三角函數(shù)公式講解與習(xí)題三角函數(shù)，這個貫穿中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“老朋友”，其公式繁多，應(yīng)用靈活，常常讓初學(xué)者感到頭疼。但實際上，只要我們理清脈絡(luò)，抓住核心，掌握其內(nèi)在規(guī)律，就能化繁為簡，游刃有余。本文旨在系統(tǒng)梳理三角函數(shù)的核心公式，并通過典型習(xí)題的演練，幫助讀者深化理解，提升應(yīng)用能力。一、三角函數(shù)的基本定義回顧在開始公式之旅前，我們先簡要回顧三角函數(shù)的定義。在直角坐標系中，設(shè)角α的終邊上任意一點P的坐標為(x,y)，它與原點的距離為r(r>0)，則：*正弦函數(shù)：sinα=y/r*余弦函數(shù)：cosα=x/r*正切函數(shù)：tanα=y/x(x≠0)這是所有三角函數(shù)公式的起點，理解了定義，后續(xù)公式的推導(dǎo)和記憶才能更順暢。二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系這部分公式描述了同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系，是三角函數(shù)運算的基礎(chǔ)。1.平方關(guān)系sin2α+cos2α=1這個公式非常重要，它揭示了正弦和余弦之間的平方和為1的恒定關(guān)系。我們可以利用它進行sinα與cosα之間的相互轉(zhuǎn)化，例如已知sinα求cosα，或反之。2.商數(shù)關(guān)系tanα=sinα/cosα(cosα≠0)此公式建立了正切與正弦、余弦之間的聯(lián)系，表明正切是正弦與余弦的比值。3.倒數(shù)關(guān)系tanα·cotα=1(sinα≠0,cosα≠0)sinα·cscα=1(sinα≠0)cosα·secα=1(cosα≠0)（注：cotα為余切，cscα為余割，secα為正割，它們分別是tanα、sinα、cosα的倒數(shù)。在基礎(chǔ)學(xué)習(xí)階段，前兩個關(guān)系，尤其是平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，應(yīng)用更為頻繁。）記憶與理解要點：這些關(guān)系都可以從三角函數(shù)的定義直接推導(dǎo)出來。例如，sin2α+cos2α=(y/r)2+(x/r)2=(x2+y2)/r2=r2/r2=1。理解了推導(dǎo)過程，記憶會更深刻，也不容易混淆。三、誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，從而便于計算。其數(shù)量較多，但遵循一定的規(guī)律。核心口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。*“奇變偶不變”：指的是將角表示為k·(π/2)±α(其中α為銳角，k為整數(shù))的形式后，若k為奇數(shù)，則三角函數(shù)的名稱發(fā)生變化（sin?cos,tan?cot等）；若k為偶數(shù)，則三角函數(shù)的名稱保持不變。*“符號看象限”：指的是在不考慮α的具體大小的情況下，假設(shè)α是銳角，判斷原角k·(π/2)±α所在的象限，然后根據(jù)該三角函數(shù)在這個象限的正負號來確定誘導(dǎo)公式的符號。常用誘導(dǎo)公式示例：1.sin(π-α)=sinα(k=1，π=2·(π/2)，k=2為偶數(shù)，名稱不變；π-α在第二象限，正弦為正)2.cos(π-α)=-cosα(k=2為偶數(shù)，名稱不變；π-α在第二象限，余弦為負)3.sin(π/2-α)=cosα(k=1為奇數(shù)，名稱改變；π/2-α在第一象限，正弦為正，余弦也為正)4.tan(π+α)=tanα(k=2為偶數(shù)，名稱不變；π+α在第三象限，正切為正)5.sin(-α)=-sinα(可看作0·(π/2)-α，k=0為偶數(shù)，名稱不變；-α在第四象限，正弦為負)6.cos(-α)=cosα(-α在第四象限，余弦為正)理解與應(yīng)用：誘導(dǎo)公式的記憶，關(guān)鍵在于理解“奇變偶不變，符號看象限”這十字訣的含義。在應(yīng)用時，先將給定的角進行“拆分”，然后按口訣一步步判斷。多做練習(xí)，熟悉各種情況，就能靈活運用。四、兩角和與差的三角函數(shù)公式這是三角函數(shù)的核心公式，很多其他公式都可以由它們推導(dǎo)出來。1.兩角和公式*sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ*cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ*tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)(α,β,α+β均不等于kπ+π/2)2.兩角差公式*sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ*cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ*tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)(α,β,α-β均不等于kπ+π/2)記憶要點：正弦的和差公式是“正余余正，符號相同”（sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ）；余弦的和差公式是“余余正正，符號相反”（cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ）。正切的和差公式分子是“和差”，分母是“1減加”。重要性：這些公式是后續(xù)二倍角、半角公式的基礎(chǔ)，在三角函數(shù)的化簡、求值、證明中有著極其廣泛的應(yīng)用。必須熟練掌握，不僅要記住公式本身，還要能靈活逆用和變形使用。五、二倍角公式二倍角公式是兩角和公式當(dāng)β=α?xí)r的特殊情況。*sin2α=2sinαcosα*cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α（這三個形式要靈活轉(zhuǎn)換）*tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)(α,2α均不等于kπ+π/2)理解與應(yīng)用：二倍角公式不僅能直接用于計算二倍角的三角函數(shù)值，其變形式也非常重要。例如，由cos2α=2cos2α-1可得cos2α=(1+cos2α)/2，由cos2α=1-2sin2α可得sin2α=(1-cos2α)/2，這兩個公式稱為“降冪公式”，在化簡和積分中常用。六、半角公式（拓展）半角公式可由二倍角公式推導(dǎo)而來，用于將半角的三角函數(shù)用單角的余弦表示。*sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]*cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]*tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)符號確定：半角α/2所在的象限決定了公式前面的正負號。七、輔助角公式（合一變形公式）輔助角公式可以將形如asinα+bcosα的表達式合并為一個單一的三角函數(shù)，形式為Asin(α+φ)或Acos(α-θ)。asinα+bcosα=√(a2+b2)sin(α+φ)，其中tanφ=b/a(或根據(jù)a,b的符號確定φ所在象限)。或asinα+bcosα=√(a2+b2)cos(α-θ)，其中tanθ=a/b。應(yīng)用：輔助角公式在求三角函數(shù)的最值、周期、單調(diào)區(qū)間等問題中有著廣泛的應(yīng)用。---習(xí)題演練理論的學(xué)習(xí)需要通過實踐來鞏固。以下提供一些不同層次的習(xí)題，希望能幫助你更好地掌握三角函數(shù)公式。一、基礎(chǔ)鞏固題1.已知sinα=3/5，α是第二象限角，求cosα和tanα的值。*思路：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系sin2α+cos2α=1求cosα，注意α所在象限決定cosα的符號；再用商數(shù)關(guān)系求tanα。2.化簡：sin(π+α)cos(-α)tan(π-α)。*思路：利用誘導(dǎo)公式分別化簡每一項，再進行乘法運算。3.不查表，計算sin75°的值。*思路：75°=45°+30°，利用兩角和的正弦公式sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°。4.已知tanα=2，求tan(α+π/4)的值。*思路：直接應(yīng)用兩角和的正切公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，其中β=π/4，tanβ=1。5.利用二倍角公式計算cos215°-sin215°的值。*思路：觀察到式子符合cos2α=cos2α-sin2α的形式，其中α=15°，故原式=cos30°。二、綜合應(yīng)用題6.已知sinα+cosα=1/5，且0<α<π，求sin2α和tanα的值。*思路：將sinα+cosα=1/5兩邊平方，可求出sin2α=2sinαcosα的值；再結(jié)合sin2α+cos2α=1以及α的范圍，求出sinα和cosα的值，進而得到tanα。7.化簡：(sinθ+cosθ)2-(sinθ-cosθ)2。*思路：可以先將平方展開，再合并同類項化簡，或者直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)進行化簡，之后再利用倍角公式。8.求函數(shù)f(x)=sinx+√3cosx的最大值和最小正周期。*思路：利用輔助角公式將函數(shù)化為Asin(x+φ)的形式，其中A=√(12+(√3)2)=2，最大值即為A，周期為2π。9.證明恒等式：(1+sin2θ-cos2θ)/(1+sin2θ+cos2θ)=tanθ。*思路：等式左邊的分子分母中都有sin2θ和cos2θ，可以考慮使用二倍角公式將其展開，例如1-cos2θ=2sin2θ，1+cos2θ=2cos2θ，sin2θ=2sinθcosθ，然后進行約分和化簡。三、習(xí)題解答與提示1.解：因為sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-(9/25)=16/25。又因為α是第二象限角，cosα<0，所以cosα=-4/5。tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。2.解：sin(π+α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(π-α)=-tanα。所以原式=(-sinα)·cosα·(-tanα)=(-sinα)·cosα·(-sinα/cosα)=sin2α。3.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√6/4+√2/4=(√6+√2)/4。4.解：tan(α+π/4)=(tanα+tanπ/4)/(1-tanαtanπ/4)=(2+1)/(1-2×1)=3/(-1)=-3。5.解：cos215°-sin215°=cos(2×15°)=cos30°=√3/2。6.解：將sinα+cosα=1/5兩邊平方得：sin2α+2sinαcosα+cos2α=1/25，即1+sin2α=1/25，所以sin2α=-24/25。因為0<α<π且sin2α=2sinαcosα=-24/25<0，所以α為第二象限角，sinα>0，cosα<0。又(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-sin2α=1-(-24/25)=49/25，所以sinα-cosα=7/5(因為sinα-cosα>0)。聯(lián)立sinα+cosα=1/5和sinα-cosα=7/5，解得sinα=4/5，cosα=-3/5。故tanα=sinα/cosα=-4/3。7.解：方法一：原式=(sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ)-(sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ)=4sinθcosθ=2sin2θ。方法二：原式=[(sinθ+cosθ)+(sinθ-cosθ)][(sinθ+cosθ)-(sinθ-cosθ)]=(2sinθ)(2cosθ)=4sinθcosθ=2sin2θ。8.解：f(x)=sinx+√3cosx=2[(1/2)sinx+(√3/2)cosx]=2[sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)]=2sin(x+π/3)。所以最大值為2，最小正周期T=2π。9.證明：左邊=[1+sin2θ-cos2θ]/[1+sin2θ+cos2θ]分子：1-cos2θ+sin2θ=2sin2θ+2sinθcosθ=2sinθ(sinθ+cosθ)分母：1+cos2θ+sin2θ=2cos2θ+2sinθcosθ=2cosθ(cosθ+sinθ)所以左邊=[2sinθ(sinθ+cosθ)]/[2c