初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練題解析同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，往往會(huì)覺得概念抽象，題目多變，解題時(shí)容易找不到頭緒。本文旨在通過(guò)對(duì)一些典型例題的細(xì)致剖析，幫助大家梳理解題思路，掌握解題方法，從而在面對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)能夠更加從容不迫。我們將從基礎(chǔ)概念的回顧入手，逐步深入到不同類型題目的解法，希望能為大家的學(xué)習(xí)提供一些切實(shí)的幫助。一、基礎(chǔ)概念的再梳理在開始解題之前，我們有必要再次明確銳角三角函數(shù)的定義。在直角三角形中，對(duì)于一個(gè)銳角而言，它的正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）分別等于其對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值。具體來(lái)說(shuō)，若在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A為一銳角，則有：*sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊=BC/AB*cosA=∠A的鄰邊/斜邊=AC/AB*tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊=BC/AC這三個(gè)基本定義是解決所有三角函數(shù)問(wèn)題的基石，必須深刻理解并熟練記憶。同時(shí)，特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值也是解題中頻繁用到的，建議結(jié)合直角三角形的性質(zhì)（如30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半）來(lái)理解記憶，而不是死記硬背。二、典型例題解析（一）直接運(yùn)用定義求三角函數(shù)值例題1：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求sinA、cosB、tanA的值。分析：本題是三角函數(shù)定義的直接應(yīng)用。首先，我們需要明確各個(gè)角所對(duì)應(yīng)的邊。在Rt△ABC中，∠C是直角，所以斜邊是AB?！螦的對(duì)邊是BC，鄰邊是AC；∠B的對(duì)邊是AC，鄰邊是BC。題目已經(jīng)給出了BC和AC的長(zhǎng)度，我們可以先利用勾股定理求出斜邊AB的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)定義分別計(jì)算各個(gè)三角函數(shù)值。解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4。由勾股定理得：AB=√(AC2+BC2)=√(42+32)=√(16+9)=√25=5。sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊=BC/AB=3/5。cosB=∠B的鄰邊/斜邊=BC/AB=3/5。（注意：∠B的鄰邊是BC）tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊=BC/AC=3/4。點(diǎn)評(píng)：解這類題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別直角三角形的直角邊（對(duì)邊、鄰邊）和斜邊，并牢記三角函數(shù)的定義式。同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)sinA和cosB的值相等，這并非偶然，因?yàn)樵谥苯侨切沃校螦+∠B=90°，所以∠B=90°-∠A，根據(jù)誘導(dǎo)公式（初中階段可通過(guò)幾何關(guān)系理解），sinA=cos(90°-A)=cosB，這是一個(gè)重要的結(jié)論，有時(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算。（二）已知三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)或角度例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，AB=10，求BC的長(zhǎng)和∠B的余弦值。分析：已知sinA的值，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，sinA=BC/AB，我們可以直接設(shè)BC=3k，AB=5k。題目中又給出了AB的實(shí)際長(zhǎng)度為10，由此可以求出k的值，進(jìn)而得到BC的長(zhǎng)度。求出BC后，AC的長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理求得，然后再根據(jù)余弦的定義求出cosB。解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BC/AB=3/5?！嘣O(shè)BC=3k，AB=5k。又∵AB=10，∴5k=10，解得k=2?！郆C=3k=3×2=6。由勾股定理得：AC=√(AB2-BC2)=√(102-62)=√(100-36)=√64=8。cosB=∠B的鄰邊/斜邊=BC/AB=6/10=3/5。（或cosB=AC/AB=8/10=4/5？注意，這里要仔細(xì)！∠B的鄰邊是BC還是AC？∠B的頂點(diǎn)在B，它的兩條邊是BC和BA，其中BA是斜邊。所以組成∠B的兩條直角邊是BC（較短的一條，與∠B相鄰）和AC（較長(zhǎng)的一條，是∠B的對(duì)邊）。因此，∠B的鄰邊是BC，對(duì)邊是AC。所以cosB=鄰邊/斜邊=BC/AB=6/10=3/5。之前的疑問(wèn)中，AC是∠B的對(duì)邊，所以cosB不可能是AC/AB。這里再次強(qiáng)調(diào)，找準(zhǔn)角的鄰邊和對(duì)邊是關(guān)鍵?。c(diǎn)評(píng)：這類題目通常會(huì)結(jié)合方程思想，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用三角函數(shù)定義建立方程來(lái)求解。同時(shí)，再次考察了對(duì)三角函數(shù)定義中“對(duì)邊”、“鄰邊”的準(zhǔn)確理解。解題時(shí)務(wù)必靜下心來(lái)，在圖中標(biāo)出已知條件和所求量，避免因混淆邊而導(dǎo)致錯(cuò)誤。（三）利用特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題例題3：計(jì)算：2sin30°+tan45°-cos60°。分析：本題主要考察特殊角的三角函數(shù)值的記憶與直接運(yùn)算。我們需要準(zhǔn)確回憶起30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，然后代入進(jìn)行計(jì)算。解答：∵sin30°=1/2，tan45°=1，cos60°=1/2?！嘣?2×(1/2)+1-(1/2)=1+1-1/2=2-1/2=3/2。點(diǎn)評(píng)：特殊角的三角函數(shù)值是初中數(shù)學(xué)的基本要求，必須熟記于心。建議同學(xué)們?cè)诶斫獾幕A(chǔ)上記憶，例如，在等腰直角三角形（45°-45°-90°）中，兩直角邊相等，斜邊是直角邊的√2倍，由此可以推出sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1。在含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，另一直角邊是斜邊的√3/2倍，從而推出sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3，sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。（四）解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用（仰角與俯角問(wèn)題）例題4：如圖，小明在地面上點(diǎn)A處測(cè)得教學(xué)樓頂端B的仰角為30°，他向教學(xué)樓方向前進(jìn)了10米到達(dá)點(diǎn)C處，再次測(cè)得頂端B的仰角為45°。已知小明的眼睛離地面高度為1.5米（即圖中AD=CE=1.5米），求教學(xué)樓BD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）。（*此處應(yīng)有示意圖：地面上有點(diǎn)A、C（A在左，C在右，AC=10米），AD、CE是小明的身高，均為1.5米，D、E在同一水平線上。過(guò)D、E分別作水平線的垂線，交教學(xué)樓于F、B點(diǎn)（F在B下方），則DF=AC=10米，EF=0（因?yàn)镃點(diǎn)在A點(diǎn)前方，E與C在同一鉛垂線上），BF為從E點(diǎn)看B的垂直距離，∠BED=45°，∠BDF=30°。教學(xué)樓總高BD=BF+FE+ED？不，應(yīng)該是：小明眼睛在D點(diǎn)時(shí)，視線DB與水平線DF的夾角為仰角30°；在E點(diǎn)時(shí)，視線EB與水平線EC的夾角為仰角45°。DF和EC都是水平線，且DF=AC=10米，DE=AC=10米（因?yàn)镈和E分別是A和C處的眼睛高度，A到C水平移動(dòng)10米，所以D到E水平移動(dòng)10米）。設(shè)BF=x米，因?yàn)椤螧EC=45°，所以在Rt△BEF中，EF=BF=x米。在Rt△BDF中，DF=DE+EF=10+x米，∠BDF=30°，tan30°=BF/DF=x/(10+x)，從而可以解出x。教學(xué)樓的高度為BF+AD（或CE），因?yàn)锳D=CE=1.5米，即地面到眼睛的高度，所以教學(xué)樓總高為x+1.5米。*）分析：這是一個(gè)典型的利用仰角解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。通常需要設(shè)未知數(shù)，利用兩個(gè)直角三角形中公共的直角邊或已知的邊長(zhǎng)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)定義列出方程求解。解答：設(shè)BF=x米。在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∠BFE=90°，∴tan45°=BF/EF=x/EF=1，∴EF=x米。在Rt△BDF中，∠BDF=30°，∠BFD=90°，DF=DE+EF=AC+EF=10+x米（因?yàn)镈E=AC=10米，是小明前進(jìn)的距離）。tan30°=BF/DF=x/(10+x)=√3/3。即x/(10+x)=√3/3。方程兩邊同乘以3(10+x)得：3x=√3(10+x)。3x=10√3+√3x。3x-√3x=10√3。x(3-√3)=10√3。x=10√3/(3-√3)。分母有理化，分子分母同乘以(3+√3)：x=10√3(3+√3)/[(3-√3)(3+√3)]=10√3(3+√3)/(9-3)=10√3(3+√3)/6=[10(3√3+3)]/6=[30(√3+1)]/6=5(√3+1)米?！嘟虒W(xué)樓BD的高度=BF+FD'（地面到F點(diǎn)的高度，即小明眼睛高度）=x+1.5=5(√3+1)+1.5=5√3+5+1.5=5√3+6.5米。點(diǎn)評(píng)：解這類題時(shí)，首先要弄清“仰角”的概念（視線在水平線上方與水平線所成的角）。其次，要能從復(fù)雜的圖形中抽象出兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的直角三角形。設(shè)未知數(shù)時(shí)，通常設(shè)公共的直角邊或所求的邊為x。利用三角函數(shù)定義（特別是正切函數(shù)，因?yàn)樗婕皩?duì)邊和鄰邊，與水平距離和垂直高度直接相關(guān)）列出等量關(guān)系是解題的核心步驟。計(jì)算過(guò)程中要注意分母有理化等運(yùn)算技巧。三、解題后的思考與提升通過(guò)以上幾道例題的分析，我們可以看出，解決三角函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵在于：1.深刻理解定義：這是所有解法的源頭。2.準(zhǔn)確記憶特殊角的三角函數(shù)值：這能大大提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性。3.善于構(gòu)造直角三角形：許多實(shí)際問(wèn)題需要我們通過(guò)作輔助線（如作高）來(lái)構(gòu)造直角三角形。4.靈活運(yùn)用方程思想：當(dāng)直接求解困難時(shí)，設(shè)未知數(shù)并根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系列方程