數(shù)學(xué)基本考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的間斷點(diǎn)類型是（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)答案：A2.設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$f^\prime(x_0)=2$，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=$（）A.0B.2C.4D.不存在答案：C3.已知函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$e^{-x^2}$，則$\intf^\prime(x)dx=$（）A.$e^{-x^2}+C$B.$-2xe^{-x^2}+C$C.$e^{-x^2}$D.$-2xe^{-x^2}$答案：B4.設(shè)$A$為$3$階方陣，且$\vertA\vert=2$，則$\vert2A^{-1}\vert=$（）A.1B.2C.4D.8答案：C5.設(shè)向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,-\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$答案：C6.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，已知$\Phi(1)=0.8413$，則$P(X\leq3)=$（）A.0.6826B.0.8413C.0.9772D.0.9987答案：B7.已知函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則在該點(diǎn)處函數(shù)$z=f(x,y)$（）A.必有極限B.偏導(dǎo)數(shù)一定不存在C.偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)D.以上都不對答案：C8.冪級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑是（）A.0B.1C.2D.$+\infty$答案：B9.設(shè)$D$是由$x=0$，$y=0$，$x+y=1$所圍成的區(qū)域，則$\iint_Dxydxdy=$（）A.$\frac{1}{24}$B.$\frac{1}{12}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{3}$答案：A10.設(shè)$A,B$為兩個(gè)隨機(jī)事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.5$，$P(A\vertB)=0.8$，則$P(A\cupB)=$（）A.0.7B.0.8C.0.9D.1答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\vertx\vert$C.$y=\sinx$D.$y=\lnx$答案：BC2.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立B.若$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立，則$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值，則最大值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)D.若$f(x)$在$[a,b]$上有極值點(diǎn)，則極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)答案：AB3.下列積分中，值為$0$的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$B.$\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}(x^3+1)dx$答案：AC4.設(shè)$A,B$為$n$階方陣，則下列等式成立的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（當(dāng)$A,B$都可逆時(shí)）答案：ACD5.設(shè)向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關(guān)，則（）A.該向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示B.該向量組中任意一個(gè)向量都可以由其余向量線性表示C.存在一組不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$D.該向量組的秩小于$s$答案：ACD6.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)},k=1,2,\cdots$，則（）A.$c=1$B.$E(X)=2$C.$D(X)=2$D.$E(X^2)=6$答案：ABD7.對于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，下列說法正確的有（）A.若函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微B.若函數(shù)在某點(diǎn)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)C.若函數(shù)在某點(diǎn)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在D.若函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微答案：BCD8.下列級數(shù)中，收斂的級數(shù)有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}$答案：ACD9.設(shè)$D$是由$x^2+y^2\leq1$所圍成的區(qū)域，則下列二重積分的值為$\pi$的有（）A.$\iint_D1dxdy$B.$\iint_D(x+1)dxdy$C.$\iint_D(y^2+1)dxdy$D.$\iint_D\frac{1}{\pi}dxdy$答案：AD10.設(shè)$A,B$為兩個(gè)隨機(jī)事件，且$P(A)\gt0$，$P(B)\gt0$，則下列說法正確的有（）A.若$A,B$相互獨(dú)立，則$P(A\vertB)=P(A)$B.若$P(A\vertB)=P(A)$，則$A,B$相互獨(dú)立C.若$A,B$互不相容，則$P(A\vertB)=0$D.若$P(A\vertB)=0$，則$A,B$互不相容答案：ABC三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（）答案：錯(cuò)誤2.函數(shù)$y=x^3$在$R$上是凸函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤3.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C(a\neq0)$。（）答案：正確4.若$A,B$為$n$階方陣，且$AB=0$，則$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$。（）答案：正確5.向量組中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)，則整個(gè)向量組線性無關(guān)。（）答案：錯(cuò)誤6.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，則$E(X)=D(X)=\lambda$。（）答案：正確7.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）答案：錯(cuò)誤8.冪級數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂區(qū)間就是其收斂域。（）答案：錯(cuò)誤9.二重積分$\iint_Df(x,y)dxdy$的值與積分區(qū)域$D$的劃分方式無關(guān)。（）答案：正確10.若$P(A)+P(B)\gt1$，則$A$與$B$一定不是互斥事件。（）答案：正確四、簡答題1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：首先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。令$f^\prime(x)=0$，得駐點(diǎn)$x=-1$和$x=3$。當(dāng)$x\lt-1$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt3$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt3$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為$f(-1)=10$，極小值為$f(3)=-22$。單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(-1,3)$。2.計(jì)算不定積分$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx$。答案：先對分母進(jìn)行配方，$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$。令$u=x+2$，$du=dx$，則原式變?yōu)?\int\frac{1}{u^2+1}du$。根據(jù)積分公式$\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C$，將$u=x+2$代回，可得$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\arctan(x+2)+C$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩陣$A^{-1}$。答案：利用初等行變換求逆矩陣。構(gòu)造增廣矩陣$(A\vertE)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}$。進(jìn)行初等行變換，第一行減去第二行的$2$倍，再減去第三行的$3$倍；第二行減去第三行的$2$倍。得到$\begin{pmatrix}1&0&0&1&-2&1\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}$，所以$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$。4.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}kx^2,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}$，求常數(shù)$k$及$E(X)$。答案：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，即$\int_{0}^{1}kx^2dx=1$。計(jì)算積分$\int_{0}^{1}kx^2dx=\frac{k}{3}x^3\big|_0^1=\frac{k}{3}=1$，解得$k=3$。$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}3x\cdotx^2dx=\int_{0}^{1}3x^3dx=\frac{3}{4}x^4\big|_0^1=\frac{3}{4}$。五、討論題1.討論函數(shù)$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。答案：當(dāng)$\vertx\vert\lt1$時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}x^{2n}=0$，則$f(x)=x$；當(dāng)$\vertx\vert=1$時(shí)，$f(x)=0$；當(dāng)$\vertx\vert\gt1$時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}x^{2n}=+\infty$，$f(x)=-x$。即$f(x)=\begin{cases}x,&\vertx\vert\lt1\\0,&\vertx\vert=1\\-x,&\vertx\vert\gt1\end{cases}$。在$x=\pm1$處，左右極限存在但不相等，所以$x=\pm1$是跳躍間斷點(diǎn)，函數(shù)在除這兩點(diǎn)外的其他點(diǎn)連續(xù)。2.討論向量組$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$的線性相關(guān)性。答案：構(gòu)造矩陣$A=\begin{pmatrix