函數(shù)是高中數(shù)學的基石，貫穿于整個高中數(shù)學的學習過程，也是進一步學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。掌握好函數(shù)的概念、性質(zhì)及基本應(yīng)用，對同學們構(gòu)建完整的數(shù)學知識體系至關(guān)重要。本文將對高一階段所學的函數(shù)核心知識點進行梳理歸納，并配以針對性的練習題，希望能幫助同學們鞏固基礎(chǔ)，提升解題能力。一、函數(shù)的核心知識點歸納1.1函數(shù)的概念與表示函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。*要點解析：*“非空數(shù)集”：A、B必須是數(shù)集，且不能為空。*“任意一個”：定義域A中的每一個元素都要有對應(yīng)。*“唯一確定”：這是函數(shù)概念的核心，即一個自變量x只能對應(yīng)一個函數(shù)值y（多對一或一對一均可，但一對多不行）。*函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系（解析式或圖像或表格）、值域。其中，定義域和對應(yīng)關(guān)系是決定因素，只要這兩者確定，值域也就隨之確定。函數(shù)的表示方法：*解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如y=2x+1。*列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如平方根表。*圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，圖像上的點(x,y)需滿足函數(shù)定義。分段函數(shù)：在定義域的不同子集上，對應(yīng)關(guān)系用不同解析式來表示的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，而非多個函數(shù)。處理分段函數(shù)問題時，需注意自變量的取值范圍，選擇對應(yīng)的解析式。定義域的求解：*分式函數(shù)：分母不為零。*偶次根式函數(shù)：被開方數(shù)非負。*零次冪或負指數(shù)冪函數(shù)：底數(shù)不為零。*實際問題：需考慮自變量的實際意義。*若函數(shù)由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成，則定義域為各部分有意義的x的集合的交集。1.2函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性（增減性）：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。*當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。*判斷方法：*定義法：取值、作差（或作商）、變形、定號、下結(jié)論。*圖像法：觀察函數(shù)圖像在某區(qū)間內(nèi)是上升還是下降。*幾何意義：函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間上的圖像從左到右是上升的；在單調(diào)遞減區(qū)間上的圖像從左到右是下降的。奇偶性：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果對于定義域D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且：*f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。*f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。*判斷步驟：*首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。*若定義域?qū)ΨQ，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。*圖像特征：*偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。*奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。*重要結(jié)論：*若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0。*奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。1.3基本初等函數(shù)一次函數(shù)（線性函數(shù)）：*解析式：y=kx+b(k≠0)。*定義域與值域：均為R。*圖像：一條直線。當k>0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當k<0時，函數(shù)單調(diào)遞減。b為直線在y軸上的截距。*當b=0時，即y=kx(k≠0)，為正比例函數(shù)，是特殊的一次函數(shù)，也是奇函數(shù)。二次函數(shù)：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。*頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為拋物線的頂點坐標。*零點式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?,x?是函數(shù)的零點（即方程ax2+bx+c=0的兩根）。*定義域：R。*圖像：拋物線。當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下。*對稱軸：直線x=-b/(2a)(由一般式得)或x=h(由頂點式得)。*頂點坐標：(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))(由一般式得)或(h,k)(由頂點式得)。*單調(diào)性：*a>0時，在(-∞,-b/(2a)]上單調(diào)遞減，在[-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞增。*a<0時，在(-∞,-b/(2a)]上單調(diào)遞增，在[-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞減。*最值：*a>0時，函數(shù)有最小值，當x=-b/(2a)時，y_min=(4ac-b2)/(4a)。*a<0時，函數(shù)有最大值，當x=-b/(2a)時，y_max=(4ac-b2)/(4a)。*二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系緊密，要能結(jié)合圖像理解。反比例函數(shù)：*解析式：y=k/x(k≠0)。*定義域：(-∞,0)∪(0,+∞)。*值域：(-∞,0)∪(0,+∞)。*圖像：雙曲線。當k>0時，圖像在第一、三象限，在每個象限內(nèi)單調(diào)遞減；當k<0時，圖像在第二、四象限，在每個象限內(nèi)單調(diào)遞增。*奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱。二、函數(shù)練習題2.1基礎(chǔ)鞏固題一、選擇題1.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x表示同一函數(shù)的是（）A.y=(√x)2B.y=√(x2)C.y=x3/x2D.y=3√(x3)2.函數(shù)f(x)=√(x+1)+1/(2-x)的定義域是（）A.[-1,2)B.[-1,+∞)C.(-1,2)∪(2,+∞)D.[-1,2)∪(2,+∞)3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（）A.y=-x+1B.y=x2-4x+5C.y=1/xD.y=|x|4.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù)，則必有（）A.a=0B.b=0C.c=0D.b=c=0二、填空題5.已知函數(shù)f(x)=2x-1，則f(f(2))=______。6.函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值是______，最小值是______。7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2-2x，則f(-1)=______。三、解答題8.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+1)，求：(1)函數(shù)f(x)的定義域；(2)f(2)的值；(3)若f(a)=1/2，求a的值。9.判斷函數(shù)f(x)=x3-x的奇偶性，并證明你的結(jié)論。2.2能力提升題10.已知二次函數(shù)f(x)的圖像過點(0,3)，對稱軸為直線x=2，且函數(shù)的最小值為-1，求f(x)的解析式。11.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且在(-1,1)上單調(diào)遞增，若f(1-a)+f(1-a2)<0，求實數(shù)a的取值范圍。12.已知函數(shù)f(x)=x|x-2|。(1)作出函數(shù)f(x)的大致圖像；(2)根據(jù)圖像指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)根據(jù)圖像指出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。三、練習題參考答案與提示2.1基礎(chǔ)鞏固題一、選擇題1.D（提示：判斷定義域與對應(yīng)關(guān)系是否完全一致。A定義域[0,+∞)，B對應(yīng)關(guān)系y=|x|，C定義域x≠0）2.D（提示：x+1≥0且2-x≠0）3.D（提示：A遞減；B對稱軸x=2，在(0,2)遞減；C遞減；D在(0,+∞)上y=x遞增）4.B（提示：偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，化簡后可得2bx=0對任意x成立，故b=0）二、填空題5.5（提示：f(2)=2*2-1=3，f(f(2))=f(3)=2*3-1=5）6.6，2（提示：對稱軸x=1，f(1)=2，f(3)=6，f(0)=3）7.1（提示：f(-1)=-f(1)=-(12-2*1)=1）三、解答題8.解：(1)要使函數(shù)有意義，需x+1≠0，即x≠-1。所以定義域為(-∞,-1)∪(-1,+∞)。(2)f(2)=(2-1)/(2+1)=1/3。(3)由f(a)=(a-1)/(a+1)=1/2，得2(a-1)=a+1，解得a=3。經(jīng)檢驗，a=3是原方程的解。9.解：函數(shù)f(x)=x3-x是奇函數(shù)。證明：函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱。對于任意x∈R，f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x)。所以，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。2.2能力提升題10.解：設(shè)二次函數(shù)的頂點式為f(x)=a(x-2)2-1(a>0)。因為圖像過點(0,3)，所以3=a(0-2)2-1，即3=4a-1，解得a=1。所以f(x)=(x-2)2-1=x2-4x+4-1=x2-4x+3。11.解：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1)。又因為f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，所以可得：-1<1-a<1-1<a2-1<11-a<a2+1解第一個不等式：0<a<2。解第二個不等式：0<a2<2，即-√2<a<√2且a≠0。解第三個不等式：a2+a>0，即a(a+1)>0，解得a>0或a<-1。綜合以上，取交集得0<a<√2。所以實數(shù)a的取值范圍是(0,√2)。12.解：(1)f(x)=x|x-2|={x(x-2),x≥2;x(2-x),x<2}即f(x)={x2-2x,x≥2;-x2+2x,x<2}圖像略（提示：x≥2時是開口向上拋物線的右半部分，頂點(2,0)；x<2時是開口向下拋物線的左半部分，頂點(1,1)）。(2)單調(diào)遞增區(qū)間：(-∞,1]，[2,+