hamilton圖，聚類分析目錄摘要 2一、問(wèn)題重述 4二、問(wèn)題分析 52.1對(duì)問(wèn)題一的分析 52.2對(duì)問(wèn)題二的分析 52.3對(duì)問(wèn)題三的分析 6三、模型假設(shè) 8四、符號(hào)說(shuō)明 8五、模型建立與求解 95.1模型一：油膜行走路線模型 95.1.1模型分析 95.1.2模型建立 95.1.3模型結(jié)論 115.2模型二：相交圓模型 115.2.1模型分析 115.2.2模型建立 125.2.3模型求解 125.2.4模型檢驗(yàn) 135.2.5模型結(jié)論 145.3模型三：聚類分級(jí)模型 145.3.1模型建立 145.3.2模型結(jié)論 15六、模型總結(jié) 16七、模型評(píng)價(jià) 16問(wèn)題重述渤海灣蓬萊19-3油田漏油事故圖2蓬萊19-3油田開(kāi)采平臺(tái)位置2011年6月4日，蓬萊19-3油田B平臺(tái)東北方向海面發(fā)現(xiàn)不明來(lái)源少量油膜；17日，C平臺(tái)及附近海域發(fā)現(xiàn)大量溢油。中海油渤海灣蓬萊19-3油田共有五個(gè)平臺(tái)，此次漏油事件發(fā)生在B、C兩個(gè)平臺(tái)，從畫面中可以看到B、C兩個(gè)平臺(tái)溢油現(xiàn)場(chǎng)的航拍資料，及收油作業(yè)情況。畫面中顏色較淺，發(fā)亮的部位就是溢油海面，如圖2所示。渤海蓬萊19-3油田漏油事故發(fā)生兩個(gè)多月以來(lái)，污染面積仍在逐步擴(kuò)大，已經(jīng)從中海油最初聲稱的“只有200平方米”，蔓延到840平方公里。根據(jù)以上背景資料，自行查找相關(guān)數(shù)據(jù)，本文將建立以下數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題：在只有一個(gè)泄漏點(diǎn)的條件下，明確這次石油泄漏的擴(kuò)散規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；假設(shè)位于陸地上的蓬萊(蓬萊最北端)和大連(旅順口)(旅順口最南端)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，分別在6月26日和6月27日檢測(cè)到泄漏石油，中間間隔為24小時(shí)，假設(shè)只有一個(gè)泄漏點(diǎn)，確定泄漏石油的具體地點(diǎn)或區(qū)域；根據(jù)實(shí)際泄漏點(diǎn)情況，運(yùn)用前面建立的模型綜合分析，確定陸地監(jiān)測(cè)站的最佳位置和最少數(shù)量。問(wèn)題分析背景了解：蓬萊19-3油氣田是由中海油(18.44,0.28,1.54%,實(shí)時(shí)行情)與美國(guó)康菲石油公司共同投資開(kāi)發(fā)的海上油田，屬于我國(guó)第一批對(duì)外開(kāi)放的海上油氣勘探開(kāi)采區(qū)塊，也是我國(guó)最大海上油氣田?？捣剖褪且患覈?guó)際一體化能源公司，是全美第三大能源公司和最大的煉油公司。在全球非政府控股公司中，康菲擁有的已探明儲(chǔ)量排名第七，是第四大精煉廠。蓬萊19-3油田地質(zhì)背景原油具有“三高四低”的特征,即高密度、高黏度、膠質(zhì)含量較高,凝固點(diǎn)低、含蠟量低、瀝青含量低、地層壓力處在正常壓力范圍,需要借助外力,以注水開(kāi)發(fā)方式進(jìn)行開(kāi)采。海洋發(fā)生溢油會(huì)對(duì)環(huán)境造成嚴(yán)重的危害，一方面，泄漏的原油大面積覆蓋于海面，引起大面積海域嚴(yán)重缺氧，使得大量的魚(yú)蝦、海鳥(niǎo)等生物死亡同時(shí)使經(jīng)濟(jì)魚(yú)、蝦貝等海產(chǎn)品產(chǎn)生油臭味，降低其食用價(jià)值；另一方面，濫油沉侵到海底后，會(huì)危及海底棲息生物的正常發(fā)育，經(jīng)石油烴微生物分解后，密度減小，會(huì)重新浮動(dòng)海面，一次溢油事故可能會(huì)延續(xù)十幾年或是更長(zhǎng)的時(shí)間。2.1對(duì)問(wèn)題一的分析只有一個(gè)擴(kuò)散點(diǎn)時(shí)，油膜朝不同方向擴(kuò)散所受到的阻力不同，所以相同時(shí)間內(nèi)，不同方向油膜行走的路線和距離不同，單單只分析一個(gè)方向或者將油膜受到的阻力統(tǒng)一化，具有一定的片面性，不能完整的分析油膜行走的規(guī)律，所以需要建立油膜行走的Hamilton圖，多方面多角度跟蹤油膜擴(kuò)散變化，并建立相應(yīng)的模型方程，將動(dòng)態(tài)的油膜描述成靜態(tài)的圖像并通過(guò)模型分析其軌跡。2.2對(duì)問(wèn)題二的分析只有一個(gè)擴(kuò)散點(diǎn)，位于陸地上的蓬萊(蓬萊最北端)和大連(旅順口)(旅順口最南端)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，分別在6月26日和6月27日檢測(cè)到泄漏石油，分別以兩地檢測(cè)站為圓心，檢測(cè)到擴(kuò)散石油的時(shí)間差乘以石油擴(kuò)散的速度即為該地到擴(kuò)散點(diǎn)的相對(duì)距離，分別以兩地檢測(cè)點(diǎn)為圓心，與擴(kuò)散點(diǎn)的距離為半徑畫圓，兩圓交點(diǎn)即為石油擴(kuò)散點(diǎn)。根據(jù)歷史資料顯示，26、27兩天均為東北風(fēng)且溫度相差不大，如圖2-22-3所示，所以不考慮溫度對(duì)油膜擴(kuò)散的影響。圖2-2蓬萊天氣情況圖2-2蓬萊天氣情況圖2-3圖2-3大連天氣情況2.3對(duì)問(wèn)題三的分析建立連通圖G=(V,E,W),其對(duì)應(yīng)的完全圖g=(V,E,W)的最小Hamilton回路H，測(cè)站數(shù)即可分布在該路線上。其中V為頂點(diǎn)集，E為邊集，W為定義在E上的權(quán)，G的一個(gè)Hamilton回路是頂點(diǎn)集（即油田泄漏點(diǎn)）的一個(gè)循環(huán)排列&=&1+&2+&3+&4+……+&n（&1=&n）,其中一切&i&i+1定義為&所有邊權(quán)之和。當(dāng)W（&）達(dá)到最小時(shí)，&即為Hamilton的最下回路，測(cè)站數(shù)分布在此路線上即可獲得最佳位置和最少數(shù)量。站位活性磷酸鹽無(wú)機(jī)氮溶解氧（DO）化學(xué)需氧量（COD）總泵鉛銅鎘115.52207.82.020.0455.1124.550.28214.52926.80.680.0485.2256.230.2738.52357.50.980.0358.2334.850.16417.51988.00.620.0476.05213.400.2259.5287.30.480.0322.34812.550.33614.8387.91.250.0494.0664.120.1877.8657.41.180.0381.9528.050.4588.02556.80.630.0424.2363.850.1497.51967.81.120.0506.21510.120.28109.82027.60.940.0382.3753.857.95表為2011年渤海灣十個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)基本指數(shù)三、模型假設(shè)所有收集到的數(shù)據(jù)都是真實(shí)可靠石油在泄露過(guò)程中與水不相融，也不會(huì)蒸發(fā)流失減少石油在擴(kuò)散過(guò)程中物理性質(zhì)保持不變，同時(shí)也不與其他物質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)石油擴(kuò)散過(guò)程中保持速度不變，但不同方向的石油擴(kuò)散速度不同只有一個(gè)泄漏點(diǎn)的條件下，石油可以不斷的向外泄露油是各組成成分性質(zhì)相似，油膜假定作為一個(gè)薄的、連續(xù)圓形層第二文中檢測(cè)站在26、27觀察到石油的時(shí)間間隔為24小時(shí)符號(hào)說(shuō)明符號(hào)定義Soil油膜所占面積Vij（i=1、2、3、4j=1、2、3）V表示速度，i表示油膜擴(kuò)散方向，j表示對(duì)象（水、風(fēng)、浪）V頂點(diǎn)集E邊集W定義在E上的權(quán)H最小Hamilton回路表示油方向與海流方向夾角t時(shí)刻的海洋流速t時(shí)刻的海洋風(fēng)速油在t時(shí)刻浸潤(rùn)于水的速度K風(fēng)海流系數(shù)Ih緩沖指數(shù)I算術(shù)平均指數(shù)達(dá)標(biāo)濃度第種類污染物的一至四級(jí)海水標(biāo)準(zhǔn)值的平均值第項(xiàng)評(píng)價(jià)因子的級(jí)別水質(zhì)等級(jí)模型建立與求解5.1模型一：油膜行走路線模型5.1.1模型分析計(jì)算出油膜在不同時(shí)間行走的路線，確定選取油膜對(duì)象擴(kuò)散的多元一次方程方程，再多組數(shù)據(jù)中尋找每個(gè)方向油膜擴(kuò)散的規(guī)律。利用mathmatic軟件畫出不同方向的行走路線。對(duì)于油膜行走的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)平面上的n個(gè)點(diǎn)，把其中一些點(diǎn)對(duì)應(yīng)用直線或者曲線連接起來(lái)，就構(gòu)成了該油膜行走的路線模型?？捎洺葾（M，N），M表示元素的頂點(diǎn)集，N是以上述連線為油膜元素的邊集。W=m0n0m1n1m2n2m3n3……mknk其中mknk相關(guān)聯(lián)，W就是油膜的一條線路。5.1.2模型建立確定油膜在海水中的擴(kuò)散速度，在50×50和15×15的水池中做實(shí)驗(yàn)，通過(guò)秒表測(cè)量油膜不同方向的的擴(kuò)散速率，有表格結(jié)果可以看出，單滴油膜的擴(kuò)散速度隨時(shí)間的增加而減慢，根據(jù)油膜擴(kuò)散速度時(shí)間的關(guān)系作圖，結(jié)果如圖5-1所示：根據(jù)油膜擴(kuò)散速度與時(shí)間的關(guān)系，建立油膜速度關(guān)系，油在擴(kuò)散至最大面積之前，速率會(huì)先增后減。故根據(jù)其速率與時(shí)間的關(guān)系，可以列出下列表達(dá)式：是t時(shí)刻的擴(kuò)散速度，cd為待定系數(shù)，分別取決于油的種類與量的多少。影響油膜擴(kuò)散的因素，考慮原油與水的侵潤(rùn)、風(fēng)速和潮流的影響原油與水的浸潤(rùn)，主要與風(fēng)速和潮流的速度有關(guān)，是油在t時(shí)刻浸潤(rùn)于水的速度，是海洋洋流的速度，K是風(fēng)海流系數(shù)，是風(fēng)速。根據(jù)查找文獻(xiàn)可知，K約等于0.035。然而根據(jù)數(shù)據(jù)采集，我們分析發(fā)現(xiàn)，最大的影響因素是海洋潮流，其次才是海風(fēng)，當(dāng)流向與風(fēng)向夾角時(shí)，浸潤(rùn)速度更快，當(dāng)時(shí)，速度減慢。如下列公式：其中，表示油方向與海流方向夾角，分別是t時(shí)刻的海洋流速與風(fēng)速，為流向與風(fēng)速的夾角。油浸潤(rùn)方向?yàn)?，為流向角度。則油在不同時(shí)間的浸潤(rùn)方程為油層擴(kuò)散半徑為5.1.3模型結(jié)論根據(jù)模型計(jì)算不同方向油膜擴(kuò)散結(jié)果，相同時(shí)間內(nèi)，不同方向的油膜擴(kuò)散速度不同，一般各項(xiàng)因素也不同，將模型結(jié)果制成網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，如圖5所示：圖5相同時(shí)間內(nèi)油膜擴(kuò)散結(jié)果圖5相同時(shí)間內(nèi)油膜擴(kuò)散結(jié)果5.2模型二：相交圓模型5.2.1模型分析（1）只考慮一個(gè)擴(kuò)散點(diǎn)，兩個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，即位于陸地上的蓬萊(蓬萊最北端)和大連(旅順口)(旅順口最南端)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，因?yàn)閮蓹z測(cè)點(diǎn)分別在6月26日和6月27日檢測(cè)到泄漏石油，根據(jù)速度時(shí)間計(jì)算公式，兩地檢測(cè)到石油的時(shí)間差乘以石油擴(kuò)散的速度即為兩地在同心圓中的相對(duì)距離，加上石油擴(kuò)散到離蓬萊的距離即可確定石油擴(kuò)散點(diǎn)的距離，由計(jì)算出來(lái)的距離加上擴(kuò)散定位的方向即可確定石油擴(kuò)散的位置。（2）結(jié)合當(dāng)時(shí)26、27日天氣情況，當(dāng)時(shí)兩天風(fēng)向相同，都是圖5-1大連天氣情況圖5-2蓬萊天氣情況5.2.2模型建立油膜開(kāi)始擴(kuò)散的時(shí)間為t0，油膜擴(kuò)散到蓬萊的時(shí)間為t1，擴(kuò)散到大連的時(shí)間為t2，第一段時(shí)間差：t1-t0第二段時(shí)間差：t2-t1（2）油膜擴(kuò)散的速度受到海風(fēng)，浪潮等多種速度影響，看作一個(gè)矢量模型。展開(kāi)求解，根據(jù)其速度的變化，在已知時(shí)間的情況下，取兩地夾角與距離，完成題目。5.2.3模型求解由題意可知,兩監(jiān)測(cè)站只是分別監(jiān)測(cè)到海水中存在溢油,但并不了解溢油從何而來(lái)與何時(shí)泄露。因此，必須考慮溢油在海面漂移和擴(kuò)散過(guò)程中的各種影響因素，分別從兩個(gè)觀測(cè)站檢測(cè)到溢油的時(shí)間向回倒推，通過(guò)一步步還原到前一天的狀態(tài)和位置，由果溯因，看最終兩地檢測(cè)到的溢油來(lái)源是否相同（即移動(dòng)路徑是否交匯、接近）。這是最開(kāi)始的原方程：將分為三個(gè)方向矢量和，是油膜自身的擴(kuò)散半徑,(矢量)是海流和風(fēng)海流作用導(dǎo)致的油膜位移三者之和才是實(shí)際的油膜邊界位移。將影響溢油漂移和擴(kuò)散的三種因素導(dǎo)致的位移分開(kāi)，逐日累加海流和風(fēng)海流導(dǎo)致的漂移位移的逆矢量，標(biāo)記每一次還原后的位置，作出假設(shè)“該日石油開(kāi)始泄漏”，觀察是否有一對(duì)擴(kuò)散半徑可以使得這兩個(gè)位置交匯或非常接近。判定依據(jù)為以這兩個(gè)位置為圓心，一對(duì)擴(kuò)散半徑分別為半徑作圓看二者是否相切或相交。注：1.

還原后的位置即不考慮油膜擴(kuò)散，只考慮油膜漂移，還原到一天前的狀態(tài)，估計(jì)的溢油邊界所在位置。2.

一對(duì)擴(kuò)散半徑即旅順口方向的r3和蓬萊方向的r3，由于兩地觀測(cè)到溢油的時(shí)間間隔一天，因此檢測(cè)到的油膜半徑也應(yīng)當(dāng)是兩個(gè)恰好對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。5.2.4模型檢驗(yàn)帶入風(fēng)向數(shù)據(jù)，在2011年6月內(nèi)，風(fēng)向如下表變化：（數(shù)據(jù)來(lái)自中國(guó)氣象局官網(wǎng)）日期蓬萊大連6月27日正西南28.3km6月26日正西南37.2km正西南52.0km6月25日正西南28.3km正西南28.3km6月24日正西南16.6km正西南24.2km6月23日正西南24.2km正西南28.3km6月22日北偏西32.66km西偏北24.2km6月21日正北20.26km北偏東24.2km6月20日北偏東16.60km北偏東24.2km6月19日北偏東20.26km正北20.26km6月18日正西16.60km正西北24.2km6月17日正西北16.60km正西北24.2km得到漏油點(diǎn)數(shù)據(jù)在東經(jīng)120°27′至120°38′，北緯38°04′至38°20′之間，模型成立。5.2.5模型結(jié)論根據(jù)矢量模型可知，經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算和估計(jì),可以確定泄露時(shí)間在6月16日或6月17日,泄漏點(diǎn)在北緯38度,東經(jīng)120度附近"。藍(lán)點(diǎn)處即為預(yù)測(cè)泄漏點(diǎn)。5.3模型三：聚類分級(jí)模型5.3.1模型建立確定基本變量單項(xiàng)指數(shù)：對(duì)于DO，則算術(shù)平均指數(shù)：緩沖指數(shù)：均方根指數(shù)：其中為監(jiān)測(cè)點(diǎn)的第種檢測(cè)污染物的第一級(jí)海水標(biāo)準(zhǔn)值，為第種污染物的指數(shù)，為最大值。（2）單項(xiàng)技術(shù)以國(guó)家的4類海水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，表達(dá)式為：這里的為污染因子序號(hào)，取1，2，3，…，n；為海水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)別序號(hào)，取1，2，3，4；為第項(xiàng)評(píng)價(jià)因子的級(jí)別水質(zhì)等級(jí)；為上一級(jí)別的水質(zhì)，為項(xiàng)評(píng)價(jià)因子的濃度，為達(dá)標(biāo)濃度。DO應(yīng)該改為：（3）各項(xiàng)影響因子權(quán)重（）計(jì)算當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。對(duì)于DO，則當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。其中，為第種類污染物的一至四級(jí)海水標(biāo)準(zhǔn)值的平均值，即=1，2，…，；=45.3.2模型結(jié)論由于以國(guó)家四級(jí)海水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)的同一類型的海水水質(zhì)具有相同的功能，由于這個(gè)原理，可以將同一水質(zhì)類型的監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化。即用較少站位來(lái)進(jìn)行監(jiān)測(cè)分析。在進(jìn)行簡(jiǎn)并優(yōu)化時(shí)，考慮適當(dāng)保留過(guò)去常規(guī)監(jiān)測(cè)站位污染斷面的監(jiān)控及海流的影響等因素。綜合表中各監(jiān)測(cè)站位的水質(zhì)級(jí)別的分布得知?Ⅰ級(jí)區(qū)有5~6共2個(gè)站位?由于正處在渤海入海處，故予以保留??Ⅰ級(jí)區(qū)刪除4站位；Ⅱ級(jí)區(qū)有1~3共3個(gè)站位?刪除2站位?；Ⅲ級(jí)區(qū)有4，7，8共3站位，附近沒(méi)有其它站位故予以保留，Ⅳ級(jí)區(qū)保留9站位，10站位予以刪除。模型總結(jié)針對(duì)全球溢油事故頻發(fā)的現(xiàn)象，本文從實(shí)際出發(fā)，以2011年蓬萊灣溢油事件為案例，從數(shù)學(xué)建模的角度分析總結(jié)了石油擴(kuò)散的路徑模型，了解了石油擴(kuò)散規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上可以幫助陸地監(jiān)測(cè)站更高效的選擇檢測(cè)位置，在更少監(jiān)測(cè)點(diǎn)的條件下