七年級數(shù)學(xué)完全平方公式專項(xiàng)練習(xí)同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的完全平方公式。這個公式在代數(shù)運(yùn)算中占據(jù)著非常重要的地位，它不僅僅是簡便運(yùn)算的工具，更是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、解一元二次方程等知識的基礎(chǔ)。掌握好完全平方公式，關(guān)鍵在于深刻理解其結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用。今天，我們就通過一系列專項(xiàng)練習(xí)來鞏固和深化對這一公式的理解與應(yīng)用。一、完全平方公式回顧與結(jié)構(gòu)剖析首先，讓我們重溫一下完全平方公式的兩種基本形式：1.兩數(shù)和的完全平方公式：\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]語言描述：兩個數(shù)的和的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上這兩個數(shù)乘積的兩倍。2.兩數(shù)差的完全平方公式：\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]語言描述：兩個數(shù)的差的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，減去這兩個數(shù)乘積的兩倍。結(jié)構(gòu)特征剖析：*公式左邊是一個二項(xiàng)式的平方，即兩個相同的二項(xiàng)式相乘\((a\pmb)(a\pmb)\)。*公式右邊是一個三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的兩倍，其符號與左邊二項(xiàng)式中間的符號相同（和則加，差則減）。*可以簡單記憶為：“首平方，尾平方，首尾兩倍中間放，中間符號看前方?！边@里的“首”和“尾”指的是公式左邊二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)。溫馨提示：\((a-b)^2\)也可以看作是\([a+(-b)]^2\)，利用兩數(shù)和的完全平方公式展開，結(jié)果是一致的，同學(xué)們可以自行驗(yàn)證，以加深理解。二、公式的理解與辨析（避免常見錯誤）在應(yīng)用公式時(shí)，最容易出現(xiàn)的錯誤就是丟掉中間的“兩倍乘積項(xiàng)”，或者弄錯符號。我們來看幾個辨析題：1.判斷下列各式是否正確，若不正確，請改正。*\((x+2)^2=x^2+4\)（）*\((m-3)^2=m^2-3m+9\)（）*\((-a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)（）*\((2a+3b)^2=4a^2+6ab+9b^2\)（）辨析與改正：*錯。應(yīng)為\(x^2+4x+4\)。漏掉了\(2\timesx\times2\)。*錯。應(yīng)為\(m^2-6m+9\)。中間項(xiàng)應(yīng)為\(2\timesm\times(-3)=-6m\)。*錯。應(yīng)為\(a^2-2ab+b^2\)或\(b^2-2ab+a^2\)。\((-a+b)^2=(b-a)^2=b^2-2ab+a^2\)。*錯。應(yīng)為\(4a^2+12ab+9b^2\)。中間項(xiàng)應(yīng)為\(2\times(2a)\times(3b)=12ab\)。2.\((a+b)^2\)與\(a^2+b^2\)有什么關(guān)系？在什么情況下\((a+b)^2=a^2+b^2\)？解答：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，所以\((a+b)^2\)比\(a^2+b^2\)多了一個\(2ab\)。當(dāng)\(ab=0\)時(shí)，即\(a=0\)或\(b=0\)時(shí)，兩者相等。三、專項(xiàng)練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固型——直接套用公式A組：直接展開下列各式1.\((a+5)^2\)2.\((n-4)^2\)3.\((3x+2y)^2\)4.\((\frac{1}{2}m-2n)^2\)5.\((-2p-q)^2\)（提示：可先化為\([-(2p+q)]^2=(2p+q)^2\)再展開，或直接將\(-2p\)看作\(a\)，\(-q\)看作\(b\)）6.\((x^2+3y)^2\)（二）變式提升型——公式的靈活應(yīng)用B組：利用公式進(jìn)行簡便計(jì)算1.\(101^2\)（提示：\(101=100+1\)）2.\(99^2\)（提示：\(99=100-1\)）3.\(202^2-404\times2+2^2\)（提示：觀察式子結(jié)構(gòu)，是否符合完全平方公式的逆用？）C組：整體思想應(yīng)用（把多項(xiàng)式看作一個整體）1.\((a+b+c)^2\)（提示：先將\((a+b)\)看作一個整體，即\([(a+b)+c]^2\)，再展開）2.\((x-y-z)^2\)3.\((m+2n-3p)^2\)D組：公式的逆用（配方思想初步）1.若\(x^2+6x+k\)是一個完全平方式，則\(k=\)______。2.若\(a^2-8a+m\)是一個完全平方式，則\(m=\)______。3.填空：\(x^2-5x+(\quad)=(x-\quad)^2\)E組：綜合應(yīng)用與化簡求值1.已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2+b^2\)的值。（提示：\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)）2.已知\(x-y=2\)，\(x^2+y^2=10\)，求\(xy\)的值。3.先化簡，再求值：\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2\)，其中\(zhòng)(x=1\)，\(y=-1\)。四、練習(xí)解答與提示（一）基礎(chǔ)鞏固型——直接套用公式A組解答：1.\((a+5)^2=a^2+2\timesa\times5+5^2=a^2+10a+25\)2.\((n-4)^2=n^2-2\timesn\times4+4^2=n^2-8n+16\)3.\((3x+2y)^2=(3x)^2+2\times(3x)\times(2y)+(2y)^2=9x^2+12xy+4y^2\)4.\((\frac{1}{2}m-2n)^2=(\frac{1}{2}m)^2-2\times(\frac{1}{2}m)\times(2n)+(2n)^2=\frac{1}{4}m^2-2mn+4n^2\)5.\((-2p-q)^2=[-(2p+q)]^2=(2p+q)^2=(2p)^2+2\times(2p)\timesq+q^2=4p^2+4pq+q^2\)（或直接展開：\((-2p)^2+2\times(-2p)\times(-q)+(-q)^2=4p^2+4pq+q^2\)）6.\((x^2+3y)^2=(x^2)^2+2\times(x^2)\times(3y)+(3y)^2=x^4+6x^2y+9y^2\)（二）變式提升型——公式的靈活應(yīng)用B組解答：1.\(101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=____+200+1=____\)2.\(99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=____-200+1=9801\)3.\(202^2-404\times2+2^2=202^2-2\times202\times2+2^2=(202-2)^2=200^2=____\)（逆用完全平方公式\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)）C組提示與部分解答：1.\((a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)（這是三數(shù)和的平方公式，結(jié)論可以記住：等于各數(shù)平方和加上兩兩乘積的兩倍）2.\((x-y-z)^2=[x-(y+z)]^2=x^2-2x(y+z)+(y+z)^2=x^2-2xy-2xz+y^2+2yz+z^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\)3.（思路同1、2，將前兩項(xiàng)或后兩項(xiàng)看作整體逐步展開）D組解答：1.\(x^2+6x+k=x^2+2\timesx\times3+k\)，對比\(a^2+2ab+b^2\)，可知\(b=3\)，所以\(k=b^2=9\)。2.\(a^2-8a+m=a^2-2\timesa\times4+m\)，所以\(m=4^2=16\)。3.\(x^2-5x+(\frac{25}{4})=(x-\frac{5}{2})^2\)（因?yàn)閈(2ab=5x\)，\(a=x\)，所以\(2b=5\)，\(b=\frac{5}{2}\)，\(b^2=\frac{25}{4}\)）E組解答：1.\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times3=25-6=19\)2.因?yàn)閈((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)，所以\(2^2=10-2xy\)，即\(4=10-2xy\)，解得\(2xy=6\)，\(xy=3\)。3.\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2=[4x^2+12xy+9y^2]-[4x^2-12xy+9y^2]=4x^2+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2=24xy\)當(dāng)\(x=1\)，\(y=-1\)時(shí)，原式\(=24\times1\times(-1)=-24\)。（也可先用平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)化簡：\([(2x+3y)+(2x-3y)][(2x+3y)-(2x-3y)]=(4x)(6y)=24xy\)，更簡便）五、總結(jié)與建議完全平方公式看似簡單，但要做到熟練、準(zhǔn)確、靈活地應(yīng)用，離不開大量的練習(xí)和深刻的理解。希望同學(xué)們在做完這些練習(xí)后，能：1.再次回顧