第

9

章

參數(shù)估計【學習目標】理解參數(shù)估計的基本問題，理解置信水平、置信區(qū)間、抽樣極限誤差等概念；理解參數(shù)估計的基本原理；掌握參數(shù)區(qū)間估計的方法；掌握確定樣本容量的基本方法。9.1概述9.1.1參數(shù)估計的一般問題1.參數(shù)估計的概念高德地圖發(fā)布《2018

年度中國主要城市交通分析報告》央廣網(wǎng)2019-01-16近日，高德地圖聯(lián)合中國社會科學院社會學研究所、未來交通與城市計算聯(lián)合實驗室、阿里云等單位共同發(fā)布了《2018

年度中國主要城市交通分析報告》(以下簡稱“《報告》”)。

《報告》顯示，基于路網(wǎng)行程延時指數(shù)對監(jiān)測的

50

個城市進行對比分析，發(fā)現(xiàn)

2018

年是四年來路網(wǎng)高峰行程延時指數(shù)最低的一年,同比

2017

年全國近

90%城市擁堵下降或持平。而通過該指數(shù)排名的中國堵城排行榜中，北京位列第一，廣州位列第二，上海位列第八。但即便位列第八的上海，其工作日平均通勤時長(雙程)也達

85.27分鐘，也就是說，假如一個上海人要上35

年班，他一生花在通勤上的時間為

11869

小時，這其中有

5443

小時是因為擁堵導致的。

值得注意的是，北京本年度雖然被評為“首堵”，但北京的全天公交巡航速度(公交車輛在站點之間巡航速度的平均值)最高，達到

23.14km/h。其余高的城市還有紹興、東莞、蘇州、濟南、廈門、揚州、石家莊、上海等。而全天公交巡航速度較低的城市包括太原、烏魯木齊、沈陽等，其中太原僅為13.98km/h。高德地圖雖然掌握著眾多數(shù)據(jù)，但它并不能知道北京的每一臺公交車的巡航速度，《報告》中所說的北京公交的巡航速度為23.14km/h

只是部分北京公交的巡航速度，這是一個樣本結(jié)果，而不是總體的結(jié)果。在實際活動中，人們總是用樣本的數(shù)量特征去估計總體的數(shù)量特征，這種方法就是參數(shù)估計。所謂參數(shù)估計就是用樣本的數(shù)量特征（統(tǒng)計量）對總體的數(shù)量特征（參數(shù)）進行估計的統(tǒng)計方法。在現(xiàn)實現(xiàn)象中，參數(shù)往往是未知的，比如北京公交的巡航速度。我們可以用抽樣的方法，用樣本統(tǒng)計量對總體參數(shù)進行估計。常用的參數(shù)有總體均值

、總體比率

、總體方差

2

，我們將參數(shù)抽象地記為

。2.估計量與估計值

用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量的名稱，稱為估計量。例如：樣本平均數(shù)

X、樣本比率

p

、樣本方差

s

2

都是估計量，我們將估計量抽象地記為

。由樣本數(shù)據(jù)計算得到的對應估計量的數(shù)值稱為估計值。例如：為了估計北京公交的巡航速度，我們抽取由

100

輛運營的北京公交車作為樣本，記錄它們?nèi)斓难埠剿俣龋缓笥嬎闫骄禐?/p>

23.14km/h,這個數(shù)值就是一個估計值。3.點估計與區(qū)間估計

參數(shù)估計有點估計和區(qū)間估計兩種。

用估計量

的值作為參數(shù)

的估計值，稱為參數(shù)的點估計。例如：經(jīng)過抽樣并計算出北京公交的巡航速度為

23.14km/h，即

＝23.14。如果我們用這個估計值作為總體均值，即

23.14

，這就是點估計。點估計在方法上比較簡便，在理論上也有可靠的依據(jù)，但是卻不能表述出點估計值與參數(shù)的真實值接近的程度（估計的誤差）以及對應估計的可靠程度（概率度）。

在點估計的基礎上，給出參數(shù)估計的一個范圍，稱為區(qū)間估計。例如：北京公交的巡航速度的點估計值為

23.14km/h，即

＝23.14，可以認為北京公交的巡航速度在

23.14

左右，我們在一定可靠程度的保證下給出一個范圍。區(qū)間估計是參數(shù)估計的重要方法，在后面的內(nèi)容里我們將做詳細的討論。9.1.2

參數(shù)估計的理論依據(jù)和基本問題1.大數(shù)定律在第

8

章中我們對大數(shù)定律做了描述，它為我們進行參數(shù)估計提供了理論基礎。例如：設北京公交巡航速度的平均用時為

，是一個未知的參數(shù)，我們對這一現(xiàn)象進行多次觀察―即抽樣（抽取

100輛運營公交車）并測量樣本中的每一輛公交車的巡航速度，記為X

1

,

X

2

,......X

n

。由大數(shù)定律，當

n

（

樣本容量）足夠大時，有這個結(jié)論為我們用樣本平均數(shù)

對總體均值

進行估計提供了理論基礎。同理，我們可以用樣本比率

p

對總體比率

進行估計，用樣本方差

s

2

對總體方差

2

進行估計。2.中心極限定理

以樣本平均數(shù)為例，在重復抽樣、大樣本、總體方差已知的條件下，我們有：

，其分布圖如圖9-1。由概率論知識，樣本平均數(shù)

落在總體均值μ的兩側(cè)各為一個標準誤差（抽樣平均誤差）范圍內(nèi)概率為0.9545；落在三個標準誤差范圍內(nèi)的概率為0.9973。

圖

9-1的抽樣分布X

的分布

由圖

9-1

可以看出，如果我們要求樣本平均數(shù)

離

越近（估計的誤差?。瑢目赡苄砸簿褪歉怕试叫?，即可靠程度越低；要求樣本平均數(shù)

離

越遠（估計的誤差大），對應的可能性也就是概率也越大，即可靠程度越高。這說明，估計的誤差會受到兩個因素的影響：一是抽樣平均誤差（標準誤差）；另一個是我們要求的可靠程度。這些結(jié)論為我們描述估計的誤差提供了依據(jù)。3.風險水平與置信水平

由上段的分析，可以理解估計的誤差與可靠程度的關系。仍以樣本平均數(shù)

為例，設在估計時發(fā)生錯誤的概率為

，因為我們希望犯錯誤的可能性要盡量地小，所以我們設定的

很小，一般為5%或更小。

稱為風險水平，其意義是指這樣的事件發(fā)生的概率：“遠離”了

，或者說

與

的差距超過了允許的范圍，即

落入到了如圖

9-2

所示陰影的范圍內(nèi)。由于

的抽樣分布是正態(tài)分布，所以

被平分在兩側(cè)。

B圖

9-2風險水平與置信水平的分布

2

2A

區(qū)間（A，B）對應的概率為1

，我們稱為置信水平。其意義是指我們相信在所有的

中，有（1

）的

與

的差距沒有超過允許的范圍。4.抽樣極限誤差

我們將在參數(shù)估計中研究者所允許的誤差稱為抽樣極限誤差，也稱為邊際誤差，記為

。如何度量

呢？仍然以

為例，從圖

9-2

可以看出，這個允許的范圍就是區(qū)間（A，B）的半徑，而這個半徑的長短是由

的抽樣分布和風險水平

決定的。在

的抽樣分布確定的條件下，

的值越大，區(qū)間（A，B）就越窄，估計的誤差越??；

的值越小，區(qū)間（A，B）就越寬，估計的誤差越大。

雖然的抽樣分布是正態(tài)分布，但由于μ未知，故A、B兩點的坐標

、也未知，也就無法求出抽樣極限誤差

x

。

為了度量，對做標準變換，則

，如圖9-3所示。圖

9-3

標準正態(tài)分布（9-1）

當風險水平為

α時，則對應的臨界值是，經(jīng)過標準變換，原來正態(tài)分布的μ點坐標變換到標準正態(tài)分布的0，原來正態(tài)分布的B點坐標（）變換到標準正態(tài)分布的，這時有則有：

當總體方差未知時，則用s

2

代替

2

，這時

，同樣有抽樣極限誤差為：

（9-2）同理，可以得到關于樣本比率

p

的抽樣極限誤差：(9-3)當

未知時可用

p

代替。5.參數(shù)估計的標準1）無偏性

如果估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)，即E()=，則稱這個估計量是無偏的，其意義如圖

9-4a

所示。2）有效性

如果一個參數(shù)有兩個估計量，則其中方差較小的估計量是有效的，即如果

，則

是較

有效的估計量，其意義是計量

較估計量

更密集地集中在

的附近，這樣隨機抽取一個,就要比隨機抽取一個離近的可能性要大。如圖9-4b所示。a)無偏性b)有效性3）一致性如果隨著樣本容量的增大，估計量與參數(shù)之間的差距變小，則稱這個估計量是一致的。其意義是隨著樣本容量的增大，抽樣分布的方差會變小，其意義如圖9-5

所示。圖

9-5 一致性可以證明，樣本平均數(shù)

、樣本比率

p

、樣本方差

s

2

分別是總體均值

、總體比率

、總體方差

2

的無偏、有效、一致的估計量。9.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計我們進行抽樣的目的之一就是要用統(tǒng)計量對參數(shù)進行估計。在實際的社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，總體參數(shù)一般都是未知的，是需要我們進行估計的，而估計量是可以通過計算某個樣本數(shù)據(jù)得到估計值的。仍然以樣本平均數(shù)

為例，由上節(jié)的分析，我們可以知道

落在以

為中心的一定范圍內(nèi)的概率是多少，由于

與

的距離是對稱的,所以

也以相同的概率被包含在以

為中心的區(qū)間內(nèi)，利用這個原理，可以對

進行區(qū)間估計。9.2.1

總體均值的區(qū)間估計1.大樣本情形1）總體方差已知

由中心極限定理,當總體方差已知、大樣本時,有

。假設風險水平為α，則置信水平為1-α，由某個樣本得到的估計值為，如圖9-6所示。圖

9-6

的區(qū)間估計

其中區(qū)間（C，D）是由（A，B）平移得到的，AB的中點是

，CD

的中點是

。如果

落在區(qū)間（A，B）中（概率為1

），則區(qū)間（C，D）也將包含

，概率也為1

。所以，區(qū)間（C，D）稱為

的置信水平為1

的置信區(qū)間，C

點稱為置信區(qū)間的下限，D

點稱為置信區(qū)間的上限。由公式（9-1），C點的橫坐標是，D點的橫坐標是

，所以μ的1-α的置信區(qū)間是：（

，

）

（9-4）

由以上分析顯然有：

對μ的置信區(qū)間的理解要注意以下幾個問題：一是區(qū)間（C,D）是由某一個樣本平均數(shù)確定的，而是隨機的，所以區(qū)間（C,D）也是隨機的，我們得到的這個區(qū)間是用這種方法構(gòu)造的成千上萬個這樣的區(qū)間中特定的一個。二是對置信水平的理解。假設風險水平α=5%，則置信水平1-α=95%，其含義是：假如按照構(gòu)造置信區(qū)間的方法構(gòu)造的這樣的區(qū)間有10000個，則其中有95%即9500個區(qū)間包含總體均值μ的真值，我們有95%把握相信，由某一個樣本平均數(shù)構(gòu)造的區(qū)間是包含總體均值μ的真值的9500個區(qū)間中的一個。

這些解釋可以用圖9-7來描述。圖

9-7

參數(shù)的區(qū)間估計

【例

9-1】北青網(wǎng)

2018-04-17

大學生對手機形成依賴，日均使用時間超過

5.2

小時，手機已經(jīng)是我們生活中難以缺少的一部分了，可以毫不夸張的說，有些人離開了手機啥也干不了！就像對手機有癮一樣，的確手機對我們來說也是越來越重要了，平常的買東西都需要手機，就連小編都好久沒有觸摸現(xiàn)金了！大學生用起手機來更加恐怖，日均使用

5.2

個小時。麥可思研究院發(fā)布的一份中國在校大學生手機使用調(diào)查報告顯示，超八成大學生存在“手機依賴”，日均使用手機的時間超

5

小時，18

點以后是大學生使用手機的高峰期。此外，79%的大學生在課堂上使用手機。假設麥可思研究院在各地區(qū)抽取了

100

名在校大學生，記錄下他們在某一工作日使用手機的時間，并計算得到平均值為

5

小時。如果總體標準差為

1.5

小時，置信水平為

95%。（1）在校大學平均使用手機時間的點估計值是多少？（2）計算抽樣極限誤差；（3）對在校大學平均使用手機的時間做區(qū)間估計。解：已知：n=100，=5，α=5%，1-α=95%，查表得（1）在校大學生平均使用手機時間的點估計值為5個小時。（2）由式（9-1）得(3) 由式（9-4）得：

在校大學生平均使用手機時間95%的置信區(qū)間為（4.706，5.294）.2）總體方差未知

當總體方差未知時，則

服從自由度為

n-1

的

t

分布，置信水平為1-α的置信區(qū)間為：（，）（9-6）

同理有：（9-7）

【例

9-2】2018-08-14

新浪科技

2018

年全球網(wǎng)速排名：中國大陸排名第

141

北京時間

8

月

13

日下午消息，M-Lab

近期發(fā)布了全球?qū)拵ЬW(wǎng)速排名榜。榜單收集了從

2017

年

6

月到

2018

年

5

月

29

日

12

個月時間內(nèi)的網(wǎng)速數(shù)據(jù)，共有

200

個國家和地區(qū)上榜，測速次數(shù)超過

1.63億次。排行榜顯示，全球?qū)拵俣扰旁诘谝晃坏氖切录悠拢骄螺d速度達到了60.39Mbps,排在第二位的是瑞典，其寬帶平均下載速度為

46Mbps，這兩個國家的排名和去年一樣。排在第三至六位的分別是丹麥、挪威、羅馬尼亞以及比利時。數(shù)據(jù)顯示，中國大陸排在第141

位，

寬帶平均下載速度是2.38Mbps，雖然這一速度相對去年的

1.55Mbps

有所提升，但在今年的總排名中，中國大陸的排名還是下降了

7

位。此外，中國香港的網(wǎng)速全球排名

19

位，每秒是

26.45Mbit。中國臺灣的網(wǎng)速全球排名第

14

位，達到了

28.09Mbps，不過相比去年排名下降了

11

位。

M-Lab

是一家旨在測量全球網(wǎng)絡狀況的組織，由新美國基金會（New

America

Foundation）旗下的開放技術研究所（Open

Technology

Institute）、谷歌開源研究中心（Google

Open

SourceResearch）、普林斯頓大學的

PlanetLab

及其它支持機構(gòu)發(fā)起成立。假設在中國大陸不同地區(qū)抽取

49家網(wǎng)絡運營商進行調(diào)查，測得互聯(lián)網(wǎng)連接速度數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見

Data9-1）。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，對中國大陸平均網(wǎng)速做點估計和

95%置信水平的區(qū)間估計。解：由Excel計算得=2.45，s=0.60，且n=49，1-α=95%。查表得=2.01。（1）中國大陸平均網(wǎng)速的點估計值為2.43Mbps。

（2）中國大陸平均網(wǎng)速的區(qū)間估計：由式（9-6）得：中國大陸平均網(wǎng)速95%的置信區(qū)間為（2.28，2.62）2.小樣本情形由于小樣本有更大的偶然性，在這種條件下則要求總體服從正態(tài)分布，以降低估計的風險。1）總體服從正態(tài)分布、方差已知在這個條件下，

的置信區(qū)間構(gòu)造方法同公式（9-4）。【例

9-3】某銀行為了估計一臺自動取款機（ATM

機）的日平均取款額，連續(xù)抽取了

25

天該自動取款機的取款額，計算得平均取款額為7.2

萬元。假設總體服從正態(tài)分布，標準差為

1

萬元，求該自動取款機置信水平為

95%的日平均取款額置信區(qū)間。解：

已知 n

＝

25,

＝

7.2

，

＝

1

，

1

＝

95%

，查表得則由式（9-4）有：該自動取款機置信水平為

95%的日平均取款額置信區(qū)間為（6.808，7.592）。2）總體服從正態(tài)分布、方差未知

在這個條件下，

的置信區(qū)間構(gòu)造方法同公式（9-6）。

【例

9-4】隨著社會的進步和經(jīng)濟的發(fā)展，電已經(jīng)成為人們不可或缺的生產(chǎn)必須品。為了保障電力供應，國家電網(wǎng)公司向社會公布了供電服務“十項承諾"，其中第二項承諾為：提供

24

小時電力故障報修服務，供電搶修人員到達現(xiàn)場的時間一般不超過：城區(qū)范圍45

分鐘；農(nóng)村地區(qū)

90

分鐘；特殊邊遠地區(qū)

2

小時。

為了核實某市電網(wǎng)公司落實供電服務“十項承諾"的情況，在該市的電力故障報修服務記錄中抽取到

25

條城區(qū)范圍報修服務記錄作為樣本，統(tǒng)計出供電搶修人員到達現(xiàn)場的時間的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見Data9-2）。（1）該市供電搶修人員到達現(xiàn)場的平均時間的點估計是多少？（2）假設總體服從正態(tài)分布，構(gòu)造該市供電搶修人員到達現(xiàn)場的平均時間的

95%的置信區(qū)間。解：由樣本數(shù)據(jù)計算得：=30.44，s=4.93，n=25，1-α=95%，查表得（1）供電搶修人員到達現(xiàn)場的平均時間的點估計值為30.44分鐘。供電搶修人員到達現(xiàn)場的平均時間

95%的置信區(qū)間為（28.40，32.48）。（2）由公式（9-6）有：9.2.2

總體比率的區(qū)間估計

由中心極限定理，當大樣本、重復抽樣時，樣本比率的抽樣分布是正態(tài)分布，其抽樣極限誤差如公式（9-3）所示。所以總體比率1

的置信區(qū)間是：()（9-8）當

未知時可用

p

代替。大樣本的標準是使n

5

和n(1

)

5

同時成立時的n，或者按表8-5

的經(jīng)驗值進行判斷。

【例9-5】中國廣視索福瑞媒介研究(CSM)是央視市場研究(CTR)與

Kantar

Media

集團等共同建立的中外合作企業(yè)，致力于專業(yè)的電視收視和廣播收聽市場研究，為中國大陸地區(qū)和香港傳媒行業(yè)提供可靠的、不間斷的視聽調(diào)查服務。CSM

擁有龐大的廣播電視受眾調(diào)查網(wǎng)絡，覆蓋

5.78

萬余戶樣本家庭；其電視收視率調(diào)查網(wǎng)絡所提供的數(shù)據(jù)可推及中國內(nèi)地超過12.8億和香港地區(qū)

655

萬的電視人口；其廣播收聽率調(diào)查的數(shù)據(jù)則可推及中國超過

1.2

億的廣播人口。

假設

CSM

為了推斷某一檔電視節(jié)目的收視率，在這檔電視節(jié)目播出期間，抽取了

1000

戶家庭進行調(diào)查，得到收看這檔電視節(jié)目的家庭比率為

4%。依據(jù)這些數(shù)據(jù)求：(1)這檔電視節(jié)目平均收視率置信水平為

95%的抽樣極限誤差為多少？(2)這檔電視節(jié)目平均收視率置信水平為

95%的置信區(qū)間為多少？解：已知n=1000，p=4%,1-α=95%，查表得

，顯然，這是一個大樣本，故可以正態(tài)分布進行估計。（1）抽樣極限誤差為：這檔電視節(jié)目平均收視率置信水平為

95%的置信區(qū)間為（2.8%，5.2%）。（2）由式（9-8）有：9.2.3

總體方差的區(qū)間估計

由第8

章的內(nèi)容知，樣本方差的抽樣分布服從卡方分布，由（8-15）式有：

。假設置信水平為1

，則如圖

9-8

所示：

/

2

/

2圖9-8卡方分布圖對總體方差做區(qū)間估計就是要使成立。整理得：

（9-9）

這就是構(gòu)造總體方差

2

的置信區(qū)間的方法。【例

9-6】“愛情就像公交，苦苦等待卻怎么也等不到；愛情就像公交，有時候就差一點卻眼睜睜看著它遠去；愛情就像公交，以為自己追上了卻發(fā)現(xiàn)怎么也擠不上。”這是網(wǎng)上流行的一個段子，它從一個側(cè)面反映了人們對長時間等待公交車的一種無奈。由于各種各樣的原因，雖然發(fā)車時間隔的時間相同，但是同一路公交車到達某一站的時間間隔會有比較大的差異。為了評估某城城市等待公交車的情況，選擇了其中一路公交車在某一時段時行調(diào)查，連續(xù)記錄了

25

輛公交車到達某站的時間間隔，經(jīng)計算時間間隔的方差為

16

分鐘，試以置信水平為

95%對總體方差做區(qū)間估計。

解：已知：n=25，s2＝16,1-α=95%，查表得：，

。則總體方差95%的置信區(qū)間為（9.76，30.96）。9.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計很多時候我們需要在兩個總體之間進行比較。例如：比較兩個地區(qū)的平均勞動報酬，就需要在兩個地區(qū)分別抽取樣本，再用樣本的平均數(shù)做出估計。為此先要建立一個基本概念--獨立樣本與匹配樣本。9.3.1

獨立樣本與匹配樣本當我們要在兩個總體參數(shù)之間進行比較時，就要在兩個總體中分別抽取樣本，然后進行比較。而在兩個總體中抽取樣本，可以有兩種抽取方法：一種是兩個樣本的抽取互相之間沒有影響，這時我們稱這樣抽取的兩個樣本是獨立樣本；另一種是兩個樣本的抽取互相之間有影響，這時我們稱這樣抽取的兩個樣本是匹配樣本。例如，為了研究駕駛員佩戴墨鏡是否會降低反應速度，需要在佩戴墨鏡和不佩戴墨鏡兩個總體中抽取樣本，然后進行比較。如果抽取若干名駕駛員，讓他們佩戴墨鏡測試反應速度（一個樣本），然后再不加限制條件再抽取若干名駕駛員，讓他們不佩戴墨鏡測試速度（另一個樣本），這樣得到的兩個樣本是獨立樣本。但是，這樣的兩個樣本結(jié)果可能缺少可比性，因為不同的人其反應速度是有差異的，為了增強可比性，我們可以抽取若干名駕駛員，讓他們佩戴墨鏡測試反應速度（一個樣本），然后再讓這些駕駛員不佩戴墨鏡測試速度（另一個樣本），這樣得到的兩個樣本是匹配樣本。9.3.2

兩個總體均值之差的區(qū)間估計1.大樣本情形1）兩個總體的方差已知在這個條件下，由中心極限定理知兩個樣本平均數(shù)

X

1

,

X

2

分別服從正態(tài)分布。即：，

由正態(tài)分布再生定理知，其中分別表示兩個總體的均值，

分別表示兩個總體的方差，分別表示兩個樣本容量。

設置信水平為1-α，則抽樣極限誤差為：

（9-10）

兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：（，）

（9-11）2）兩個總體方差未知但相等

設

,分別表示兩個樣本的方差，置信水平為1

，則由概率論知識可以證明：

（9-12）

其中：（9-13）稱為聯(lián)合方差估計。

兩個總體均值之差

1

2

的置信區(qū)間為：（，）（9-14）3）兩個總體方差未知且不相等此時，估計量由公式（9-15）中的

t分布近似，但其自由度

df

由公式（9-16）決定：（9-15）（9-16）[x]表示不超過

x

的最大整數(shù)。此時，兩個總體均值之差

1

2

的置信區(qū)間為：（

，）

（9-17）

注意此時的自由度是由公式（9-16）決定的?！纠?/p>

9-7】本周一（6

月

25

日），美世Mercer

公布了

2018

年全球城市生活成本排名

排在今年全球前十的中國城市，除了再次登頂?shù)南愀郏€有第

7

的上海和第

9

的北京。加上同樣位列TOP10

的東京、首爾、新加坡……連美世官方都不得不感嘆，亞洲城市前

10

占

6，住不起也惹不起??！而在北上港之外，高居全球前

50

的中國城市還有深圳（12）、廣州（15）、南京（25）、臺北（27）、天津（29）、成都（31）、青島（36）和沈陽（38）。

據(jù)BBC

News

以及美世官網(wǎng)介紹，這項排名今年已經(jīng)是連續(xù)第

24

年發(fā)布，具有相當高的聲譽和可信度。它以紐約、美元作為測算基礎，對全球范圍內(nèi)超過

375

個城市進行數(shù)據(jù)收集和對比，所涵蓋的分項包括房價、交通費、餐飲開銷、服裝配飾、娛樂休閑等

200

多個。（搜狐網(wǎng)

2018-07-01）

如果假設兩個城市生活成本的總體方差相等，則：（1）兩個總體均值之差的點估計為多少？（2）兩個總體均值之差的

95%的置信區(qū)間為多少？（3）你認為這兩座城市的生活成本有顯著差異嗎？為了比較不同城市的生活成本，分別在沈陽和成都抽取了兩個獨立樣本，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：樣本1：成都=2100元=200=85樣本2：沈陽=1900元=160=100

解：（1）因為=2100-1900=200，所以兩個總體均值之差的點估計為200。（2）由公式（9-13）得：則

：

由Excel得

兩個總體均值之差的

95%的置信區(qū)間為（145.9，254.1）。(3)由于置信區(qū)間不包含

0，所以這兩座城市的生活成本有顯著的差異。2.小樣本情形

當樣本是小樣本時，則要求兩個總體均服從正態(tài)分布。此時，也可以分別討論兩個總體方差已知、兩個總體方差未知但相等、兩個總體方差未知且不相等三種情況，其結(jié)論與大樣本時相同，置信區(qū)間分別可由公式（9-11）、（9-14）和（9-17）給出?！纠?/p>

9-8】北京澳德物流有限責任公司是一家主要經(jīng)營國內(nèi)食品冷鏈運輸業(yè)務的第三方物流運輸企業(yè)，成立于

2006

年

，是一家致力于優(yōu)化冷鏈食品及生鮮電商供應鏈鏈路、降低運營成本、提高運營時效品質(zhì)的冷鏈物流公司。該公司常年給一家企業(yè)提供第三方物流服務，需要在每天的同一時間將貨物從甲地送往乙地，送貨有兩條線路，雖然路程基本相，但車流量卻不同。為了比較兩條線路所需要的時間，物流公司隨機抽取了兩個獨立樣本，記錄下送貨所需的時間，兩個樣本整理后的結(jié)果如下。假設兩條線路所需時間的總體服從正態(tài)分布且方差相等，求兩條線路均值之差的95%的置信區(qū)間。樣本1：線路A

=46分鐘=5分鐘=24樣本2：線路B=42分鐘=3分鐘=18解：由公式（9-13）得：則=4.27查表得：兩條線路均值之差的

95%的置信區(qū)間為（1.3，6.7）。由于這個置信區(qū)間不包含

0，所以兩條線路所需時間存在顯著差異。9.3.3

兩個總體比率之差的區(qū)間估計兩個總體比率之差的區(qū)間估計，

要求是大樣本，即：n1

1

5及n1(1

1)

5

、n2

2

5及n2

(1

2

)

5

都成立，或者按表

8-5

的經(jīng)驗值進行判斷。此時，兩個樣本比率之差的抽樣分布是：

（9-18）兩個總體比率之差

1

2

的置信區(qū)間為：(,）

（9-19）當

1

，

2

未知時，用

p1

，

p2

代替。（9-18）設置信水平為1

，則抽樣極限誤差為：【例

9-9】

7

月

11

日，中國汽車技術研究中心聯(lián)合全球道路安全合作伙伴、世界衛(wèi)生組織、中國婦女發(fā)展基金會、標準所、中汽認證中心有限公司、上海疾控中心、國家轎車質(zhì)量監(jiān)督檢驗中心等機構(gòu)專家在津發(fā)布

2018

版中英文《中國兒童道路交通安全藍皮書》。

《中國兒童交通安全藍皮書

2018》調(diào)查顯示，在

2017

年開展的兒童道路交通安全調(diào)研收集的

4218

份有效問卷中，每三個家庭中就有一個家庭未配備并正確使用兒童安全座椅。

目前，美國、日本、英國、瑞典、加拿大、新西蘭等超過

50

個國家和地區(qū)已經(jīng)出臺了兒童乘車的相關法規(guī)，強制規(guī)定兒童乘車必需使用汽車安全座椅，同時也有相應的法規(guī)及生產(chǎn)和檢測標準。國內(nèi)，上海、杭州、南京、武漢、大連、濟南等也對兒童乘車有了硬性規(guī)定。（搜狐汽車2018-07-12）假設此次調(diào)查分別在上海和武漢分別抽取了

800

個和

600

個家庭，上海家庭使用兒童安全座椅的比率為

26%，而武漢為

20%。試以

95%的置信水平估計兩地家庭使用兒童安全座椅比率差異的置信區(qū)間。解：已知

p1

＝26%，

p2

＝20%，

n1

＝800，

n2

＝600，

1

＝95%，查表得：

＝1.96兩地家庭使用兒童安全座椅差異的置信區(qū)間

95%

的置信區(qū)間為（1.586%，10.414%），由于置信區(qū)間中不包含

0，說明兩地家庭使用兒童安全座椅的比率有顯著差異。9.3.4

兩個總體方差之比的區(qū)間估計

由第

8

章的公式（8-21）有:

整理得：

設置信水平為1

，則有：,

如圖

9-9

所示。圖9-9方差之比置信區(qū)間示意圖

/2

/2取倒數(shù)得：

，則有：（9-20）【例

9-10】從兩條自動瓶裝生產(chǎn)線上抽樣兩個獨立樣本，以檢測其工作得穩(wěn)定性。樣本數(shù)據(jù)如下：樣本1=25，=9；樣本2=16，=3。以置信水平為95%估計兩條自動瓶裝生產(chǎn)線方差之比得置信區(qū)間。由公式（9-18）有：

兩條自動瓶裝生產(chǎn)線方差之比的

95%的置信區(qū)間為（1.1，7.3）。由于置信區(qū)間不包括

1，所以兩條自動生產(chǎn)線的穩(wěn)定性有顯著差異，樣本方差小的生產(chǎn)線穩(wěn)定性高。解：已知=25，=9，=16，=3，1-α=95%。查表得：=2.70,則：

≈0.419.3.5

匹配樣本的區(qū)間估計關于兩個總體參數(shù)的對比，有時需要匹配樣本。例如，兩個地區(qū)由于收入、地價、房租不同，相同的商品的價格可能會有不同。如果要比較兩個地區(qū)的物價，必須針對相同的商品來比較價格，這樣，應該抽取匹配樣本。抽取匹配樣本時，兩個樣本之間是關聯(lián)的，所以其抽樣分布略有不同。匹配樣本的數(shù)據(jù)如下:表9-1匹配樣本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)序號樣本

1

的數(shù)據(jù)

樣本

2

的數(shù)據(jù)

兩個樣本的差值d

X1

X

21X11X

21d12X12X

22d2……………………nX

1nX

2ndn可以證明當d

服從正態(tài)分布時，有以下結(jié)論：（9-21）其中

--

d

的均值

sd

--

d

的樣本方差則抽樣極限誤差為：則d

的(1

)的置信區(qū)間為：（，）（9-23）（9-22）【例

9-11】人們相信即便在同一城市由于區(qū)域不同，從而地價不同，中心城區(qū)的商品價格要高于郊區(qū)。為了證實這個推測，調(diào)查人員分別在中心城區(qū)和郊區(qū)抽取了相同的商品，記錄下其價格（數(shù)據(jù)見Data9-3）。根據(jù)這些數(shù)據(jù)判斷中心城區(qū)和郊區(qū)的商品價格有無顯著差異(取

0.05)

。解：由數(shù)據(jù)資料得：n=49，

=1.17，

sd=1.5

查表得

由公式（9-21）得：

中心城區(qū)和郊區(qū)的商品價格置信水平為

95%的置信區(qū)間為（0.74,1.60）。9.4樣本容量的確定我們知道，大樣本要比小樣本有更好的統(tǒng)計學性質(zhì)，在其他條件不變的情況下，隨著樣本容量的增大，估計的誤差（抽樣極限誤差）會減小