高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題目解析高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)理工科及部分文科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，其概念抽象、邏輯嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛。掌握好高等數(shù)學(xué)，不僅是后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基石，更是培養(yǎng)邏輯思維與解決實際問題能力的重要途徑。本文旨在通過對若干高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題目的深度解析，幫助讀者鞏固基本概念，熟悉常用方法，提升解題技巧與思維能力。我們將選取函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等核心模塊的典型題目，進(jìn)行由淺入深的剖析。一、函數(shù)、極限與連續(xù)性函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對象，極限是其基本工具，連續(xù)性則是函數(shù)的重要性質(zhì)。這部分內(nèi)容是整個高等數(shù)學(xué)的起點，對后續(xù)學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn)。例1：函數(shù)的復(fù)合與定義域題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)，\(g(x)=x^2+2\)，試求復(fù)合函數(shù)\(f(g(x))\)的定義域。分析：求解復(fù)合函數(shù)的定義域，關(guān)鍵在于理解復(fù)合過程以及每個函數(shù)對自變量的取值要求。對于\(f(g(x))\)，首先要明確它是將\(g(x)\)作為一個整體代入\(f\)的自變量位置。因此，內(nèi)層函數(shù)\(g(x)\)的值域必須落在外層函數(shù)\(f(u)\)的定義域內(nèi)，同時\(g(x)\)自身的定義域也需要考慮（本題\(g(x)\)為多項式，定義域為全體實數(shù)，故主要考慮前者）。求解過程：1.首先，確定外層函數(shù)\(f(u)=\frac{1}{\sqrt{u-1}}\)的定義域。由于分母不能為零，且根號下的表達(dá)式必須非負(fù)，故\(u-1>0\)，即\(u>1\)。因此，\(f(u)\)的定義域為\((1,+\infty)\)。2.接下來，要使\(f(g(x))\)有意義，必須滿足\(g(x)>1\)。已知\(g(x)=x^2+2\)，則：\[x^2+2>1\]3.解上述不等式：\(x^2>-1\)。由于\(x^2\)本身恒大于等于零，顯然\(x^2>-1\)對任意實數(shù)\(x\)均成立。4.因此，復(fù)合函數(shù)\(f(g(x))\)的定義域為全體實數(shù)，即\((-\infty,+\infty)\)。評注：本題看似簡單，但卻考察了復(fù)合函數(shù)定義域的本質(zhì)。初學(xué)者容易忽略外層函數(shù)對“中間變量”的限制，直接將\(g(x)\)的定義域當(dāng)作復(fù)合函數(shù)的定義域，這是需要避免的。在求解時，應(yīng)始終牢記“內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域”這一基本原則。例2：重要極限的應(yīng)用題目：計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。分析：當(dāng)\(x\to0\)時，分子\(\sin3x\to0\)，分母\(x\to0\)，此極限為“\(\frac{0}{0}\)”型未定式。我們熟知重要極限\(\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，本題可以通過變量替換，將所給極限轉(zhuǎn)化為這一重要極限的形式。求解過程：1.令\(u=3x\)，則當(dāng)\(x\to0\)時，\(u\to0\)。2.將原極限進(jìn)行改寫：\[\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinu}{u/3}=3\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}\]3.應(yīng)用重要極限\(\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，可得：\[3\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\times1=3\]4.因此，原極限的值為\(3\)。評注：重要極限是求解三角函數(shù)相關(guān)極限的有力工具。在應(yīng)用時，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別極限的形式，并通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q或代數(shù)變形，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式。本題也可直接利用等價無窮小替換：當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sin3x\sim3x\)，故原式\(\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3\)。等價無窮小替換是簡化“\(\frac{0}{0}\)”型或“\(\infty-\infty\)”型極限計算的常用技巧，但需注意替換的條件和范圍。二、一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分是一元函數(shù)微分學(xué)的核心概念，它們刻畫了函數(shù)的局部變化率和函數(shù)值的近似改變量。導(dǎo)數(shù)的計算及應(yīng)用（如判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值等）是這部分的重點。例3：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題目：設(shè)\(y=\ln\cos(x^2+1)\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。分析：本題是一個多層復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于正確分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，然后運用“鏈?zhǔn)椒▌t”（即外層函數(shù)導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)）逐層求導(dǎo)。求解過程：1.分析函數(shù)復(fù)合結(jié)構(gòu)：令\(y=\lnu\)，其中\(zhòng)(u=\cosv\)，而\(v=x^2+1\)。2.根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t：\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}\)。3.分別求各層導(dǎo)數(shù)：\(\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}\)（基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：\((\lnu)'=\frac{1}{u}\)）\(\frac{du}{dv}=-\sinv\)（基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：\((\cosv)'=-\sinv\)）\(\frac{dv}{dx}=2x\)（冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零：\((x^2)'=2x\)，\((1)'=0\)）4.將上述結(jié)果相乘，并回代各中間變量：\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot(-\sinv)\cdot2x=\frac{1}{\cos(x^2+1)}\cdot(-\sin(x^2+1))\cdot2x\]5.化簡可得：\[\frac{dy}{dx}=-2x\tan(x^2+1)\]評注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是微分學(xué)中的基本技能，也是后續(xù)學(xué)習(xí)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)。初學(xué)者在面對多層復(fù)合時，容易漏層或求導(dǎo)錯誤。建議在求導(dǎo)前，先明確寫出復(fù)合過程中的中間變量，再按鏈?zhǔn)椒▌t逐步求導(dǎo)，最后回代并化簡。熟練后，可以在心中默記復(fù)合層次進(jìn)行求導(dǎo)。例4：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值題目：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。分析：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號密切相關(guān)：當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時，函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)等于零的點（駐點）以及導(dǎo)數(shù)不存在的點是可能的極值點。我們可以通過判斷駐點左右導(dǎo)數(shù)符號的變化來確定是否為極值點以及是極大值還是極小值。求解過程：1.確定函數(shù)的定義域：\(f(x)\)為多項式函數(shù)，定義域為\((-\infty,+\infty)\)。2.求一階導(dǎo)數(shù)：\[f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\]3.求駐點：令\(f'(x)=0\)，即\(3(x-3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)。這兩個點將定義域分成三個區(qū)間：\((-\infty,-1)\)，\((-1,3)\)，\((3,+\infty)\)。4.判斷各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號及函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)\(x\in(-\infty,-1)\)時，取\(x=-2\)，\(f'(-2)=3(-5)(-1)=15>0\)，故\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增。當(dāng)\(x\in(-1,3)\)時，取\(x=0\)，\(f'(0)=3(-3)(1)=-9<0\)，故\(f(x)\)在\((-1,3)\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\in(3,+\infty)\)時，取\(x=4\)，\(f'(4)=3(1)(5)=15>0\)，故\(f(x)\)在\((3,+\infty)\)上單調(diào)遞增。5.確定極值點并求極值：在\(x=-1\)處，導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，故\(x=-1\)為極大值點。極大值為：\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10\]在\(x=3\)處，導(dǎo)數(shù)由負(fù)變正，故\(x=3\)為極小值點。極小值為：\[f(3)=3^3-3(3)^2-9(3)+5=27-27-27+5=-22\]評注：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要方面。解題步驟通常是：求導(dǎo)->找駐點和不可導(dǎo)點->劃分區(qū)間->判斷導(dǎo)數(shù)符號->確定單調(diào)區(qū)間和極值。需要注意的是，駐點不一定是極值點，需通過導(dǎo)數(shù)符號的變化來判斷。對于可導(dǎo)函數(shù)，極值點必定是駐點。三、一元函數(shù)積分學(xué)積分學(xué)與微分學(xué)互為逆運算，不定積分是求導(dǎo)的逆過程，定積分則深刻揭示了“和式的極限”這一本質(zhì)，并在幾何、物理等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。例5：不定積分的計算（第一類換元法，即湊微分法）題目：計算不定積分\(\intxe^{x^2}dx\)。分析：觀察被積函數(shù)\(xe^{x^2}\)，其中指數(shù)函數(shù)的指數(shù)是\(x^2\)，而其導(dǎo)數(shù)\((x^2)'=2x\)，正好與被積函數(shù)中的\(x\)項只差一個常數(shù)因子。這種形式適合使用第一類換元法（湊微分法）。求解過程：1.設(shè)\(u=x^2\)，則\(du=2xdx\)，即\(xdx=\frac{1}{2}du\)。2.將上述代換代入原積分：\[\intxe^{x^2}dx=\inte^{u}\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\inte^{u}du\]3.利用基本積分公式\(\inte^{u}du=e^{u}+C\)，可得：\[\frac{1}{2}\inte^{u}du=\frac{1}{2}e^{u}+C\]4.回代\(u=x^2\)，得到原不定積分的結(jié)果：\[\intxe^{x^2}dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\]其中\(zhòng)(C\)為積分常數(shù)。評注：湊微分法的關(guān)鍵在于敏銳地觀察到被積函數(shù)中某一部分是另一部分的導(dǎo)數(shù)（或差常數(shù)因子）。這需要對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式非常熟悉，并通過大量練習(xí)培養(yǎng)“湊”的直覺。常見的湊微分形式需要總結(jié)記憶，例如\(\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}\intf(ax+b)d(ax+b)\)，\(\intx^nf(x^{n+1})dx=\frac{1}{n+1}\intf(x^{n+1})d(x^{n+1})\)等。例6：定積分的計算與幾何意義題目：計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{1-x^2})dx\)，并解釋其幾何意義。分析：定積分的計算通常是先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，再應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式。對于本題，可以將被積函數(shù)拆分為兩項\(x^2\)和\(\sqrt{1-x^2}\)，分別積分后相加。其中第二項\(\sqrt{1-x^2}\)的積分，除了用常規(guī)方法計算，還可以結(jié)合其幾何意義來理解。求解過程：1.將原積分拆分為兩個定積分之和：\[\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{1-x^2})dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\]2.計算第一個積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)：\[\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\implies\int_{0}^{1}x^2dx=\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\]3.計算第二個積分\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)：*方法一（三角代換）：*令\(x=\sint\)，當(dāng)\(x=0\)時\(t=0\)；當(dāng)\(x=1\)時\(t=\frac{\pi}{2}\)。\(dx=\costdt\)。\[\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-