2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題11導數(shù)及其應用一、多選題1．（2025·全國二卷·高考真題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．當時，C．當且僅當 D．是的極大值點【答案】ABD【分析】對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳解】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當時，，則，令，解得或（舍去），當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.二、填空題2．（2025·全國一卷·高考真題）若直線是曲線的切線，則.【答案】【分析】法一：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算得到關于切點與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對于，其導數(shù)為，因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導數(shù)為，假設與的切點為，則，解得.故答案為：.3．（2025·全國二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則【答案】【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當時，，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.三、解答題4．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，故，故，故，故即為，設，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點.，若，則時，，時，，故為的極小值點，無極大值點，故舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設要求；若，則時，，無極值點，舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設要求；綜上，且.5．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結論．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【分析】（1）先由題意求得，接著構造函數(shù)，利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點；再結合和時的正負情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點；（2）（i）由（1）和結合（1）中所得導函數(shù)計算得到，再結合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【詳解】（1）由題得，因為，所以，設，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當時，，則；當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點，對函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因為，時，所以時，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點.（2）（i）由（1）知，則，，，則，，，即在上單調(diào)遞減.（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對任意，所以.6．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導函數(shù)，設是曲線在點處的切線．(1)求的最大值；(2)當時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；(3)設過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標分別是，，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【詳解】（1）設，，由可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）因為，所以直線的方程為，即，設，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，而當時，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；（3）解法一：由題意，直線，直線，所以，，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由（1）可得當時，，所以，所以.解法二：由可設，又，所以，即，因為直線的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當時，，所以,所以.7．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)(1)時，求在點處的切線方程；(2)有3個零點，且.（i）求a的取值范圍；（ii）證明．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求導數(shù)值得斜率，由點斜式方程可得；（2）（i）令，分離參數(shù)得，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得范圍；（ii）由（2）結合圖象，可得范圍，整體換元，轉(zhuǎn)化為，結合由可得，兩式作差，利用對數(shù)平均不等式可得，再由得，結合減元處理，再構造函數(shù)求最值，放縮法可證明不等式.【詳解】（1）當時，，，則，則，且，則切點，且切線的斜率為，故函數(shù)在點處的切線方程為；（2）（i）令，，得，設，則，由解得或，其中，；當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減；且當時，；當時，；如圖作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)有3個零點，則方程在內(nèi)有個根，即直線與函數(shù)的圖象有個交點.結合圖象可知，.故的取值范圍為；（ii）由圖象可知，，設，則，滿足，由可得，兩式作差可得，則由對數(shù)均值不等式可得，則，故要證，即證，只需證，即證，又因為，則，所以，故只需證，設函數(shù)，則，當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減；故，即.而由，可知成立，故命題得證.8．（2025·全國一卷·高考真題）（1）設函數(shù)，求在的最大值；（2）給定，設a為實數(shù)，證明：存在，使得；（3）設，若存在使得對恒成立，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)結合三角變換得導數(shù)零點，討論導數(shù)的符號后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時的范圍，對于時，可利用（2）中的結論結合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結合特值法可得，結合（1）的結果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因為，故，故，當時，即，當時，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個與交集都為空，則對每個，必有或之一成立.此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因為，故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.當時，，當時，，此時，令，則，而，，故，當，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號成立.綜上，.法2：設.①一方面，若存在，使得對任意恒成立，則對這樣的，同樣有.所以對任意恒成立，這直接得到.設，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過，再結合，就得到均不超過.假設，則，故.但這是不可能的，因為三個角和單位圓的交點將單位圓三等分，這三個點不可能都在直線左側.所以假設不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個方面，可知的最小值是.一、單選題1．（2025·湖南長沙·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先對原函數(shù)進行求導，根據(jù)題意導數(shù)小于0，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定其最值即可求出的取值范圍.【詳解】由題意得在上恒成立，則.因為，要使得不等式恒成立，則．故選：D.2．（2025·四川·三模）已知直線是曲線的一條切線，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】求導得，設切點為，根據(jù)，求出切點坐標，再代入原函數(shù)即可.【詳解】設，，設切點為，根據(jù)切線斜率為1，則，解得，則，則切點坐標為，則，解得.故選：C.3．（2025·吉林長春·一模）已知函數(shù)的極大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助導數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性，再結合極大值為，對分類討論求出，驗證即可.【詳解】由題意，，則，令，解得或，當時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，當時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，當時，，在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，綜上所述，.故選：D.4．（2025·云南·一模）設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得不等式求解．【詳解】設，，則.令得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.因為，所以，即，所以．故選：C5．（2025·山東菏澤·一模）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對函數(shù)求導，令導數(shù)等于0，求出增減區(qū)間，進而得到或，即可求得結果.【詳解】由已知得，當時，令，得，令，解得；令，解得；故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以若在區(qū)間上單調(diào)，則需滿足或，即或，所以的取值范圍是故選：B6．（2025·廣西河池·二模）已知函數(shù)，則以下最不可能是其圖像的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】當時，，求導確定函數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷B；當時，，求導確定函數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷C；當時，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；時，求確定函數(shù)的極值點即可判斷A.【詳解】已知函數(shù)，當時，，則，令得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且則選項B是函數(shù)的部分圖像；當時，，則，令得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，且則選項C是函數(shù)的部分圖像；當時，，則在上單調(diào)遞增，且，選項D是的部分圖像，對于A選項，顯然，，令得，所以一定有極值點，故A選項不符合.故選：A.7．（2025·山西·三模）已知函數(shù)的圖象上兩點，處的切線互相垂直，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求導，由題意可得，可得，分類討論可求得.【詳解】，，，根據(jù)題意，則有，當時，顯然不成立，所以，若，，不滿足題意；若，則恒成立，解得.故選：B．8．（2025·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解析式可分析得到的一個周期為，則只需考慮在上的值域即可，利用導函數(shù)求得其最值即可.【詳解】由題的一個周期為，故只需考慮在上的值域，，當或時，，當時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此的極小值為，極大值為，又易知，所以函數(shù)在上的值域為，結合函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的值域為所以的最小值為，故選：B9．（2025·山東煙臺·三模）若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡轉(zhuǎn)化為恒成立，再構造函數(shù)，結合函數(shù)單調(diào)性求出最值解題.【詳解】因為，即，令，則恒成立，則恒成立，令，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故a的取值范圍為.故選：C.10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都是，若函數(shù)是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)的定義結合導數(shù)可得出，由已知可得出，可求出的表達式，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上為減函數(shù)，再由可得出，可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導可得，①因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，即函數(shù)在上為減函數(shù)，故當時，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得或.故選：D.11．（2025·河南南陽·三模）已知函數(shù)與存在公切線，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出兩切點，由導數(shù)的意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為方程組有解問題，消去后構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性可得最值.【詳解】設公切線與函數(shù)及函數(shù)的切點分別為，，且，，故兩切線方程為，，即，，與存在公切線，所以有解，消去后得：，令，，易得在上單調(diào)遞增，且時，；時，，故在區(qū)間上遞減，在上遞增．所以，的最小值為，即的最小值為，即實數(shù)的最小值為．故選：B．12．（2025·浙江寧波·三模）已知函數(shù)，其中，5為的極小值點.若在內(nèi)有最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對函數(shù)求導得，結合研究的區(qū)間單調(diào)性，進而確定極值點，再由區(qū)間存在最大值得，即可求范圍.【詳解】由題設，由，所以，當或時，，即在、上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，所以極小值點為，極大值點為，而，且，所以，只需，即，所以.故選：D13．（2025·湖南益陽·三模）若函數(shù)有兩個零點，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論的值，再根據(jù)導數(shù)分析的單調(diào)性，結合函數(shù)有兩個零點，即可求解范圍．【詳解】函數(shù)的定義域為.當時，令，在只有一個零點，不合題意；當時，，當時，，則在單調(diào)遞增，，所以在只有一個零點，不合題意；當時，令，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，又時，，若有兩個零點，則，設，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：C．14．（2025·遼寧大連·三模）已知，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過同構，令得到，通過確定單調(diào)性，得到，問題轉(zhuǎn)化成，在有解，進而可求解.【詳解】由題意可得：，即，令，即存在使得，構造，，由，可得，由，可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以，即存在，使得，參變分離得到，令，易得當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，最小值為，當時，，所以的值域為：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B二、多選題15．（2025·山東·三模）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A．當時，B．函數(shù)有2個零點C．函數(shù)在點處的切線方程為D．，都有【答案】ACD【分析】對于A，由奇函數(shù)性質(zhì)驗算即可；對于B，由零點定義解方程即可；對于C，只需求出即可；對于D，只需算出函數(shù)的值域即可.【詳解】對于A，當時，則，,因為是定義在R上的奇函數(shù),所以，故A對.對于B，時，令,解得，由是定義在R上的奇函數(shù)，所以時，又；故函數(shù)有3個零點，故B不對.對于C，對求導得，所以，故所求切線為，即，所以C對.對于D，當時，，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當時，，時，所以由是定義在R上的奇函數(shù)，故當時，，因此對，都有，故D對.故選：ACD.16．（2025·遼寧大連·三模）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是.則（

）A．B．若是對稱中心，則極小值是-12C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)極值，單調(diào)性，零點，與導函數(shù)之間的關系，以及函數(shù)對稱性，列出等式，分別判斷各選項的正誤.【詳解】已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在取得極大值，則，由，得，所以A正確.方程有一個根是，則，得，由函數(shù)對稱中心是，可得，代入得，化簡得，聯(lián)立，解得，則，求導得，令，解得或，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，則，所以B錯誤.已知，可得，因為在上是減函數(shù)，所以，即，解得.由，得，則，由，可得，所以，所以C正確.因為方程有3個實數(shù)根，所以設，所以，得，由得，因為，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.17．（2025·廣東廣州·三模）設定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于對稱 B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)推出對稱中心，根據(jù)逆向思維得到，代入推出的對稱軸為，進一步得到周期為4，從而周期也為4，算出時的函數(shù)值以及一個周期內(nèi)的值即可求解.【詳解】因為，則，因為，所以，用去替，所以有，所以有，令，則，則，故，用換，可得，則函數(shù)的圖象關于對稱，故A正確；由為奇函數(shù)，則過，圖象向右移動兩個單位得到過，故圖象關于對稱，；，而，所以有，則的周期.綜上，可得，，，故C正確；是由的圖象移動變化而來，故的周期也是4，因為，，所以，，所以，故B錯誤；，周期為4，，，，，故，故D正確.故選：ACD.18．（2025·四川·三模）已知是函數(shù)的極大值點，則（

）A．函數(shù)的極小值為0B．若，則C．若，則有3個相異的零點D．若（其中），則【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，求得，得到，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值（點），可判定A正確；當時，得到，結合函數(shù)的單調(diào)性，可判定B錯誤；作出函數(shù)的圖象，結合圖象，可得判定C正確；根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為證明，構造，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，因為是的極大值點，所以，解得，所以，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值點為，極小值點為0，所以A正確；對于B中，當時，，則，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以B錯誤；對于C中，由，且當時，，當時，，可得的圖象，如圖所示，當時，有3個相異零點，所以C正確；對于D中，因為，要證，只需證明，由在上單調(diào)遞增，需證明，即當時，證明，構造函數(shù)（其中），則，當時，，則在上單調(diào)遞增，所以，即當時，，所以，所以，所以D正確．故選：ACD.三、填空題19．（2025·山西晉中·三模）若函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】求導，令，求得，進而可求解.【詳解】因為，所以，令，得，解得，所以，則，所以曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：20．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知曲線在處的切線與曲線相切，則．【答案】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，設切點為，即可得到方程組，解得即可.【詳解】由，則，則，又當時，所以曲線在處的切線為；對于，可得，設切點為，則，解得.故答案為：.21．（2025·江蘇揚州·三模）若函數(shù)的最小值為2，則實數(shù)a的值是.【答案】1【分析】由函數(shù)求導，根據(jù)參數(shù)與零的大小關系，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，求得函數(shù)最小值，建立方程，可得答案.【詳解】由，求導可得，當時，令，可得，由可得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得；當時，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，故不合題意；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故不合題意.故答案為：22．（2025·湖南益陽·三模）設實數(shù)，，使成立，則實數(shù)α的取值范圍．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式在上能成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可.【詳解】由，得，即不等式在上能成立.設，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：23．（2025·甘肅金昌·二模）函數(shù)的最小值為.【答案】【分析】由，去絕對值，求導確定函數(shù)單調(diào)性，進而可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為.當時，易知在上單調(diào)遞增，.當時，.，令，解得，可得：當，，當，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，所以函數(shù)的最小值為.故答案為：24．（2025·甘肅金昌·二模）若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求導，通過，，結合有兩個變號零點，討論求解.【詳解】由題意，得，若，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，不可能存在兩個極值點，舍去，若，則由題意，得關于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為.，故答案為：25．（2025·甘肅白銀·二模）若曲線恒在直線的上方，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用數(shù)形轉(zhuǎn)化，等價于研究恒成立的，再同構函數(shù)，求導可求最小值，最后利用不等式恒成立可求參數(shù)范圍.【詳解】由曲線恒在直線的上方，可得，令，因為，所以，則構造，求導得，當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增，所以有，此時，根據(jù)函數(shù)圖象的交點可知：即存在正數(shù)使得，此時，要滿足對任意恒成立，則必須要使得時也要成立，即，解得，這是必要性，再證明充分性，當，所以實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：26．（2025·陜西西安·二模）若M是曲線上任意一點，則點M到直線的最小距離為.【答案】【分析】設與直線平行的直線與曲線相切于點，由導數(shù)的幾何意義結合題意求出切點坐標，再由點到直線的距離公式計算即可.【詳解】由得，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則作出和圖像如圖：則曲線上任意一點M到直線的最小距離，即為斜率為3的切線的切點到直線的距離；設與直線平行的直線與曲線相切于點，因為，所以，即，解得或（舍去），所以，即切點為，所以切點到直線的距離為.故答案為：.27．（2025·山東日照·二模）定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在正數(shù)K，對任意的，不等式恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上滿足K-條件．若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件，則K的最小值為．【答案】【分析】先求出在區(qū)間的單調(diào)性，再結合K-條件的定義進行分析，從而求K的取值范圍，即可求出K的最小值.【詳解】因為，令，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以在上恒成立，所以，則在上單調(diào)遞增，設，所以，若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件因此對任意恒成立，所以對任意恒成立，則對任意恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，在恒成立，所以，又因為在上單調(diào)遞減，.所以，所以K的最小值為.故答案為：.28．（2025·河南·二模）已知函數(shù)，若，使得有三個零點，則a的取值范圍為，在這三個零點處的切線斜率的倒數(shù)之和為．【答案】0【分析】由有三個零點，則有兩個不相等的實數(shù)根，即可求解的取值范圍；由題得，得出，根據(jù)導數(shù)的幾何意義計算即可．【詳解】因為有三個零點，且，所以有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，故a的取值范圍為．由題得，所以，同理，，故．故答案為：，0．四、解答題29．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)．(1)若，討論函數(shù)在的單調(diào)性；(2)若在上有唯一的零點，求實數(shù)a的最小值．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)1．【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）求出，利用導數(shù)求的最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由條件，則，由，所以，令，則，得或，令，則，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，則，令，則，所以當時，單調(diào)遞增，又，所以，，所以在上單調(diào)遞增，，由題意，，解得，所以a的最小值為1．30．（2025·遼寧盤錦·三模）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，，求實數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導數(shù)，解不等式得到的增區(qū)間，解不等式得到的減區(qū)間；（2）分離參數(shù)后構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其最值即可求解恒成立問題.【詳解】（1）依題意，，，由得．當時，．令，得，，故當時，，故當時，，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．（2）令，因為，所以，故，令，則，令，則，易知為減函數(shù)，則在[2，4]上，，故在[2，4]上單調(diào)遞減，則，故，在[2，4]上單調(diào)遞減，故，故實數(shù)λ的取值范圍為．31．（2025·廣東廣州·三模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.(3)若存在極大值，且極大值不大于，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)的幾何意義，求在函數(shù)圖形上一點的切線方程.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)的關系，對參數(shù)進行分類討論，求出各類別中導函數(shù)的正負，求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.（3）根據(jù)對函數(shù)單調(diào)性的討論情況，找到極大值點，求出極大值，列出極大值不等式，求出參數(shù)范圍.【詳解】（1）當時，，，則，，所以切線方程為，化簡得.（2）由可得，則，即函數(shù)定義域為，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當時，令，即，解得，因為定義域為，所以，由，可得,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）可知當時函數(shù)無極值點，當時函數(shù)在處有極大值，可得，代入得，化簡得，令，則，因為，所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以解得，所以實數(shù)的取值范圍是.32．（2025·河北邢臺·三模）已知函數(shù).(1)當時，點在曲線上運動，過點作切線可得到一系列的切線，，，，稱其為“動態(tài)切線系列”，試探討“動態(tài)切線系列”中是否存在兩條切線平行于軸；（寫出推理依據(jù)）(2)若分別是的兩個不等的極值點.①求實數(shù)的取值范圍；②證明：.【答案】(1)存在(2)①；②證明見解析【分析】（1）當時，若“動態(tài)切線系列”中存在兩條切線平行于軸，則方程有兩個不等的實數(shù)根，記，利用導數(shù)研究函數(shù)零點即可得證；（2）①先求，由分別是的兩個不等的極值點即可求解；②由分別是方程的兩個不等的實根，不妨設，則，，要證，即證，設，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可得知.【詳解】（1）當時，，，若“動態(tài)切線系列”中存在兩條切線平行于軸，則方程有兩個不等的實數(shù)根，記，所以，當時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又因為，，，所以，使得，，使得，所以方程有兩個不等的實數(shù)根，所以“動態(tài)切線系列”中存在兩條切線平行于軸.（2）①因為，所以定義域為，且，由切線不等式易知（當且僅當時，等號成立），即恒成立，所以當時，，在上單調(diào)遞增，不符合題意，因為分別是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為.②證明：因為分別是方程的兩個不等的實根，所以不妨設，則，即，.要證，即證.當時，，由①知，且有，設，則.設，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即在上單調(diào)遞減.因為，所以，即.因為，所以.因為，所以.由①可知在上單調(diào)遞增，所以，即得證.33．（2025·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，為的導函數(shù).（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）記較小的一個零點為，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)，根據(jù)導數(shù)正負得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）先討論單調(diào)性，根據(jù)有兩個零點得出最小值，即可得的取值范圍；（ii）結合（i）知，要證，即證，即，分和進行證明.【詳解】（1）當時，，函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（i）函數(shù)的定義域為，，①當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，至多有一個零點，不符合題意；②當時，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴當時，取得最小值，最小值為.因為函數(shù)有兩個零點，且時，，時，，所以.設，易知函數(shù)在單調(diào)遞增.因為，所以的解集為.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（ii）因為，由，結合（i）知，要證，即證，即，當時，因為，，不等式恒成立；當時，由得.即證.即證.即證.設，，由，所以在單調(diào)遞增.所以，故原不等式成立.所以.34．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線；(2)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當時，若對任意的，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)的減區(qū)間為,增區(qū)間為(3)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)導數(shù)即可判斷單調(diào)區(qū)間；（3）構造函數(shù)對任意恒成立，據(jù)此根據(jù)導數(shù)求解即可.【詳解】（1）由，得，則，又，所以曲線在點處的切線為；（2）當時，，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增，且，所以當時，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）設，則，因為時，所以為增函數(shù)，又在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以時，符合題意；②當即時，，又，當即時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，此時不符合題意；當即時，存在，使得，且當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，不符合題意；綜上所述，的取值范圍是35．（2025·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點，且，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意，即可求出的取值范圍；（2）由（1）不妨設，設，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，結合及的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由已知得的定義域為，且，當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點.、是的零點，且，、分別在、上，不妨設，設，則當時，，即在上單調(diào)遞減.，，即，，，，，又，在上單調(diào)遞增，，即.【點睛】方法點睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大??；（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.36．（2025·江蘇揚州·三模）已知函數(shù).(1)若，且，求a的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出導函數(shù)，利用列不等式求解即可.（2）先判斷定義域關于原點對稱，再設為圖象上任意一點，然后利用指數(shù)運算判斷點也在圖象上，即可證明.（3）由題意，為的一個解，可得，設，則有在上恒成立，多次求導，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，解不等式即可求解.【詳解】（1）時，，則，因為，當且僅當時等號成立，故，而成立，故，即，所以的最小值為.（2）的定義域為.設為圖象上任意一點，關于的對稱點為，因為在圖象上，故，而，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因為當且僅當，故為的一個解，所以，可得，依題意在上恒成立，設，則，則有在上恒成立，因為，可設，所以①當時，由知，，所以，所以在單調(diào)遞增.1.當，即時，對任意都成立，所以在上單調(diào)遞減，則；2.當，即時，而當時，，所以，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以舍去；②當時，所以在上單調(diào)遞增，則，所以舍去；③當時，與在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞