并查集路徑壓縮與按秩合并的實現(xiàn)一、并查集概述

并查集是一種樹型的數(shù)據(jù)結構，用于處理一些不交集的合并及查詢問題。其主要操作包括：

（一）查找操作：確定某個元素屬于哪個集合

（二）合并操作：將兩個集合合并為一個集合

二、并查集的實現(xiàn)原理

并查集的核心是維護一個父節(jié)點數(shù)組，通過路徑壓縮和按秩合并優(yōu)化性能。

（一）基本結構

1.父節(jié)點數(shù)組：`parent[i]`表示節(jié)點`i`的父節(jié)點

2.集合大小數(shù)組（按秩合并用）：`rank[i]`表示以節(jié)點`i`為根的樹的高度

（二）按秩合并

按秩合并通過比較兩個根節(jié)點的秩來優(yōu)化樹的高度，具體步驟如下：

1.查找元素`x`的根節(jié)點`root(x)`

2.查找元素`y`的根節(jié)點`root(y)`

3.若`root(x)==root(y)`，無需合并

4.若`rank[root(x)]<rank[root(y)]`，將`root(x)`指向`root(y)`

5.若`rank[root(x)]>rank[root(y)]`，將`root(y)`指向`root(x)`

6.若`rank[root(x)]==rank[root(y)]`，將`root(y)`指向`root(x)`，并增加`rank[root(x)]`

（三）路徑壓縮

路徑壓縮通過遞歸或非遞歸方式將查詢路徑上的節(jié)點直接指向根節(jié)點，優(yōu)化后續(xù)查詢效率，具體步驟如下：

1.查找元素`x`的根節(jié)點`root(x)`

2.在查找過程中，將`x`的父節(jié)點更新為`root(x)`

3.返回`root(x)`

三、代碼實現(xiàn)

```python

classUnionFind:

def__init__(self,size):

self.parent=list(range(size))初始化父節(jié)點數(shù)組

self.rank=[1]size初始化秩數(shù)組

deffind(self,x):

ifself.parent[x]!=x:

self.parent[x]=self.find(self.parent[x])路徑壓縮

returnself.parent[x]

defunion(self,x,y):

root_x=self.find(x)

root_y=self.find(y)

ifroot_x==root_y:

return

ifself.rank[root_x]<self.rank[root_y]:

self.parent[root_x]=root_y

elifself.rank[root_x]>self.rank[root_y]:

self.parent[root_y]=root_x

else:

self.parent[root_y]=root_x

self.rank[root_x]+=1

四、性能分析

（一）時間復雜度

1.初始狀態(tài)：所有操作為O(1)

2.路徑壓縮后：接近O(α(n))，α為阿克曼函數(shù)的反函數(shù)

3.按秩合并后：接近O(log(n))

（二）空間復雜度

O(n)，用于存儲父節(jié)點和秩數(shù)組

五、應用場景

并查集適用于解決動態(tài)連通性問題，如：

1.圖的連通分量

2.離線最小生成樹算法

3.網(wǎng)絡游戲中的玩家分組

四、性能分析（續(xù)）

（一）時間復雜度（續(xù)）

1.初始狀態(tài)下的操作分析

在未進行任何優(yōu)化（即父節(jié)點直接指向其子節(jié)點，秩數(shù)組未使用）的情況下，并查集的合并和查找操作可能面臨性能瓶頸。

查找操作（Find）：最壞情況下，需要遍歷整個樹的高度，時間復雜度為O(h)，其中h為樹的高度。在極端情況下（所有節(jié)點構成一條鏈），h可能達到n（節(jié)點總數(shù)），導致查找操作退化為O(n)。

合并操作（Union）：合并操作本身通常只涉及改變一個父節(jié)點指針，看似為O(1)。但查找操作是合并的前提，因此合并操作的總時間復雜度受限于查找操作，最壞情況下也為O(n)。

2.路徑壓縮（PathCompression）的優(yōu)化效果

路徑壓縮旨在顯著降低查找操作的平攤時間復雜度。其核心思想是在查找過程中，將沿途經(jīng)過的節(jié)點直接指向根節(jié)點。

實現(xiàn)方式：在遞歸查找`find(x)`時，如果發(fā)現(xiàn)`parent[x]!=x`，則將`parent[x]`更新為`find(parent[x])`（即直接指向根節(jié)點），然后返回`find(parent[x])`。

攤還分析：雖然單次查找的最壞情況仍可能為O(n)，但根據(jù)阿克曼函數(shù)的反函數(shù)α(n)的性質(zhì)，可以證明：對于任何節(jié)點x，經(jīng)過路徑壓縮后，其所有后代節(jié)點在未來進行的查找操作中，其路徑長度將接近于常數(shù)。這意味著雖然偶爾會出現(xiàn)較長的查找路徑，但平均下來，每次查找的攤還（Average-case）時間復雜度可以接近O(1)。α(n)增長非常緩慢，因此α(n)在實際中通常是一個非常小的常數(shù)（如對32位整數(shù)，α(n)≤4）。

效果：引入路徑壓縮后，并查集的查找操作攤還時間復雜度降低至O(α(n))，合并操作的總時間復雜度也隨之降低。

3.按秩合并（UnionbyRank）的優(yōu)化效果

按秩合并旨在優(yōu)化合并操作，防止樹高度無限制增長，從而間接降低查找操作的時間。

秩（Rank）的定義與作用：`rank[i]`表示以節(jié)點`i`為根的樹的高度。在初始化時，通常令所有節(jié)點的秩為1（或0）。秩用于在合并時決定樹的連接方式。

合并策略：在執(zhí)行`union(x,y)`時，比較`rank[root(x)]`和`rank[root(y)]`：

情況1：`rank[root(x)]<rank[root(y)]`。將樹`root(x)`作為樹`root(y)`的子樹。操作：`parent[root(x)]=root(y)`。

情況2：`rank[root(x)]>rank[root(y)]`。將樹`root(y)`作為樹`root(x)`的子樹。操作：`parent[root(y)]=root(x)`。

情況3：`rank[root(x)]==rank[root(y)]`。任選一個根作為另一棵樹的父節(jié)點，并增加其秩。操作：`parent[root(y)]=root(x)`且`rank[root(x)]+=1`。

效果：按秩合并保證了合并后的樹的高度盡可能小。在每次合并操作中，樹的高度至多增加1（在秩相等時）。這導致樹的高度大致保持在O(logn)量級。因此，即使不使用路徑壓縮，按秩合并也能將查找操作的時間復雜度限制在O(logn)。結合路徑壓縮，并查集的整體性能非常出色。

（二）空間復雜度

1.存儲需求：并查集需要兩個主要的數(shù)據(jù)結構來維護信息：

父節(jié)點數(shù)組（`parent`）：一個長度為n的數(shù)組，存儲每個節(jié)點的父節(jié)點索引。初始時，`parent[i]=i`。占用空間為O(n)。

秩數(shù)組（`rank`）：一個長度為n的數(shù)組，存儲每個根節(jié)點對應的樹的高度。初始時，`rank[i]=1`（或0）。占用空間為O(n)。

2.總空間復雜度：由于父節(jié)點數(shù)組和秩數(shù)組均占用線性空間，因此并查集的總空間復雜度為O(n)。

五、應用場景（續(xù)）

并查集因其高效處理動態(tài)連通性問題的能力，在多個領域有廣泛應用，以下列舉幾個典型場景：

（一）圖形算法

1.連通分量（ConnectedComponents）：在無向圖中，判斷兩個頂點是否屬于同一連通分量。可以通過將每個頂點初始化為獨立的集合，然后根據(jù)邊的連接關系執(zhí)行合并操作，最終每個連通分量由一個代表元（根節(jié)點）唯一標識。

2.最小生成樹（MinimumSpanningTree,MST）：某些基于并查集的最小生成樹算法，如Kruskal算法，在處理邊的連通性檢查時使用并查集。每次選擇一條邊時，檢查其兩個頂點是否屬于同一集合，若否則合并，這樣就能確保生成的樹是無環(huán)的。按秩合并在此場景中尤為重要，因為它能保證MST算法的效率。

（二）數(shù)據(jù)結構構建

1.不相交集合數(shù)據(jù)結構：并查集本身就是一種核心的不相交集合數(shù)據(jù)結構，用于模擬動態(tài)的集合合并與查詢操作。

（三）網(wǎng)絡問題

1.網(wǎng)絡連通性管理：在網(wǎng)絡拓撲中，管理不同網(wǎng)絡設備或節(jié)點的連通狀態(tài)，動態(tài)地添加或刪除連接（邊），并快速查詢?nèi)我鈨蓚€節(jié)點是否連通。

（四）地理信息系統(tǒng)（GIS）

1.區(qū)域合并：在地圖上，根據(jù)地理邊界（如道路連接）動態(tài)合并相鄰區(qū)域，判斷區(qū)域是否相鄰或屬于同一區(qū)域。

（五）游戲開發(fā)

1.游戲地圖與尋路：在游戲地圖中管理地塊的連通性，例如，草地和草地相連，草地和道路相連，但道路和道路不一定相連。并查集可以快速判斷兩點是否可通過游戲角色直接移動。

2.玩家分組或聯(lián)盟：在多人在線游戲中，動態(tài)管理玩家之間的聯(lián)盟關系，合并或拆分聯(lián)盟。

六、實現(xiàn)細節(jié)與注意事項

（一）初始化

1.父節(jié)點數(shù)組初始化：`parent=[iforiinrange(n)]`，其中n是元素總數(shù)。每個元素自成一個集合，其父節(jié)點指向自己。

2.秩數(shù)組初始化：`rank=[1]n`或`rank=[0]n`。通常初始化為1，因為每個節(jié)點初始時視為一棵只有自己的樹。

（二）查找操作的遞歸與非遞歸實現(xiàn)

1.遞歸實現(xiàn)（含路徑壓縮）：

```python

deffind(self,x):

ifself.parent[x]!=x:

self.parent[x]=self.find(self.parent[x])路徑壓縮

returnself.parent[x]

```

優(yōu)點：代碼簡潔。

缺點：在極端情況下（所有節(jié)點形成一條長鏈），遞歸深度可能達到n，對?？臻g有要求。

2.非遞歸實現(xiàn)（含路徑壓縮）：

```python

deffind(self,x):

非遞歸路徑壓縮（路徑halving）

orig=x

whileself.parent[x]!=x:

x=self.parent[x]

路徑halving的另一種寫法

whileself.parent[orig]!=orig:

orig,self.parent[orig]=self.parent[orig],x

returnx

```

優(yōu)點：避免了棧溢出的風險。

缺點：代碼相對遞歸實現(xiàn)稍復雜。兩種實現(xiàn)都能達到O(α(n))的攤還復雜度。

（三）秩的更新時機

1.合并操作時更新：在`union(x,y)`函數(shù)中，只有在秩相等且需要將一棵樹連接到另一棵樹時（即`rank[root(x)]==rank[root(y)]`且選擇將`root(x)`連接到`root(y)`），才執(zhí)行`rank[root(x)]+=1`。這確保了秩的增長是合理的，且樹的高度被有效控制。

（四）數(shù)據(jù)類型選擇

1.索引類型：父節(jié)點數(shù)組和秩數(shù)組通常使用整數(shù)索引，范圍從0到n-1。

2.性能考量：在某些高級應用中，可能需要處理更復雜的標識符（如字符串或自定義對象），這時通常需要建立一個映射（如哈希表）將標識符映射到內(nèi)部索引，但這會增加實現(xiàn)的復雜度和空間開銷。在基礎實現(xiàn)中，使用整數(shù)索引最簡單高效。

一、并查集概述

并查集是一種樹型的數(shù)據(jù)結構，用于處理一些不交集的合并及查詢問題。其主要操作包括：

（一）查找操作：確定某個元素屬于哪個集合

（二）合并操作：將兩個集合合并為一個集合

二、并查集的實現(xiàn)原理

并查集的核心是維護一個父節(jié)點數(shù)組，通過路徑壓縮和按秩合并優(yōu)化性能。

（一）基本結構

1.父節(jié)點數(shù)組：`parent[i]`表示節(jié)點`i`的父節(jié)點

2.集合大小數(shù)組（按秩合并用）：`rank[i]`表示以節(jié)點`i`為根的樹的高度

（二）按秩合并

按秩合并通過比較兩個根節(jié)點的秩來優(yōu)化樹的高度，具體步驟如下：

1.查找元素`x`的根節(jié)點`root(x)`

2.查找元素`y`的根節(jié)點`root(y)`

3.若`root(x)==root(y)`，無需合并

4.若`rank[root(x)]<rank[root(y)]`，將`root(x)`指向`root(y)`

5.若`rank[root(x)]>rank[root(y)]`，將`root(y)`指向`root(x)`

6.若`rank[root(x)]==rank[root(y)]`，將`root(y)`指向`root(x)`，并增加`rank[root(x)]`

（三）路徑壓縮

路徑壓縮通過遞歸或非遞歸方式將查詢路徑上的節(jié)點直接指向根節(jié)點，優(yōu)化后續(xù)查詢效率，具體步驟如下：

1.查找元素`x`的根節(jié)點`root(x)`

2.在查找過程中，將`x`的父節(jié)點更新為`root(x)`

3.返回`root(x)`

三、代碼實現(xiàn)

```python

classUnionFind:

def__init__(self,size):

self.parent=list(range(size))初始化父節(jié)點數(shù)組

self.rank=[1]size初始化秩數(shù)組

deffind(self,x):

ifself.parent[x]!=x:

self.parent[x]=self.find(self.parent[x])路徑壓縮

returnself.parent[x]

defunion(self,x,y):

root_x=self.find(x)

root_y=self.find(y)

ifroot_x==root_y:

return

ifself.rank[root_x]<self.rank[root_y]:

self.parent[root_x]=root_y

elifself.rank[root_x]>self.rank[root_y]:

self.parent[root_y]=root_x

else:

self.parent[root_y]=root_x

self.rank[root_x]+=1

四、性能分析

（一）時間復雜度

1.初始狀態(tài)：所有操作為O(1)

2.路徑壓縮后：接近O(α(n))，α為阿克曼函數(shù)的反函數(shù)

3.按秩合并后：接近O(log(n))

（二）空間復雜度

O(n)，用于存儲父節(jié)點和秩數(shù)組

五、應用場景

并查集適用于解決動態(tài)連通性問題，如：

1.圖的連通分量

2.離線最小生成樹算法

3.網(wǎng)絡游戲中的玩家分組

四、性能分析（續(xù)）

（一）時間復雜度（續(xù)）

1.初始狀態(tài)下的操作分析

在未進行任何優(yōu)化（即父節(jié)點直接指向其子節(jié)點，秩數(shù)組未使用）的情況下，并查集的合并和查找操作可能面臨性能瓶頸。

查找操作（Find）：最壞情況下，需要遍歷整個樹的高度，時間復雜度為O(h)，其中h為樹的高度。在極端情況下（所有節(jié)點構成一條鏈），h可能達到n（節(jié)點總數(shù)），導致查找操作退化為O(n)。

合并操作（Union）：合并操作本身通常只涉及改變一個父節(jié)點指針，看似為O(1)。但查找操作是合并的前提，因此合并操作的總時間復雜度受限于查找操作，最壞情況下也為O(n)。

2.路徑壓縮（PathCompression）的優(yōu)化效果

路徑壓縮旨在顯著降低查找操作的平攤時間復雜度。其核心思想是在查找過程中，將沿途經(jīng)過的節(jié)點直接指向根節(jié)點。

實現(xiàn)方式：在遞歸查找`find(x)`時，如果發(fā)現(xiàn)`parent[x]!=x`，則將`parent[x]`更新為`find(parent[x])`（即直接指向根節(jié)點），然后返回`find(parent[x])`。

攤還分析：雖然單次查找的最壞情況仍可能為O(n)，但根據(jù)阿克曼函數(shù)的反函數(shù)α(n)的性質(zhì)，可以證明：對于任何節(jié)點x，經(jīng)過路徑壓縮后，其所有后代節(jié)點在未來進行的查找操作中，其路徑長度將接近于常數(shù)。這意味著雖然偶爾會出現(xiàn)較長的查找路徑，但平均下來，每次查找的攤還（Average-case）時間復雜度可以接近O(1)。α(n)增長非常緩慢，因此α(n)在實際中通常是一個非常小的常數(shù)（如對32位整數(shù)，α(n)≤4）。

效果：引入路徑壓縮后，并查集的查找操作攤還時間復雜度降低至O(α(n))，合并操作的總時間復雜度也隨之降低。

3.按秩合并（UnionbyRank）的優(yōu)化效果

按秩合并旨在優(yōu)化合并操作，防止樹高度無限制增長，從而間接降低查找操作的時間。

秩（Rank）的定義與作用：`rank[i]`表示以節(jié)點`i`為根的樹的高度。在初始化時，通常令所有節(jié)點的秩為1（或0）。秩用于在合并時決定樹的連接方式。

合并策略：在執(zhí)行`union(x,y)`時，比較`rank[root(x)]`和`rank[root(y)]`：

情況1：`rank[root(x)]<rank[root(y)]`。將樹`root(x)`作為樹`root(y)`的子樹。操作：`parent[root(x)]=root(y)`。

情況2：`rank[root(x)]>rank[root(y)]`。將樹`root(y)`作為樹`root(x)`的子樹。操作：`parent[root(y)]=root(x)`。

情況3：`rank[root(x)]==rank[root(y)]`。任選一個根作為另一棵樹的父節(jié)點，并增加其秩。操作：`parent[root(y)]=root(x)`且`rank[root(x)]+=1`。

效果：按秩合并保證了合并后的樹的高度盡可能小。在每次合并操作中，樹的高度至多增加1（在秩相等時）。這導致樹的高度大致保持在O(logn)量級。因此，即使不使用路徑壓縮，按秩合并也能將查找操作的時間復雜度限制在O(logn)。結合路徑壓縮，并查集的整體性能非常出色。

（二）空間復雜度

1.存儲需求：并查集需要兩個主要的數(shù)據(jù)結構來維護信息：

父節(jié)點數(shù)組（`parent`）：一個長度為n的數(shù)組，存儲每個節(jié)點的父節(jié)點索引。初始時，`parent[i]=i`。占用空間為O(n)。

秩數(shù)組（`rank`）：一個長度為n的數(shù)組，存儲每個根節(jié)點對應的樹的高度。初始時，`rank[i]=1`（或0）。占用空間為O(n)。

2.總空間復雜度：由于父節(jié)點數(shù)組和秩數(shù)組均占用線性空間，因此并查集的總空間復雜度為O(n)。

五、應用場景（續(xù)）

并查集因其高效處理動態(tài)連通性問題的能力，在多個領域有廣泛應用，以下列舉幾個典型場景：

（一）圖形算法

1.連通分量（ConnectedComponents）：在無向圖中，判斷兩個頂點是否屬于同一連通分量?？梢酝ㄟ^將每個頂點初始化為獨立的集合，然后根據(jù)邊的連接關系執(zhí)行合并操作，最終每個連通分量由一個代表元（根節(jié)點）唯一標識。

2.最小生成樹（MinimumSpanningTree,MST）：某些基于并查集的最小生成樹算法，如Kruskal算法，在處理邊的連通性檢查時使用并查集。每次選擇一條邊時，檢查其兩個頂點是否屬于同一集合，若否則合并，這樣就能確保生成的樹是無環(huán)的。按秩合并在此場景中尤為重要，因為它能保證MST算法的效率。

（二）數(shù)據(jù)結構構建

1.不相交集合數(shù)據(jù)結構：并查集本身就是一種核心的不相交集合數(shù)據(jù)結構，用于模擬動態(tài)的集合合并與查詢操作。

（三）網(wǎng)絡問題

1.網(wǎng)絡連通性管理：在網(wǎng)絡拓撲中，管理不同網(wǎng)絡設備或節(jié)點的連通狀態(tài)，動態(tài)地添加或刪除連接（邊），并快速查詢?nèi)我鈨蓚€節(jié)點是否連通。

（四）地理信息系統(tǒng)（GIS）

1.區(qū)域合并：在地圖上，根據(jù)地理邊界（如道路連接）動態(tài)合并相鄰區(qū)域，判斷區(qū)域是否相鄰或屬于同一區(qū)域。

（五）游戲開發(fā)

1.游戲地圖與尋路：在游戲地圖中管理地塊的連通性，例如，草地和草地相連，草地和道路相連，但道路和道路不一定相連。并查集可以快速判斷兩點是否可通過游戲角色直接移動。

2.玩家分組或聯(lián)盟：在多人在線游戲中，動態(tài)管理玩家之間的聯(lián)盟關系，合并或拆分聯(lián)盟。

六、實現(xiàn)細節(jié)與注意事項

（一）初始化

1.父節(jié)點數(shù)組初始化：`parent=[iforiinrange(n)]`，其中n