2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08概率與統(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2025·全國二卷·高考真題）樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（

）A．8 B．9 C．12 D．182．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．03．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，，則C．越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．越接近0，相關(guān)性越弱二、填空題4．（2025·上海·高考真題）已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望．5．（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．6．（2025·上海·高考真題）在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．7．（2025·上?！じ呖颊骖}）4個(gè)家長和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長，則不同的排列個(gè)數(shù)有種．8．（2025·北京·高考真題）已知，則；．9．（2025·天津·高考真題）小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望10．（2025·全國一卷·高考真題）一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號(hào)，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望.三、解答題11．（2025·全國一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.82812．（2025·上?！じ呖颊骖}）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；(2)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；(3)若比賽成績y關(guān)于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績（精確到0.01秒）．13．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.14．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)，記為打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)m，．一、單選題1．（2025·福建莆田·三模）小明所在的學(xué)校每周都要進(jìn)行數(shù)學(xué)周測(cè)，他將近8周的周測(cè)成績統(tǒng)計(jì)如下：112，101，93，99，106，105，114，119，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（

）A．99 B．100 C．101 D．1132．（2025·安徽蚌埠·三模）醫(yī)療研究者會(huì)創(chuàng)建散點(diǎn)圖來顯示少女的體重指數(shù)（BMI）和身體脂肪百分比之間的相關(guān)關(guān)系，如圖，下列說法正確的是（

）A．BMI越大，脂肪百分比越大B．BMI越大，脂肪百分比越小C．BMI與脂肪百分比正相關(guān)D．BMI與脂肪百分比負(fù)相關(guān)3．（2025·湖南長沙·三模）二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．252 B．-252 C．210 D．-2104．（2025·廣東深圳·二模）下列各組數(shù)據(jù)中方差最大的一組是（

）A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，85．（2025·廣東茂名·二模）隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．3 D．46．（2025·天津·二模）某地組織全體中學(xué)生參加了主題為“強(qiáng)國之路”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了2000名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有750人B．直方圖中的值為0.020C．估計(jì)全校學(xué)生成績的中位數(shù)為87D．估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為907．（2025·浙江·二模）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B．120 C．240 D．3608．（2025·湖南·三模）若甲?乙?丙?丁?戊隨機(jī)站成一排，則甲?乙不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．9．（2025·北京昌平·二模）若，則（

）．A． B．0 C．1 D．210．（2025·廣西河池·二模）一家銀行有VIP客戶和普通客戶，VIP客戶占客戶總數(shù)的，普通客戶占客戶總數(shù)的.已知VIP客戶的信用卡欺詐概率為，而普通客戶的信用卡欺詐概率為.現(xiàn)在隨機(jī)抽取一個(gè)發(fā)生信用卡欺詐的客戶，請(qǐng)問這個(gè)客戶是VIP客戶的概率是（

）A． B． C． D．11．（2025·山東·三模）某班成立了A、B兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測(cè)試，在該測(cè)試中，A組平均成績?yōu)?30分，方差115，B組平均成績?yōu)?10分，方差為215，則在這次測(cè)試中，全班學(xué)生的平均成績和方差為（

）A．115分，105 B．115分，265C．120分，105 D．120分，26512．（2025·湖南長沙·三模）已知某個(gè)群體中對(duì)某活動(dòng)持滿意態(tài)度的人數(shù)比例為，從該群體中隨機(jī)抽取10人，設(shè)這10人中持滿意態(tài)度的人數(shù)為，隨機(jī)變量，則（）A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.813．（2025·湖北武漢·三模）現(xiàn)有一雙運(yùn)動(dòng)鞋和一雙涼鞋，從這四只鞋中隨機(jī)取出2只，記事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋都是同一只腳”.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．14．（2025·安徽蚌埠·三模）空間中三個(gè)點(diǎn)、、滿足，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，使得它們與、、恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為（

）A． B． C． D．15．（2025·廣東廣州·三模）一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8，將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件A：，事件B：，事件C：，則（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C兩兩獨(dú)立16．（2025·重慶九龍坡·三模）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．75 C．78 D．9017．（2025·山東棗莊·二模）子貢曰：“夫子溫?良?恭?儉?讓以得之”，“溫?良?恭?儉?讓”指五種品德：溫和?善良?恭敬?節(jié)儉?謙讓.現(xiàn)有分別印有這5個(gè)字的卡片（顏色均不同）各2張，同學(xué)甲從中抽取4張卡片分給另外4位同學(xué)，每人一張卡片，恰有2位同學(xué)分到的卡片是相同字的分配方案有（

）A．120種 B．210種 C．1440種 D．2880種18．（2025·四川巴中·二模）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃∏驈纳戏降耐ǖ揽诼湎潞?，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過程中向左?向右落下的機(jī)會(huì)均等，且小球需要經(jīng)過5次碰撞后落入球槽，求小球最終落入從左往右數(shù)第5號(hào)球槽的概率為（

）A． B． C． D．19．（2025·浙江·三模）若數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于處，每次運(yùn)動(dòng)它都等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知它在第10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處，則它在運(yùn)動(dòng)過程中沒有重返過原點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．20．（2025·黑龍江大慶·三模）某商店店慶，每個(gè)在店內(nèi)消費(fèi)到一定額度的顧客都可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).組織方準(zhǔn)備了個(gè)盲盒，其中有個(gè)盲盒內(nèi)有獎(jiǎng)品.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)邚倪@個(gè)盲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)盲盒，兌獎(jiǎng)后組織方會(huì)再補(bǔ)回一個(gè)相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎(jiǎng)?wù)叱楠?jiǎng).抽獎(jiǎng)?wù)呒紫饶闷鹆艘粋€(gè)盲盒，在猶豫是否打開時(shí)，組織方拿走了一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的盲盒，最終甲選擇了另外一個(gè)盲盒打開，記甲中獎(jiǎng)的概率為.抽獎(jiǎng)?wù)咭以谶x盲盒時(shí)不小心碰掉了一個(gè)盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒有獎(jiǎng)品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個(gè)盲盒打開，記乙中獎(jiǎng)的概率為，則（

）A． B． C． D．無法確定與的大小關(guān)系21．（2025·浙江嘉興·三模）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題22．（2025·重慶·三模）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)(甲同學(xué))和(乙同學(xué))的概率分布圖分別是如圖的甲、乙:通過計(jì)算則下列說法正確的是（

）A．甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)B．乙同學(xué)擊中8環(huán)的概率高于甲同學(xué)C．甲同學(xué)擊中10環(huán)的概率高于乙同學(xué)D．乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定23．（2025·廣東廣州·三模）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則（）A．這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100B．這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定為2C．?dāng)?shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為3sD．現(xiàn)構(gòu)造新的樣本數(shù)據(jù)，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差24．（2025·山東·二模）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A． B．C． D．25．（2025·重慶·三模）若隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，且，則（

）A．B．C．D．26．（2025·湖北武漢·三模）為保護(hù)學(xué)生視力、促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生中按男、女生比例，采用分層隨機(jī)抽樣的方法選取了100名學(xué)生（其中男生60人，女生40人），調(diào)查他們每日使用手機(jī)的時(shí)間.若每日使用手機(jī)時(shí)間超過40分鐘，則認(rèn)為該生手機(jī)成癮.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如圖所示的等高堆積條形圖，用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，下列說法正確的有（

）

A．該校男生和女生人數(shù)之比為B．如果從男生和女生各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么男生手機(jī)成癮的概率小于女生手機(jī)成癮的概率C．從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，則該生手機(jī)成癮的概率為D．從該校學(xué)生中抽到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，則該生是男生的概率為27．（2025·甘肅白銀·三模）定義：對(duì)一個(gè)三位數(shù)來說，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都小，則稱它為“三位凹數(shù)”，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱其為“三位凸數(shù)”，現(xiàn)從1至9共9個(gè)數(shù)中，選取3個(gè)不同的數(shù)排成三位數(shù)，則（

）A．排成的“三位凹數(shù)”共有168個(gè)B．排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等C．從所有的中隨機(jī)抽取一個(gè)三位數(shù)，該三位數(shù)是“三位凸數(shù)”的概率為D．從所有的中隨機(jī)抽取兩個(gè)三位數(shù)，至少有一個(gè)是“三位凹數(shù)”的概率為28．（2025·安徽蚌埠·三模）己知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．是增函數(shù)29．（2025·湖北黃岡·三模）在本場(chǎng)考試中，多選題可能有2個(gè)或3個(gè)正確的選項(xiàng).全部選對(duì)得6分，若有3個(gè)正確的選項(xiàng)則每選對(duì)一個(gè)得2分；若有2個(gè)正確的選項(xiàng)則每選對(duì)一個(gè)得3分；有選錯(cuò)或未選的得0分.若因完全不會(huì)做某道題目而必須隨機(jī)選擇項(xiàng)選項(xiàng).設(shè)該題恰有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，得分設(shè)為隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)選擇一項(xiàng)，則為定值B．若，則隨機(jī)選擇兩項(xiàng)比選擇一項(xiàng)更優(yōu)C．存在使隨機(jī)選擇三項(xiàng)的得分期望大于隨機(jī)選擇一項(xiàng)的得分期望D．存在使隨機(jī)選擇三項(xiàng)的得分期望大于隨機(jī)選擇兩項(xiàng)的得分期望30．（2025·廣東·二模）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為.定義隨機(jī)變量為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，的分布列如下：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量的生成函數(shù)，記為.是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則（

）A．B．若服從兩點(diǎn)分布，，則C．若，則D．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，則三、填空題31．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的、、.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為、、，現(xiàn)從這批零件中任取一個(gè)零件，則它是次品的概率為.32．（2025·山東德州·三模）已知變量與線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)求得的回歸直線方程為，若點(diǎn)在回歸直線上，且，則．33．（2025·山東·三模）甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2樣，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．（用數(shù)字作答）34．（2025·湖南岳陽·三模）的展開式中的系數(shù)為．35．（2025·江西·二模）甲?乙兩名乒乓球選手進(jìn)行比賽，根據(jù)賽前兩位選手勝負(fù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得在一局比賽中甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率為，且各局比賽之間互不影響，若采用“五局三勝制”，則甲最終獲勝的概率為.36．（2025·湖南邵陽·三模）若隨機(jī)變量，則當(dāng)取得最大值時(shí)，正整數(shù)的值是．37．（2025·上?！と＃┍倍菲咝鞘且箍罩械钠哳w亮星，它們組成的圖形象我國古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)，，，，，，表示某季節(jié)的北斗七星，其中，，，看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線.若過這七個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)作三角形，則所作的不同三角形的個(gè)數(shù)為.38．（2025·上海黃浦·三模）若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為39．（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為5，則的平均數(shù)為．40．（2025·河北保定·三模）甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)1，2，3，4，5，6的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于10或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，則甲抽了3張卡片時(shí)，游戲恰好結(jié)束的概率為.41．（2025·廣東廣州·三模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的情況有種（用數(shù)字作答）．42．（2025·湖南長沙·三模）設(shè)是給定的正整數(shù)，現(xiàn)有個(gè)外表相同的袋子，里面均裝有個(gè)除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個(gè)袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)球取出后不放回）．則第三次取出白球的概率為．43．（2025·江西·三模）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)連續(xù)三次正面朝上的情況，則停止投擲，那么投擲總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為44．（2025·河南許昌·三模）某商場(chǎng)進(jìn)行周年慶大型促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，活動(dòng)期間在商場(chǎng)消費(fèi)達(dá)到一定金額的人可以參加游戲．游戲規(guī)則如下：在一個(gè)盒子里放著6個(gè)大小相同的小正方體，其中有3個(gè)類小正方體，4個(gè)面印著奇數(shù)，2個(gè)面印著偶數(shù)；有2個(gè)類小正方體，6個(gè)面都印著奇數(shù)；1個(gè)類小正方體，6個(gè)面都印著偶數(shù)．游戲者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一個(gè)小正方體并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是奇數(shù)，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，否則游戲結(jié)束，不獲得任何禮券．最終挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)是進(jìn)行第三次投擲，第三次投擲不使用之前抽取的小正方體，從盒子中剩余的5個(gè)小正方體里再次隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行投鄭，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得300元禮券，若投擲后向上的面為偶數(shù)，則獲得100元禮券．則第一次投擲后向上的面為奇數(shù)的概率為；在某位顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，他最終獲得的禮券金額的數(shù)學(xué)期望為．四、解答題45．（2025·湖南郴州·三模）某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí).(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以推斷學(xué)生短跑成績合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān)？單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績合計(jì)短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)合計(jì)(2)正確的跑步姿勢(shì)和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對(duì)短跑成績不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，求學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績合格的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.82846．（2025·山東煙臺(tái)·三模）近年來，新能源汽車因其動(dòng)力充沛、提速快、用車成本低等特點(diǎn)得到民眾的追捧．某機(jī)構(gòu)為研究汽油價(jià)格x（單位：元/升）與新能源汽車的月銷售量y（單位：萬輛）之間的關(guān)系，收集整理得到如下數(shù)據(jù)：x66.577.58y1.5234.56.8(1)若用模型模擬x與y之間關(guān)系，求出回歸方程；(2)根據(jù)建立的回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)汽油價(jià)格上漲至9元/升時(shí)，新能源汽車的銷量；(3)假設(shè)當(dāng)汽油價(jià)格為9元/升時(shí)，實(shí)際銷量超過預(yù)測(cè)值的概率為0.6．現(xiàn)進(jìn)行5次獨(dú)立觀測(cè)，記這5次觀測(cè)中銷量超過預(yù)測(cè)值的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)和公式：．，．令，，，．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．47．（2025·江蘇蘇州·三模）現(xiàn)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布．(1)若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2，且兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立．設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，求的分布列；(2)若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm，則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm，則每件虧損8元；其余尺寸的零件，則每件獲利20元．已知每天每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺(tái)臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤更大．參考數(shù)據(jù)：若，則．0.720.260.0248．（2025·湖北武漢·三模）小華、小明、小紅三人為某比賽制定了如下規(guī)則：先確定挑戰(zhàn)權(quán)，挑戰(zhàn)權(quán)屬于某人時(shí)，該人可挑戰(zhàn)另外兩人.經(jīng)商定，小華首先獲得挑戰(zhàn)權(quán)，他挑戰(zhàn)小明、小紅的概率均為.若他挑戰(zhàn)小明，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小明，且小明再挑戰(zhàn)小華、小紅的概率分別為；若他挑戰(zhàn)小紅，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小紅，且小紅再挑戰(zhàn)小華、小明的概率分別為.(1)經(jīng)過3次挑戰(zhàn)后，小華已使用的挑戰(zhàn)權(quán)次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)屬于小華、小明、小紅分別記為事件.（?。┳C明：；（ⅱ）求事件發(fā)生的概率.49．（2025·重慶·三模）甲、乙兩位同學(xué)一起玩數(shù)軸游戲，規(guī)則如下:游戲開始時(shí)，兩人各自的棋子均在數(shù)軸零點(diǎn)處，兩人輪流拋一枚骰子(兩人都拋完一次骰子，則稱這輪結(jié)束)，若得到的點(diǎn)數(shù)為1或2，則該同學(xué)的棋子沿正方向移動(dòng)兩個(gè)單位長度;若得到的點(diǎn)數(shù)為3或4，棋子就沿正方向移動(dòng)一個(gè)單位長度;若得到的點(diǎn)數(shù)為5或6，棋子保持不動(dòng).(1)若3輪結(jié)束后，求甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字3處的概率；(2)若甲同學(xué)的棋子向正方向每次移動(dòng)一個(gè)單位長度得5分，每次移動(dòng)兩個(gè)單位長度得10分，不動(dòng)則不得分，當(dāng)他完成3輪游戲后，記得分為求的數(shù)學(xué)期望;(3)經(jīng)過協(xié)商，甲先拋擲骰子，記第輪結(jié)束后，甲、乙兩人的棋子所在數(shù)字分別為和.兩人約定:在輪游戲后，對(duì)任意的均有則認(rèn)為甲獲勝.已知3輪游戲后，甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字4處，求此時(shí)甲獲勝的概率.50．（2025·湖南長沙·三模）隨著2025年春節(jié)檔電影《哪吒》與《封神榜》的播出，中學(xué)生中掀起了一股對(duì)“中國神話故事”的討論熱潮.某校興趣小組為研究本校不同性別的學(xué)生對(duì)“中國神話故事”的喜愛情況，特進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“喜歡中國神話故事”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)現(xiàn)采用分層抽樣從50名女生樣本中選出5人，再從這5人中隨機(jī)選出3人，設(shè)其中喜歡中國神話故事的學(xué)生人數(shù)為，求的概率分布列和期望;(2)將樣本的頻率視為概率.（i）求該校任意一名學(xué)生喜歡中國神話故事的概率；（ii）現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，設(shè)其中喜歡中國神話故事的學(xué)生人數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，求從全校學(xué)生中抽取的人數(shù).51．（2025·上?！と＃┠畴娕_(tái)舉辦有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)答比賽，選手答題規(guī)則相同．甲每道題自己有把握獨(dú)立答對(duì)的概率為，若甲自己沒有把握答對(duì)，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對(duì)的概率為，假設(shè)每道題答對(duì)與否互不影響．(1)當(dāng)時(shí)，（i）若甲答對(duì)了某道題，求該題是甲自己答對(duì)的概率；（ii）甲答了4道題，計(jì)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)乙答對(duì)每道題的概率為（含親友團(tuán)），現(xiàn)甲乙兩人各答兩個(gè)問題，若甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)比乙答對(duì)題目的個(gè)數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團(tuán)每道題答對(duì)的概率的最小值．52．（2025·江西·二模）某公司計(jì)劃舉辦周年慶活動(dòng)，其中設(shè)計(jì)了“做游戲贏獎(jiǎng)金”環(huán)節(jié)，從所有員工中選取10名業(yè)績突出的員工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者投擲一枚均勻的骰子，初始分?jǐn)?shù)為0，每次擲得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)得2分，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)得1分.連續(xù)投擲累計(jì)得分達(dá)到9分或10分時(shí)，游戲結(jié)束.(1)設(shè)員工在游戲過程中累計(jì)得分的概率為.①求；②求證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)得9分的員工，獲得二等獎(jiǎng)，得10分的員工，獲得一等獎(jiǎng)，若一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金的兩倍，且該公司計(jì)劃作為游戲獎(jiǎng)勵(lì)的預(yù)算資金不超過1萬元，則一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金最多不能超過多少元？（精確到1元）53．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎處理用戶問題分為“深度思考”模式，“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式和“兼用”模式（即同時(shí)使用“深度思考”和“聯(lián)網(wǎng)搜索”）三種模式，用戶可根據(jù)需求在提問時(shí)自由選擇．為了