《線性代數(shù)》第一學(xué)期期末考試試題及參考解答一、選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert\)的值為（）A.\(-16\)B.\(-4\)C.\(4\)D.\(16\)2.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\beta=(2,-1,3)^T\)，則\(\beta\)由\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)線性表示的表達式為（）A.\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)B.\(\beta=2\alpha_1+\alpha_2-3\alpha_3\)C.\(\beta=-2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)D.\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2-3\alpha_3\)3.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.\(m\ltn\)B.\(r\ltm\)C.\(r\ltn\)D.\(m=n\)5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(x_1\)，\(x_2\)分別是對應(yīng)于\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)的特征向量，則\(x_1\)，\(x_2\)必定（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.對應(yīng)分量成比例D.可能有零向量二、填空題（每小題3分，共15分）1.已知行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)，則該行列式的值為______。2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為______。3.向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(3,6,9)^T\)的秩為______。4.已知齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+kx_3=0\\x_1+kx_2+x_3=0\\kx_1+x_2+x_3=0\end{cases}\)有非零解，則\(k\)的值為______。5.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(A\)的特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(\vertA-2E\vert\)的值為______。三、計算題（每小題10分，共50分）1.計算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}\)的值。2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。3.求向量組\(\alpha_1=(1,-1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,-1,2,0)^T\)的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。4.求解非齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2-2x_3+3x_4=1\\2x_1+x_2-6x_3+4x_4=2\\3x_1+2x_2-8x_3+7x_4=3\end{cases}\)。5.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，證明：\((A^)^{-1}=(A^{-1})^\)。2.設(shè)向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)線性無關(guān)，向量\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\cdots\)，\(\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s\)，\(\beta_s=\alpha_s+\alpha_1\)，證明：當\(s\)為奇數(shù)時，向量組\(\beta_1\)，\(\beta_2\)，\(\cdots\)，\(\beta_s\)線性無關(guān)。線性代數(shù)第一學(xué)期期末考試試題參考解答一、選擇題1.答案：A根據(jù)行列式的性質(zhì)：若\(A\)為\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。已知\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，\(k=-2\)，則\(\vert-2A\vert=(-2)^3\times\vertA\vert=-8\times2=-16\)。2.答案：A設(shè)\(\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3\)，即\(\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，可得\(x_1=2\)，\(x_2=-1\)，\(x_3=3\)，所以\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)。3.答案：B因為\(AB=O\)，則\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert=\vertO\vert=0\)，所以\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)。4.答案：C齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)）有非零解的充要條件是\(r\ltn\)。5.答案：B不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，所以\(x_1\)，\(x_2\)必定線性無關(guān)。二、填空題1.答案：0\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)，將第二行減去第一行的\(4\)倍，第三行減去第一行的\(7\)倍，得到\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)，再將第三行減去第二行的\(2\)倍，得到\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。2.答案：\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。3.答案：1因為\(\alpha_2=2\alpha_1\)，\(\alpha_3=3\alpha_1\)，所以向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)的秩為\(1\)。4.答案：\(1\)或\(-2\)齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+kx_3=0\\x_1+kx_2+x_3=0\\kx_1+x_2+x_3=0\end{cases}\)的系數(shù)行列式\(\begin{vmatrix}1&1&k\\1&k&1\\k&1&1\end{vmatrix}=0\)，展開得\(1\times(k-1)-1\times(1-k)+k\times(1-k^2)=0\)，即\(k-1-1+k+k-k^3=0\)，\(-k^3+3k-2=0\)，\(k^3-3k+2=(k-1)^2(k+2)=0\)，解得\(k=1\)或\(k=-2\)。5.答案：\(-2\)已知\(A\)的特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(A-2E\)的特征值為\(1-2=-1\)，\(2-2=0\)，\(3-2=1\)，所以\(\vertA-2E\vert=(-1)\times0\times1=0\)。三、計算題1.本題可根據(jù)范德蒙行列式的公式來計算。范德蒙行列式\(\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leqj\lti\leqn}(x_i-x_j)\)。對于\(D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}\)，這里\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，\(x_3=3\)，\(x_4=4\)。則\(D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times2\times3\times1\times2\times1=12\)。2.首先求\(\vertA\vert\)，\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}\)\(=1\times(6-4)-2\times(6-3)+3\times(8-6)=2-6+6=2\neq0\)，所以\(A\)可逆。求\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)：\(A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=-3\)，\(A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)；\(A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&3\\4&3\end{vmatrix}=6\)，\(A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&3\\3&3\end{vmatrix}=-6\)，\(A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)；\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=-4\)，\(A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}=5\)，\(A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=-2\)。\(A^=\begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\1&1&-1\end{pmatrix}\)。3.將向量組構(gòu)成矩陣\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&-1\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換：\(r_2+r_1\)，\(r_3-2r_1\)，\(r_4-4r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\)，\(r_2\div3\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\)，\(r_3-r_2\)，\(r_4-2r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\)，\(r_3\leftrightarrowr_4\)，\(r_4\div(-4)\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)，\(r_1-r_3\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。所以\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_4\)是一個極大線性無關(guān)組，且\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.增廣矩陣\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&-2&3&1\\2&1&-6&4&2\\3&2&-8&7&3\end{pmatrix}\)，\(r_2-2r_1\)，\(r_3-3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&-2&3&1\\0&-1&-2&-2&0\\0&-1&-2&-2&0\end{pmatrix}\)，\(r_3-r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&1&-2&3&1\\0&-1&-2&-2&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\)，\(r_1+r_2\)，\(r_2\times(-1)\)得\(\begin{pmatrix}1&0&-4&1&1\\0&1&2&2&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\)。令\(x_3=c_1\)，\(x_4=c_2\)（\(c_1\)，\(c_2\)為任意常數(shù)），則\(x_1=1+4c_1-c_2\)，\(x_2=-2c_1-2c_2\)。所以方程組的通解為\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}4\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\)。5.\(A\)的特征多項式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\0&\lambda-3&-1\\0&-1&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-3)^2-1]=(\lambda-2)(\lambda^2-6\lambda+9-1)=(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-4)\)。令\(f(\lambda)=0\)，解得特征值\(\lambda_1=2\)（二重），\(\lambda_2=4\)。當\(\lambda_1=2\)時，\((\lambda_1E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&-1\\0&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，等價于\(-x_2-x_3=0\)，令\(x_1=c_1\)，\(x_2=c_2\)，則\(x_3=-c_2\)，特征向量為\(c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\)（\(c_1\)，\(c_2\)不全為\(0\)）。當\(\lambda_2=4\)時，\((\lambda_2E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，等價于\(2x_1=0\)，\(x_2-x_3=0\)，令\(x_2=c_3\)，則\(x_1=0\)，\(x_3=c_3\)，特征向量為\(c_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)（\(c_3\neq0\)）。四、證明題1.因為\(A\)可逆，則\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)，所以\((A^)^{-1}=(\vertA\vertA^{-1})^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A\)。又\((A^{-1})^=\vertA^{-1}\vert(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A\)，所以\((A^)^{-1}=(A^{-1})^\