2025年二階線性方程試題及答案一、選擇題（每題5分，共30分）1.已知二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的一個(gè)非零解為\(y_1(x)\)，則與\(y_1(x)\)線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)解\(y_2(x)\)可通過以下哪種方法求得（）A.常數(shù)變易法B.積分因子法C.劉維爾公式\(y_2(x)=y_1(x)\int\frac{e^{-\intp(x)dx}}{y_1^{2}(x)}dx\)D.特征根法答案：C解析：對(duì)于二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)，若已知一個(gè)非零解\(y_1(x)\)，則可以利用劉維爾公式\(y_2(x)=y_1(x)\int\frac{e^{-\intp(x)dx}}{y_1^{2}(x)}dx\)來(lái)求得與\(y_1(x)\)線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)解。常數(shù)變易法主要用于求非齊次方程的特解；積分因子法常用于一階線性微分方程；特征根法用于常系數(shù)二階線性齊次方程，本題未表明是常系數(shù)方程，所以選C。2.二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''+4y'+4y=0\)的通解為（）A.\(y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}\)B.\(y=(C_1+C_2x)e^{-2x}\)C.\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)D.\(y=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}\)答案：B解析：對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''+4y'+4y=0\)，其特征方程為\(r^{2}+4r+4=0\)，即\((r+2)^{2}=0\)，解得\(r_1=r_2=-2\)（二重根）。當(dāng)特征方程有二重根\(r\)時(shí)，通解的形式為\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)，這里\(r=-2\)，所以通解為\(y=(C_1+C_2x)e^{-2x}\)，選B。3.設(shè)\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)是二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的兩個(gè)解，則\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)（\(C_1,C_2\)為任意常數(shù)）是該方程通解的充分必要條件是（）A.\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性相關(guān)B.\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性無(wú)關(guān)C.\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)的朗斯基行列式\(W(x)=0\)D.\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)滿足\(y_1'(x)y_2(x)-y_1(x)y_2'(x)=1\)答案：B解析：根據(jù)二階線性齊次方程通解的結(jié)構(gòu)定理，二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的通解是由該方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性組合而成，即\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)（\(C_1,C_2\)為任意常數(shù)），所以\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性無(wú)關(guān)是\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)為通解的充分必要條件。若\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性相關(guān)，則\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)不是通解；朗斯基行列式\(W(x)=0\)時(shí)\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)線性相關(guān)；\(y_1'(x)y_2(x)-y_1(x)y_2'(x)=1\)不是通解的判定條件，所以選B。4.二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''-2y'+y=e^{x}\)的一個(gè)特解\(y^\)的形式為（）A.\(y^=axe^{x}\)B.\(y^=ax^{2}e^{x}\)C.\(y^=ae^{x}\)D.\(y^=a\cosx+b\sinx\)答案：B解析：對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''-2y'+y=e^{x}\)，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為\(y''-2y'+y=0\)，特征方程為\(r^{2}-2r+1=0\)，即\((r-1)^{2}=0\)，解得\(r_1=r_2=1\)。非齊次項(xiàng)\(f(x)=e^{x}\)，\(\lambda=1\)是特征方程的二重根。當(dāng)非齊次項(xiàng)\(f(x)=P_m(x)e^{\lambdax}\)（\(P_m(x)\)是\(m\)次多項(xiàng)式），且\(\lambda\)是特征方程的\(k\)重根時(shí)，特解\(y^\)的形式為\(x^{k}Q_m(x)e^{\lambdax}\)，這里\(m=0\)，\(k=2\)，所以特解\(y^\)的形式為\(y^=ax^{2}e^{x}\)，選B。5.已知二階線性非齊次方程\(y''+y=x\sinx\)，用待定系數(shù)法求特解\(y^\)時(shí)，應(yīng)設(shè)\(y^\)的形式為（）A.\(y^=(ax+b)\cosx+(cx+d)\sinx\)B.\(y^=x[(ax+b)\cosx+(cx+d)\sinx]\)C.\(y^=ax\cosx+bx\sinx\)D.\(y^=a\cosx+b\sinx\)答案：B解析：對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''+y=x\sinx\)，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為\(y''+y=0\)，特征方程為\(r^{2}+1=0\)，解得\(r=\pmi\)。非齊次項(xiàng)\(f(x)=x\sinx\)，可看作\(f(x)=P_1(x)e^{ix}\)的虛部，其中\(zhòng)(P_1(x)=x\)，\(\lambda=i\)是特征方程的單根。當(dāng)非齊次項(xiàng)\(f(x)=[P_{l}(x)\cos\omegax+P_{n}(x)\sin\omegax]e^{\alphax}\)，\(\alpha+i\omega\)是特征方程的\(k\)重根時(shí)，特解\(y^\)的形式為\(x^{k}[Q_{m}(x)\cos\omegax+R_{m}(x)\sin\omegax]e^{\alphax}\)，這里\(m=\max\{l,n\}=1\)，\(k=1\)，\(\alpha=0\)，\(\omega=1\)，所以應(yīng)設(shè)\(y^=x[(ax+b)\cosx+(cx+d)\sinx]\)，選B。6.設(shè)\(y_1,y_2,y_3\)是二階線性非齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\)的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則該方程的通解為（）A.\(y=C_1y_1+C_2y_2+y_3\)B.\(y=C_1(y_1-y_2)+C_2(y_2-y_3)+y_1\)C.\(y=C_1y_1+C_2y_2-y_3\)D.\(y=C_1(y_1+y_2)+C_2(y_2+y_3)\)答案：B解析：對(duì)于二階線性非齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\)，其通解的結(jié)構(gòu)為\(y=Y+y^\)，其中\(zhòng)(Y\)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，\(y^\)是該非齊次方程的一個(gè)特解。因?yàn)閈(y_1,y_2,y_3\)是二階線性非齊次方程的解，則\(y_1-y_2\)和\(y_2-y_3\)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，且由于\(y_1,y_2,y_3\)線性無(wú)關(guān)，所以\(y_1-y_2\)和\(y_2-y_3\)線性無(wú)關(guān)，\(y_1\)可作為非齊次方程的一個(gè)特解，所以通解為\(y=C_1(y_1-y_2)+C_2(y_2-y_3)+y_1\)，選B。二、填空題（每題5分，共20分）1.二階線性齊次方程\(y''-3y'+2y=0\)的通解為。答案：\(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\)解析：對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''-3y'+2y=0\)，其特征方程為\(r^{2}-3r+2=0\)，因式分解得\((r-1)(r-2)=0\)，解得\(r_1=1\)，\(r_2=2\)。當(dāng)特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根\(r_1\)和\(r_2\)時(shí)，通解的形式為\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)，所以通解為\(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\)。2.已知二階線性齊次方程\(y''+4y=0\)的一個(gè)解為\(y_1=\cos2x\)，則與\(y_1\)線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)解\(y_2\)為。答案：\(\sin2x\)解析：對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''+4y=0\)，特征方程為\(r^{2}+4=0\)，解得\(r=\pm2i\)。通解為\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)，已知一個(gè)解為\(y_1=\cos2x\)，則與\(y_1\)線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)解\(y_2=\sin2x\)。3.二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''-4y'+4y=2e^{2x}\)的特解\(y^\)的形式為。答案：\(y^=ax^{2}e^{2x}\)解析：對(duì)應(yīng)的齊次方程\(y''-4y'+4y=0\)，特征方程為\(r^{2}-4r+4=0\)，即\((r-2)^{2}=0\)，解得\(r_1=r_2=2\)。非齊次項(xiàng)\(f(x)=2e^{2x}\)，\(\lambda=2\)是特征方程的二重根。當(dāng)非齊次項(xiàng)\(f(x)=P_m(x)e^{\lambdax}\)（\(P_m(x)\)是\(m\)次多項(xiàng)式），且\(\lambda\)是特征方程的\(k\)重根時(shí)，特解\(y^\)的形式為\(x^{k}Q_m(x)e^{\lambdax}\)，這里\(m=0\)，\(k=2\)，所以特解\(y^\)的形式為\(y^=ax^{2}e^{2x}\)。4.若\(y_1=x\)和\(y_2=e^{x}\)是二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的兩個(gè)解，則該方程的通解為。答案：\(y=C_1x+C_2e^{x}\)解析：因?yàn)閈(y_1=x\)和\(y_2=e^{x}\)是二階線性齊次方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的兩個(gè)解，且\(\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{x}}{x}\)不是常數(shù)，所以\(y_1\)和\(y_2\)線性無(wú)關(guān)。根據(jù)二階線性齊次方程通解的結(jié)構(gòu)定理，通解為\(y=C_1y_1+C_2y_2\)，即\(y=C_1x+C_2e^{x}\)。三、解答題（每題10分，共50分）1.求二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''-6y'+9y=0\)的通解。解：對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次方程\(y''-6y'+9y=0\)，其特征方程為\(r^{2}-6r+9=0\)。根據(jù)完全平方公式\((a-b)^2=a^{2}-2ab+b^{2}\)，這里\(a=r\)，\(b=3\)，則特征方程可化為\((r-3)^{2}=0\)。解得\(r_1=r_2=3\)（二重根）。當(dāng)特征方程有二重根\(r\)時(shí)，二階常系數(shù)線性齊次方程的通解形式為\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)。所以該方程的通解為\(y=(C_1+C_2x)e^{3x}\)，其中\(zhòng)(C_1,C_2\)為任意常數(shù)。2.求二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''-2y'-3y=3x+1\)的通解。解：第一步，求對(duì)應(yīng)的齊次方程\(y''-2y'-3y=0\)的通解。特征方程為\(r^{2}-2r-3=0\)，因式分解得\((r-3)(r+1)=0\)。解得\(r_1=3\)，\(r_2=-1\)。所以齊次方程的通解\(Y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}\)，其中\(zhòng)(C_1,C_2\)為任意常數(shù)。第二步，求非齊次方程的一個(gè)特解\(y^\)。非齊次項(xiàng)\(f(x)=3x+1\)，是一次多項(xiàng)式，且\(\lambda=0\)不是特征方程的根。設(shè)特解\(y^=ax+b\)，則\(y^{'}=a\)，\(y^{''}=0\)。將\(y^\)，\(y^{'}\)，\(y^{''}\)代入原非齊次方程\(y''-2y'-3y=3x+1\)得：\(0-2a-3(ax+b)=3x+1\)，即\(-3ax-(2a+3b)=3x+1\)。比較等式兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)：\(\begin{cases}-3a=3\\-(2a+3b)=1\end{cases}\)由\(-3a=3\)得\(a=-1\)。將\(a=-1\)代入\(-(2a+3b)=1\)得：\(-(-2+3b)=1\)，即\(2-3b=1\)，解得\(b=\frac{1}{3}\)。所以特解\(y^=-x+\frac{1}{3}\)。第三步，求原非齊次方程的通解。根據(jù)二階常系數(shù)線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)\(y=Y+y^\)，可得原方程的通解為\(y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}-x+\frac{1}{3}\)。3.已知二階線性齊次方程\(y''+y=0\)的通解為\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)，用常數(shù)變易法求二階線性非齊次方程\(y''+y=\tanx\)的通解。解：已知齊次方程\(y''+y=0\)的通解為\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)，設(shè)非齊次方程的解為\(y=u_1(x)\cosx+u_2(x)\sinx\)。則\(y'=u_1'\cosx-u_1\sinx+u_2'\sinx+u_2\cosx\)。令\(u_1'\cosx+u_2'\sinx=0\)①。則\(y'=-u_1\sinx+u_2\cosx\)，\(y''=-u_1'\sinx-u_1\cosx+u_2'\cosx-u_2\sinx\)。將\(y\)和\(y''\)代入非齊次方程\(y''+y=\tanx\)得：\(-u_1'\sinx-u_1\cosx+u_2'\cosx-u_2\sinx+u_1\cosx+u_2\sinx=\tanx\)，即\(-u_1'\sinx+u_2'\cosx=\tanx\)②。由①得\(u_1'=-\frac{u_2'\sinx}{\cosx}\)，代入②得：\(\frac{u_2'\sin^{2}x}{\cosx}+u_2'\cosx=\tanx\)，\(u_2'(\frac{\sin^{2}x}{\cosx}+\cosx)=\tanx\)，\(u_2'(\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cosx})=\tanx\)，因?yàn)閈(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\)，所以\(u_2'=\sinx\)。積分得\(u_2=-\cosx+C_2\)。將\(u_2'=\sinx\)代入①得\(u_1'=-\frac{\sin^{2}x}{\cosx}=-\frac{1-\cos^{2}x}{\cosx}=-\secx+\cosx\)。積分得\(u_1=-\ln|\secx+\tanx|+\sinx+C_1\)。所以非齊次方程的通解為\(y=C_1\cosx+C_2\sinx-\cosx\ln|\secx+\tanx|\)。4.求二階常系數(shù)線性非齊次方程\(y''+y'-2y=e^{-x}\cosx\)的特解\(y^\)的形式。解：第一步，求對(duì)應(yīng)的齊次方程\(y''+y'-2y=0\)的特征方程。特征方程為\(r^{2}+r-2=0\)，因式分解得\((r+2)(r-1)=0\)，解得\(r_1=-2\)，\(r_2=1\)。第二步，分析非齊次項(xiàng)。非齊次項(xiàng)\(f(x)=e^{-x}\cosx\)，可看作\(f(x)=e^{\alphax}(P_{l}(x)\cos\betax+P_{n}(x)\sin\betax)\)的形式，其中\(zhòng)(\alpha=-1\)，\(\beta=1\)，\(P_{l}(x)=1\)，\(P_{n}(x)=0\)。\(\lambda=\alpha+i\beta=-1+i\)不是特征方程的根。當(dāng)非齊次項(xiàng)\(f(x)=e^{\alphax}(P_{l}(x)\cos\betax+P_{n}(x)\sin\betax)\)且\(\alpha+i\beta\)不是特征方程的根時(shí)，特解\(y^\)的形式為\(y^=e^{\alp