2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題06解三角形一、單選題1．（2025·全國二卷·高考真題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接計算求解即可.【詳解】由題意得，又，所以.故選：A二、多選題2．（2025·全國一卷·高考真題）已知的面積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對由二倍角公式先可推知A選項正確，方法一分情況比較和的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利用和差化積公式，回避討論過程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項正確；由誘導(dǎo)公式，，展開可得，即，下證.方法一：分類討論若，則可知等式成立；若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導(dǎo)出，則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：邊角轉(zhuǎn)化時，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負(fù)會有兩個鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，則，可同方法一種討論的角度，推出，方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：，可知同時為或者異號，即，展開可得，，即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.由，由，則，即，則，同理，由上述推導(dǎo)，，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.故選：ABC三、解答題3．（2025·天津·高考真題）在中，角的對邊分別為．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【詳解】（1）已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.4．（2025·北京·高考真題）在中，．(1)求c的值；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．【答案】(1)6(2)答案見解析【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面積法求得高；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理有，解得；（2）如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因為，所以，因為，這表明此時三角形有兩個鈍角，而這是不可能的，所以此時三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由有，由正弦定理得,所以，所以由余弦定理得,此時三角形是存在的，且唯一確定，所以,即，所以邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進(jìn)一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.一、單選題1．（2025·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再由正弦定理計算可得.【詳解】因為，，所以，由正弦定理，可得.故選：B2．（2025·山東棗莊·二模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求解.【詳解】由及，得，由余弦定理，得，因為，所以.故選：C3．（2025·河北秦皇島·三模）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用正弦定理將角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再通過余弦定理建立關(guān)于的等式，從而求解的值.【詳解】因為，所以.根據(jù)正弦定理可得，所以.因為，所以根據(jù)余弦定理，可得：，化簡可得，所以.因為為的邊，，所以.故選：D.4．（2025·河南鶴壁·二模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理可得，利用三角恒等變換可求得，可求.【詳解】根據(jù)正弦定理，原等式可化為，進(jìn)一步化為，則，所以，又，所以，所以，又因為，.故選：B.5．（2025·江西景德鎮(zhèn)·三模）如圖，圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，太陽光與圭面成角也就是太陽高度角．圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，投影點為冬至線．日影長度最短的那一天定為夏至，投影點為夏至線．已知景德鎮(zhèn)冬至正午太陽高度角為，夏至正午太陽高度角為，表高42厘米，圭面上冬至線與夏至線之間的距離為50厘米，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可求的值.【詳解】如圖，，，∴．又，∴，根據(jù)勾股定理．在中，根據(jù)正弦定理可知，即，解得，故選：C．6．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由余弦的和差角公式代入計算，可得，然后結(jié)合正弦定理代入計算，即可得到外接圓的半徑，從而得到結(jié)果.【詳解】由，得，所以．又因為，結(jié)合正弦定理（其中為的外接圓的半徑），所以，解得，則的外接圓的面積為．故選：B7．（2025·湖南邵陽·三模）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，且，則此的面積為（

）A．176 B．88 C．44 D．22【答案】B【分析】根據(jù)已知及正弦定理得、、，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及和角正弦公式得，根據(jù)正弦定理得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.【詳解】由，則，易知為銳角，由正弦定理知，而，即，故，所以，故，由，由正弦定理知，可得，故.故選：B8．（2025·安徽蚌埠·三模）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，用3個全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得是等邊三角形，設(shè)，利用正弦定理可求得，進(jìn)而利用余弦定理可求得的值.【詳解】由知，所以為正三角形，∵，設(shè)，則由正弦定理：，即，則在中，即，則，即．故選：A.9．（2025·浙江·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和與誘導(dǎo)公式將已知條件轉(zhuǎn)化為邊角的三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦定理由邊化角，使用二倍角公式進(jìn)行恒等變換以及利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出的三角函數(shù)值，再利用正弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系根據(jù)的范圍求出結(jié)果.【詳解】由得，即，即，又，故，故，因為，所以，故，得，，因為，因為，，所以，故，所以，所以，故選D．10．（2025·河北保定·一模）記的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上的中線長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理、三角恒等變換等知識化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理、向量運算、基本不等式等知識來求得正確答案.【詳解】由，得，所以，即，則由正弦定理得，因為，所以，所以，即，又，所以，因為，所以由余弦定理得，即.由題可得，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，則，所以邊上的中線長度的最小值為.故選：C.二、多選題11．（2025·貴州黔東南·三模）在銳角中，角所對的邊分別為，已知的角平分線交于點D，，則（

）A．B．若，則C．面積的最大值為D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換計算可判斷A，B，應(yīng)用余弦定理和三角形面積公式計算結(jié)合基本不等式計算可判斷C，應(yīng)用余弦定理結(jié)合面積公式計算可判斷D.【詳解】已知，則且，所以，所以由正弦定理得，所以且，所以，A選項錯誤；若，則，則，B選項正確；由余弦定理得，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最大值為，C選項正確；若，由余弦定理得，所以，又因為的角平分線交于點D，所以，所以，所以，則，D選項正確.故選：BCD.12．（2025·江蘇·三模）定義：一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在中，邊上的高等于，以的各邊為直徑向外分別作三個半圓，記三個半圓圍成的平面區(qū)域為，其“直徑”為，則（）A． B．面積的最大值為C．當(dāng)時， D．的最大值為【答案】ABD【分析】由三角形等面積法及余弦定理可判斷A，再由基本不等式得出范圍即可得出面積最大值判斷B，再由題目條件得出三角形為等腰直角三角形，即可求出最大值判斷C，由C中結(jié)論及基本不等式判斷D.【詳解】設(shè)角所對的邊長為由三角形的面積公式可得，所以，由余弦定理，可得，所以，故A正確；由，又，所以，所以，所以，且僅當(dāng)時取等，B正確；設(shè)邊上的中點分別為，在上取一點M，在上取一點，由兩點間線段最短可得，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時取等，所以，又，所以，解得，所以，，所以，故C錯誤；由前可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故D正確.故選：ABD13．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（

）A． B．的取值范圍為C．面積的最大值為 D．周長的最大值為【答案】AB【分析】對A，將條件利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得角；對B，利用向量，運算結(jié)合基本不等式求解；對C，由B選項結(jié)合三角形面積公式求解；對D，由題可得，令，由，得，解得，所以三角形周長，利用導(dǎo)數(shù)求解判斷.【詳解】對于A，由，所以,所以，由正弦定理可得，因為，,可得，化簡得，又，.故A正確；對于B，設(shè)，，，根據(jù)題意，，，，化簡得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，，，，即，故B正確；

對于C，由B，可得，故C錯誤；對于D，由前面選項，可得，且，，，即，令，由，得，解得，所以三角形周長，則，令，解得，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題14．（2025·上海黃浦·三模）三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A、B、C三點，且A、B、C在同一水平面上的投影、、滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A、C兩點到水平面的高度差約為．（精確到1）【答案】373【分析】過C作，過B作，進(jìn)而，易知，在中，求得，進(jìn)而，在中，用正弦定理即可求得的長，進(jìn)而可知的長.【詳解】如圖，過C作，過B作，故，由題易知為等腰直角三角形，所以．所以.因為，所以.在中，由正弦定理得，，而，所以，所以.故答案為：373.15．（2025·寧夏銀川·三模）在△ABC中，，，點D，E是BC邊上的兩點，點D在B，E之間，，則的值為.【答案】/0.6【分析】根據(jù)，再運用三角形面積公式可求的值.【詳解】，即，所以，故答案為：.16．（2025·浙江紹興·三模）已知平行四邊形ABCD滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)四邊形為平行四邊形結(jié)合余弦定理計算，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【詳解】因為平行四邊形ABCD滿足，又因為，所以，所以，所以，則．故答案為：.17．（2025·山東·三模）在圓內(nèi)接四邊形中，，，則；若，剛的面積的最大值為．【答案】.【分析】空1利用正弦定理在中建立邊與角的關(guān)系，通過已知條件求解角的大小.空2根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，，將的面積表示出來，再結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】在中，已知，設(shè)，則.由正弦定理（這里a，b，c為三角形的三邊，A，B，C為三角形的三個內(nèi)角），在中有.設(shè)，則，即.再根據(jù)正弦定理，，.所以，將代入可得：，化簡得.即，展開.則，即.移項可得，所以.因為，所以，即.因為四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以.設(shè)，，則，且.由，，若設(shè)，則，.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和正弦定理，.已知.的面積.由余弦定理在和中：在中，.在中，.又因為，.由，可得.根據(jù)正弦定理，設(shè)，，則.因為，，所以.由正弦定理，可得.，利用余弦定理，，，即.根據(jù)基本不等式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，因為，所以.故答案為：；.四、解答題18．（2025·湖北黃石·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求的大小.(2)如圖所示，為△ABC外一點，，，，求角D．【答案】(1)(2).【分析】（1）首先由正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換化簡等式，即可求解；（2）根據(jù)幾何關(guān)系，在和中，根據(jù)正弦定理表示，利用等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1），在△ABC中，由正弦定理得，，由三角形內(nèi)角和為可得，，即，，，，即，又，，即,.（2）設(shè)，令，，在中，由正弦定理得，，，.在中，由正弦定理得，，，，，，解得.19．（2025·北京大興·三模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，角的角平分線交于點，且．(1)求；(2)若，且的面積為，角的角平分線為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)二倍角公式化簡可得解；（2）根據(jù)三角形面積可得，再根據(jù)等面積法可得角分線長度.【詳解】（1）由已知，又由正弦定理可得，又，所以，則，又，即，又，，即，則，所以，；（2）由已知，所以，因為為角的角分線，故，所以，即，解得.20．（2025·北京海淀·三模）在中，已知．(1)求；(2)若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)所選條件見解析，.【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、和角正弦公式并整理得，進(jìn)而求角的大??；法二：由余弦邊角關(guān)系及已知得，再由余弦定理求角的大?。唬?）根據(jù)所選條件，綜合運用正余弦定理、三角形面積公式求邊上中線的長．【詳解】（1）法一：由正弦定理及，得，因為，所以，整理得．因為，所以，所以，又，所以．法二：由余弦定理，，代入得：．整理得：，所以，又，所以．（2）選條件①：取的中點，連接，由正弦定理及，得，因為，所以，，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即邊上中線的長為．選條件③：取的中點，連接，由正弦定理及，得，因為的面積為，所以，即，又，所以，，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即邊上中線的長為．選條件②：由，知，在中，由余弦定理知，，若，則，該等式恒成立，即不唯一，不符合題意．21．（2025·江蘇南通·三模）在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，面積為，滿足．(1)求證：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三角形的面積公式、余弦定理、正弦定理以及兩角和、差的正弦公式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出，根據(jù)為銳角三角形求出角的取值范圍，即可得出的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍．【詳解】（1）由得，即，由余弦定理得：，即，化簡得：，由正弦定理有：，即，化簡得：，因為，，所以，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即.（2）由正弦定理得，因為為銳角三角形，則，解得，則，令，則目標(biāo)式為，其中，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因為，，故，故當(dāng)時，.因此，的取值范圍是.22．（2025·湖北黃岡·三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，若，且.(1)若，求；(2)求△ABC面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式計算求解；（2）應(yīng)用已知條件化簡再結(jié)合面積公式及基本不等式計算求解.【詳解】（1）若，則，所以，所以，即，因為，所以.則，解得；（2），

有，故

有，即，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以面積的最大值為.23．（2025·湖南長沙·三模）記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知的面積為．(1)求．(2)若為BC上一點，滿足，且為鈍角，求的面積．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由三角形的面積公式及題意可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；（2）由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得，再求出的值，在中，由正弦定理可得的值，于是可得，根據(jù)角度關(guān)系可得，進(jìn)而可得的值，再求出的面積即可．【詳解】（1）由題知，所以，由正弦定理得，所以，因為，所以．（2）中，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，所以，因為為銳角，所以，中，由正弦定理得，所以，所以，即，因為，所以，則，所以，，所以的面積為．24．（2025·河北張家口·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若的外接圓面積為，且，，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的性質(zhì)及同角三角函數(shù)基本關(guān)系將條件化為，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得解；（2）由正弦定理可得，由余弦定理及得，利用及向量的線性運算得，結(jié)合數(shù)量積的運算律，利用向量模的運算公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以