小學奧數(shù)策略問題專項訓練講義引言：為何要學習策略問題？在小學數(shù)學的學習旅程中，我們不僅要掌握基礎(chǔ)的計算技巧和概念，更要培養(yǎng)一種“聰明地思考”的能力。策略問題，正是這類能力的集中體現(xiàn)。它不像一些基礎(chǔ)題型那樣有固定的公式可以直接套用，而是需要我們仔細分析題目條件，靈活運用各種思維方法，通過觀察、嘗試、推理和優(yōu)化，才能找到解決問題的最佳路徑或方案。這類問題往往與生活實際緊密相連，比如如何最省時間、如何合理分配資源、如何找到最優(yōu)路徑等。學習策略問題，不僅能鍛煉我們的邏輯思維、逆向思維、整體思維和創(chuàng)新思維，更能培養(yǎng)我們面對復(fù)雜問題時的耐心、條理性和解決實際問題的能力。因此，它是小學奧數(shù)中極具魅力和挑戰(zhàn)性的一部分。本講義將帶你走進策略問題的世界，通過對一些經(jīng)典問題的剖析和練習，幫助你掌握常見的策略思想與方法，提升你的“策略素養(yǎng)”。一、核心策略方法梳理解決策略問題，關(guān)鍵在于“策略”二字。以下是幾種小學階段奧數(shù)中常用的核心策略方法：1.枚舉法與篩選*適用場景：當問題的可能答案數(shù)量有限，且不太多時，可以考慮將所有可能的情況一一列舉出來，然后根據(jù)題目要求進行篩選，找出符合條件的答案。*思考要點：枚舉時要注意順序，確保不重復(fù)、不遺漏。在枚舉的過程中，若能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可適時優(yōu)化，減少枚舉的工作量。2.倒推法（逆向思維）*適用場景：當問題的初始狀態(tài)不明確，而最終狀態(tài)或某個中間狀態(tài)已知時，我們可以從結(jié)果出發(fā)，一步一步往前倒推，直至找到初始條件或解決問題的關(guān)鍵步驟。*思考要點：明確逆過程的規(guī)則，即原來的操作是“加”，逆過程就是“減”；原來的操作是“乘”，逆過程就是“除”等。對于一些操作復(fù)雜的問題，可畫圖或列表輔助倒推。3.對稱思想與極端化策略*對稱思想：如果問題中存在某種對稱性（如數(shù)量對稱、位置對稱、操作對稱等），可以利用這種對稱性簡化問題，或者從對稱的角度尋找解題突破口。*極端化策略：對于一些求“最多”、“最少”、“至少”、“至多”等最值問題，或者存在多種可能性的問題，可以考慮從極端情況入手分析。極端情況往往能暴露問題的本質(zhì)或邊界條件，幫助我們找到規(guī)律或答案。4.整體把握與排除法*整體把握：有些問題不必過于糾結(jié)于局部的細節(jié)，而是要從整體上分析數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律，往往能化繁為簡。*排除法：當直接找出正確答案有困難時，可以先排除那些明顯不符合條件的選項或情況，逐步縮小范圍，最終找到正確答案。5.逐步調(diào)整與優(yōu)化*適用場景：在解決一些需要尋找最優(yōu)方案的問題時（如最省時間、最省材料、利潤最大等），可以先提出一個初步的方案，然后通過分析找出其中的不合理之處，逐步進行調(diào)整和改進，直至達到最優(yōu)。*思考要點：明確優(yōu)化目標，每次調(diào)整都應(yīng)使方案向更優(yōu)的方向發(fā)展。二、經(jīng)典例題精講例題1：（枚舉與篩選策略）題目：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是7，這樣的兩位數(shù)有哪些？其中最大的是多少？最小的是多少？分析與解答：題目要求找出所有十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為7的兩位數(shù)。我們可以按照十位數(shù)字從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蜻M行枚舉。十位數(shù)字可以是1-9（因為是兩位數(shù)，十位不能為0），對應(yīng)的個位數(shù)字就是7減去十位數(shù)字。若十位數(shù)字為7，則個位數(shù)字為0，這個數(shù)是70。若十位數(shù)字為6，則個位數(shù)字為1，這個數(shù)是61。若十位數(shù)字為5，則個位數(shù)字為2，這個數(shù)是52。若十位數(shù)字為4，則個位數(shù)字為3，這個數(shù)是43。若十位數(shù)字為3，則個位數(shù)字為4，這個數(shù)是34。若十位數(shù)字為2，則個位數(shù)字為5，這個數(shù)是25。若十位數(shù)字為1，則個位數(shù)字為6，這個數(shù)是16。十位數(shù)字不能為0，也不能大于7（否則個位數(shù)字將為負數(shù)）。所以，這樣的兩位數(shù)有：70、61、52、43、34、25、16。其中最大的是70，最小的是16。點評：這道題比較基礎(chǔ)，通過有序枚舉可以不重不漏地找出所有符合條件的數(shù)。枚舉法是策略問題中最基礎(chǔ)也最常用的方法之一。例題2：（倒推策略）題目：一個數(shù)加上5，乘以5，減去5，再除以5，結(jié)果還是5。這個數(shù)是多少？分析與解答：這道題如果順著想，不容易直接列出算式。我們可以從結(jié)果“5”出發(fā)，倒著往前推。題目描述的過程是：一個數(shù)→+5→×5→-5→÷5→5。倒推時，運算符號要相反：最后一步是“÷5”得到5，那么在“÷5”之前的數(shù)字是：5×5=25。倒數(shù)第二步是“-5”得到25，那么在“-5”之前的數(shù)字是：25+5=30。倒數(shù)第三步是“×5”得到30，那么在“×5”之前的數(shù)字是：30÷5=6。第一步是“+5”得到6，那么原來的這個數(shù)是：6-5=1。我們可以檢驗一下：(1+5)×5-5÷5=(6×5-5)÷5=(30-5)÷5=25÷5=5。正確。所以，這個數(shù)是1。點評：倒推法在解決這類“還原問題”時非常有效。關(guān)鍵在于準確把握每一步的逆運算。例題3：（對稱思想與極端化策略）題目：甲、乙兩人輪流報數(shù)，每次只能報1或2，把兩人報的所有數(shù)加起來，誰報數(shù)后和是10，誰就獲勝。如果甲先報，甲怎樣報數(shù)才能確保獲勝？分析與解答：這是一個經(jīng)典的對策論問題。我們可以從最終目標“和是10”開始思考，采用倒推和極端化的思想。要想報到和為10，那么對方最后一次報數(shù)后，和應(yīng)該是多少呢？因為每次只能報1或2，所以如果對方報1，我就報2；對方報2，我就報1。這樣我就能控制每一輪兩人報數(shù)之和為3。所以，要使和達到10，我需要在倒數(shù)第二輪使和達到10-3=7。同樣，要達到7，需要在前一輪使和達到7-3=4。要達到4，需要在更前一輪使和達到4-3=1。所以，甲先報1，此時和為1。接下來，無論乙報1還是2，甲都報與乙所報數(shù)字之和為3的數(shù)（乙報1甲報2，乙報2甲報1）。這樣每一輪下來，和都會增加3。經(jīng)過三輪（甲先報1，然后乙甲各報兩輪），和就是1+3×3=10。甲就能獲勝。驗證：甲報1，和=1。乙若報1，甲報2，和=1+1+2=4。乙若再報1，甲報2，和=4+1+2=7。乙若再報1，甲報2，和=7+1+2=10。甲勝。乙若在中間報2，甲就報1，同樣能控制和依次達到4、7、10。所以，甲先報1，然后每次報數(shù)與乙湊成3，即可確保獲勝。點評：通過分析兩人每次報數(shù)的可能情況，找到一個固定的“周期和”（本題中是3），并從最終目標倒推，確定首次應(yīng)該報的數(shù)，這是解決此類問題的關(guān)鍵。例題4：（整體把握與排除法）題目：學校食堂有三種葷菜，四種素菜。小明想選一種葷菜和一種素菜，他有多少種不同的選法？分析與解答：這個問題我們可以從整體上把握。假設(shè)三種葷菜分別是A、B、C，四種素菜分別是1、2、3、4。選葷菜A時，素菜可以搭配1、2、3、4，共4種選法。選葷菜B時，同樣可以搭配1、2、3、4，共4種選法。選葷菜C時，也是4種選法。所以，總的選法就是3個4種，即3×4=12種。這里我們整體考慮了每種葷菜對應(yīng)的素菜選擇數(shù)，然后求和（或用乘法原理）。如果一一枚舉也能得到答案，但當數(shù)量較多時，整體把握會更高效。點評：乘法原理是解決這類組合問題的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了整體把握的思想。三、解題步驟與技巧總結(jié)面對策略問題，我們可以嘗試遵循以下步驟：1.仔細審題，明確目標：讀懂題目，理解題意，清楚問題的條件是什么，要達到的目標是什么（比如求最大值、最小值、獲勝方法、不同方案數(shù)等）。2.分析條件，尋找突破口：思考題目中哪些條件是關(guān)鍵，是否存在隱藏信息。可以嘗試從簡單情況入手，或從目標出發(fā)倒推。3.選擇策略，嘗試解決：根據(jù)問題的特點，選擇合適的策略（如枚舉、倒推、極端化、對稱等），動手嘗試解決。如果一種策略不行，及時調(diào)整思路，換用其他策略。4.驗證結(jié)果，反思優(yōu)化：得到初步結(jié)果后，要進行檢驗，看是否符合題意。同時，思考是否有更簡潔、更優(yōu)的方法，或者這個結(jié)果是否是唯一的。重要技巧：*畫圖輔助：線段圖、示意圖、表格等都是幫助理解和分析問題的好工具。*動手操作與模擬：對于一些過程性的策略問題（如報數(shù)、取棋子），可以親自模擬一下過程，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。*多角度思考：不要局限于一種思路，嘗試從不同角度分析問題，往往能找到更好的方法。*歸納與總結(jié)：解決完一個問題后，思考這個問題屬于哪一類，用到了什么策略，有什么值得借鑒的地方，做到舉一反三。四、鞏固練習1.基礎(chǔ)練習：*一個數(shù)減去3，乘以4，除以5，再加上6，結(jié)果是10。這個數(shù)是多少？（倒推法）*用1、2、3三個數(shù)字可以組成多少個不同的三位數(shù)（每個數(shù)字只能用一次）？其中最大的是多少？最小的是多少？（枚舉法）*口袋里有大小相同的紅、黃、藍三種顏色的球各一個，從中任意摸出兩個，有多少種不同的顏色組合？（枚舉法/整體把握）2.提高練習：*有10顆糖，甲、乙兩人輪流拿，每次只能拿1顆或2顆，誰拿到最后一顆糖誰就獲勝。如果甲先拿，甲怎樣拿才能確保獲勝？（極端化與對稱思想）*一個長方形的周長是20厘米，長和寬都是整厘米數(shù)，這個長方形的面積最大是多少平方厘米？（極端化策略/枚舉與篩選）*小明、小紅、小剛?cè)苏境梢慌耪障啵卸嗌俜N不同的站法？（枚舉法/乘法原理）五、總結(jié)與展望策略問題千變?nèi)f化，但核心在于“靈活”與“智慧”。它不僅僅是數(shù)學知識的應(yīng)用，更是思維能力的較量。通過本講義的學習，希望同學們能夠掌握一些基本的策略思想和方