前言本匯編旨在為大學物理下冊的學習提供一份便捷的常用公式參考。內(nèi)容涵蓋電磁學、波動光學及近代物理基礎(chǔ)等核心模塊。公式的選取以課程大綱為依據(jù)，力求精準實用。使用時，建議結(jié)合具體物理情境理解公式的物理意義及適用條件，而非簡單記憶。各物理量均采用國際單位制（SI）。一、電磁學1.1靜電場1.1.1庫侖定律真空中，兩點電荷間的相互作用力遵循庫侖定律，其數(shù)學表達式為：\[\vec{F}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}\]其中，\(k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\)為靜電力常量，\(\epsilon_0\)為真空電容率，\(q_1,q_2\)分別為兩點電荷的電荷量，\(r\)為它們之間的距離，\(\hat{r}\)是由施力電荷指向受力電荷的單位矢量。1.1.2電場強度電場強度定義為單位正電荷在電場中所受的力：\[\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}\]點電荷產(chǎn)生的電場強度為：\[\vec{E}=k\frac{Q}{r^2}\hat{r}\]對于電荷連續(xù)分布的帶電體，電場強度可通過積分求得：\[\vec{E}=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}\]1.1.3高斯定理通過任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以\(\epsilon_0\)：\[\oint_S\vec{E}\cdotd\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{i}q_{i,\text{內(nèi)}}\]高斯定理是反映靜電場性質(zhì)的基本定理之一，它表明靜電場是有源場，源為電荷。1.1.4電勢與電勢差電場中某點的電勢定義為單位正電荷從該點移到電勢零點時電場力所做的功：\[V_a=\int_{a}^{\text{電勢零點}}\vec{E}\cdotd\vec{l}\]兩點間的電勢差（電壓）為：\[U_{ab}=V_a-V_b=\int_{a}^\vec{E}\cdotd\vec{l}\]點電荷的電勢（取無窮遠處為電勢零點）：\[V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}\]1.1.5靜電場中的導體與電介質(zhì)靜電平衡時，導體內(nèi)部電場強度為零，整個導體是等勢體，電荷只分布在導體表面。電介質(zhì)的極化會產(chǎn)生極化電荷，從而影響電場分布。有電介質(zhì)時的高斯定理（\(\vec{D}\)電位移矢量）：\[\oint_S\vec{D}\cdotd\vec{S}=\sum_{i}q_{i,\text{自由}}\]對于各向同性線性電介質(zhì)，\(\vec{D}=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}=\epsilon\vec{E}\)，其中\(zhòng)(\epsilon_r\)為相對電容率，\(\epsilon\)為電容率。1.1.6電容孤立導體的電容：\(C=\frac{Q}{V}\)平行板電容器的電容：\(C=\frac{\epsilon_0\epsilon_rS}666wocq\)電容器串聯(lián)：\(\frac{1}{C_{\text{串}}}=\sum\frac{1}{C_i}\)電容器并聯(lián)：\(C_{\text{并}}=\sumC_i\)電容器儲存的能量：\(W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV\)電場能量密度：\(w_e=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}\)，對于各向同性線性電介質(zhì)，\(w_e=\frac{1}{2}\epsilonE^2\)1.2穩(wěn)恒磁場1.2.1磁感應強度與畢奧-薩伐爾定律磁感應強度\(\vec{B}\)的定義基于洛倫茲力：\(d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}\)（安培力公式元）或\(\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\)（洛倫茲力公式）。畢奧-薩伐爾定律：電流元\(Id\vec{l}\)在空間某點產(chǎn)生的磁感應強度\(dB\)為：\[dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{r^2}\]其矢量形式為：\[d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}\]其中，\(\mu_0\)為真空磁導率，\(\theta\)為\(Id\vec{l}\)與\(\hat{r}\)之間的夾角。1.2.2磁場的高斯定理與安培環(huán)路定理磁場的高斯定理：通過任意閉合曲面的磁通量恒為零，表明磁場是無源場，磁力線是閉合曲線。\[\oint_S\vec{B}\cdotd\vec{S}=0\]安培環(huán)路定理：在穩(wěn)恒磁場中，磁感應強度\(\vec{B}\)沿任意閉合環(huán)路的線積分等于該環(huán)路所包圍的所有傳導電流的代數(shù)和乘以\(\mu_0\)。\[\oint_L\vec{B}\cdotd\vec{l}=\mu_0\sum_{i}I_{i,\text{內(nèi)}}\]有磁介質(zhì)時的安培環(huán)路定理（\(\vec{H}\)磁場強度）：\[\oint_L\vec{H}\cdotd\vec{l}=\sum_{i}I_{i,\text{傳導}}\]對于各向同性線性磁介質(zhì)，\(\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}=\mu\vec{H}\)，其中\(zhòng)(\mu_r\)為相對磁導率，\(\mu\)為磁導率。1.2.3磁場對電流和運動電荷的作用安培力：一段載流導線在磁場中所受的安培力為\(\vec{F}=\int_LId\vec{l}\times\vec{B}\)洛倫茲力：運動電荷在磁場中所受的力為\(\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\)，洛倫茲力不做功。載流線圈在均勻磁場中所受的磁力矩：\(\vec{M}=\vec{P}_m\times\vec{B}\)，其中\(zhòng)(\vec{P}_m=NIS\hat{n}\)為線圈的磁矩。1.3電磁感應與電磁場1.3.1電磁感應定律法拉第電磁感應定律：閉合回路中感應電動勢的大小與穿過回路的磁通量的變化率成正比。\[\varepsilon=-\frac{d\Phi_m}{dt}\]式中負號反映了感應電動勢的方向，可由楞次定律判定：感應電流的磁場總是阻礙引起感應電流的磁通量的變化。磁通量：\(\Phi_m=\int_S\vec{B}\cdotd\vec{S}\)1.3.2動生電動勢與感生電動勢動生電動勢：導體在磁場中運動時，導體內(nèi)自由電荷因受洛倫茲力而產(chǎn)生的電動勢。\[\varepsilon=\int_{a}^(\vec{v}\times\vec{B})\cdotd\vec{l}\]感生電動勢：由于磁場變化而在靜止導體或空間中產(chǎn)生的電動勢，它起源于感生電場。\[\varepsilon=\oint_L\vec{E}_k\cdotd\vec{l}=-\frac{d\Phi_m}{dt}\]其中\(zhòng)(\vec{E}_k\)為感生電場（渦旋電場），它是非保守場。1.3.3自感與互感自感系數(shù)：\(L=\frac{\Psi_m}{I}\)，自感電動勢：\(\varepsilon_L=-L\frac{dI}{dt}\)長直螺線管的自感：\(L=\frac{\mu_0\mu_rN^2S}{l}\)互感系數(shù)：\(M=\frac{\Psi_{21}}{I_1}=\frac{\Psi_{12}}{I_2}\)，互感電動勢：\(\varepsilon_{21}=-M\frac{dI_1}{dt}\)1.3.4磁場的能量自感線圈儲存的磁能：\(W_m=\frac{1}{2}LI^2\)磁場能量密度：\(w_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}\)，對于各向同性線性磁介質(zhì)，\(w_m=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu}=\frac{1}{2}\muH^2\)1.3.5麥克斯韋方程組與電磁波麥克斯韋方程組（積分形式）總結(jié)了電磁場的基本規(guī)律：1.\(\oint_S\vec{D}\cdotd\vec{S}=\sumq\)（電場的高斯定理）2.\(\oint_S\vec{B}\cdotd\vec{S}=0\)（磁場的高斯定理）3.\(\oint_L\vec{E}\cdotd\vec{l}=-\frac{d\Phi_m}{dt}\)（法拉第電磁感應定律）4.\(\oint_L\vec{H}\cdotd\vec{l}=\sumI+\frac{d\Phi_D}{dt}\)（全電流安培環(huán)路定理，\(\frac{d\Phi_D}{dt}\)為位移電流）電磁波在真空中的傳播速度：\(c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\)電磁波是橫波，\(\vec{E}\)、\(\vec{B}\)與傳播方向三者相互垂直，且同相位。二、波動光學2.1光的干涉2.1.1光的相干條件兩束光相遇產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的條件：頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。2.1.2楊氏雙縫干涉明暗條紋位置公式（單色光垂直入射，雙縫間距\(d\)，縫屏間距\(D\)，波長\(\lambda\)）：明紋中心：\(x=\pmk\frac{D\lambda}6a66y6u\)，\(k=0,1,2,\dots\)（干涉級）暗紋中心：\(x=\pm(2k-1)\frac{D\lambda}{4d}\)，\(k=1,2,3,\dots\)相鄰明紋（或暗紋）間距：\(\Deltax=\frac{D\lambda}symsmmk\)2.1.3光程與光程差光程：光在介質(zhì)中傳播的幾何路程\(r\)與介質(zhì)折射率\(n\)的乘積，即\(nr\)。光程差：兩束光的光程之差，\(\delta=n_2r_2-n_1r_1\)。相位差與光程差的關(guān)系：\(\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta\)，其中\(zhòng)(\lambda\)為光在真空中的波長。半波損失：光從光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)并在界面反射時，反射光會產(chǎn)生大小為\(\pi\)的相位突變，相當于損失了半個波長的光程。2.1.4薄膜干涉等傾干涉：薄膜厚度均勻，光以不同傾角入射，干涉條紋為同心圓環(huán)。等厚干涉：光垂直入射，薄膜厚度不均勻，干涉條紋與薄膜等厚線對應。劈尖干涉：平行單色光垂直入射到劈尖狀薄膜上，干涉條紋是一系列平行于劈棱的明暗相間的直條紋。相鄰明紋（或暗紋）對應的薄膜厚度差：\(\Deltae=\frac{\lambda}{2n}\)（\(n\)為薄膜折射率）牛頓環(huán)：平凸透鏡與平板玻璃間形成空氣薄膜，干涉條紋為同心圓環(huán)，中心為暗斑（考慮半波損失）。明環(huán)半徑：\(r=\sqrt{(2k-1)\frac{R\lambda}{2}}\)，\(k=1,2,3,\dots\)暗環(huán)半徑：\(r=\sqrt{kR\lambda}\)，\(k=0,1,2,\dots\)（\(R\)為透鏡曲率半徑）2.1.5邁克爾遜干涉儀利用分振幅法產(chǎn)生雙光束干涉，可用于精密測量長度或波長。移動一臂反射鏡，干涉條紋移動一條，對應光程差改變一個波長，反射鏡移動距離為\(\frac{\lambda}{2}\)。2.2光的衍射2.2.1惠更斯-菲涅耳原理波陣面上的每一點都可以看作是發(fā)射子波的波源，空間任一點的光振動是所有這些子波在該點的相干疊加。2.2.2單縫夫瑯禾費衍射單色平行光垂直入射單縫，在透鏡焦平面上形成明暗相間的衍射條紋。暗紋中心位置：\(a\sin\theta=\pmk\lambda\)，\(k=1,2,3,\dots\)（\(a\)為縫寬）明紋中心近似位置：\(a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}\)，\(k=1,2,3,\dots\)中央明紋半角寬度：\(\theta_1\approx\sin\theta_1=\frac{\lambda}{a}\)2.2.3圓孔夫瑯禾費衍射與光學儀器分辨率圓孔衍射中央亮斑（艾里斑）的半角寬度：\(\theta_1=1.22\frac{\lambda}{D}\)（\(D\)為圓孔直徑）瑞利判據(jù)：兩個點光源的艾里斑中心的距離恰好等于艾里斑的半徑時，兩像點剛好能被分辨。最小分辨角：\(\theta_R=1.22\frac{\lambda}{D}\)分辨率（分辨本領(lǐng)）：\(R=\frac{1}{\theta_R}\propto\frac{D}{\lambda}\)2.2.4光柵衍射光柵方程：\((a+b)