第2章《特殊三角形》單元測試一．選擇題（共10小題）1．下列四個(gè)圖案中，不是軸對稱圖案的是（）A． B． C． D．2．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長x，y滿足方程組2x?A．5 B．4 C．3 D．5或43．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的高，點(diǎn)O是兩條高線的交點(diǎn)，則∠A與∠1+∠2的關(guān)系是（）A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．無法確定4．等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中點(diǎn)為D，過D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，則AD等于（）A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm5．如圖，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC長為（）A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm6．如圖，在第一個(gè)△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個(gè)△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．175° B．170° C．10° D．5°7．下列命題中假命題是（）A．兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等8．如圖，在4×4的方格紙中，有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長為1），下列關(guān)于它的描述，正確的是（）A．△ABC的三邊都是有理數(shù) B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面積為6.5 D．△ABC是直角三角形9．如圖①，分別以Rt△ABC三邊為直徑向形外作三個(gè)半圓，其面積分別為S1，S2，S3；圖②，分別以Rt△ABC三邊為邊向形外作三個(gè)正方形，其面積分別為S1，S2，S3；圖③，分別以Rt△ABC三邊為邊向形外作三個(gè)等邊三角形，其面積分別為S1，S2，S3．其中滿足S1＝S2+S3的有（）A．① B．② C．①② D．①②③10．已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一點(diǎn)，連接AP，則AC2﹣AP2＝（）A．CP?BP B．CP?BC C．BP?BC D．以上都不對二．填空題（共6小題）11．等邊三角形的邊長為4，則它的面積是．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，D是AC上一點(diǎn)，且BC＝BD，若∠CBD＝44°，則∠A＝°．13．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是．14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為．15．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A的面積是8cm2，B的面積是14cm2，C的面積是18cm3，則D的面積為cm2．16．如圖，已知，直角△ABC中，∠ACB，從直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)所引的中線的長AD＝5，BE＝210，則斜邊AB之長為．三．解答題（共7小題）17．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，按下列要求畫出格點(diǎn)，按下列要求畫出格點(diǎn)三角形．（1）三邊長分別為3，22（2）三邊長分別為5，5，218．如圖所示是某房屋頂框架的示意圖，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．（1）求∠B，∠C和∠BAD的度數(shù)．（2）當(dāng)AC＝8m時(shí)，求AD的長．19．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D為底邊BC延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，與AC延長線交于點(diǎn)E．（1）則△CDE的形狀是；（2）若在AC上截取AF＝CE，連接FB、FD，判斷FB、FD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，連接ED并延長，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF，求證：（1）EF⊥AB；（2）△ACF為等腰三角形．21．已知，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖（1）所示，若點(diǎn)O在邊BC上，求證：AB＝AC；（2）如圖（2）所示，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC．（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，結(jié)論“AB＝AC”還成立嗎？（只要填“成立”或“不成立”，不需證明過程．）22．已知：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB中點(diǎn)，連接DE、CE、CD．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判斷△DEC的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)∠CAB+∠DBA＝45°時(shí)，若CD＝12，取CD中點(diǎn)F，求EF的長．23．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．（1）請說明：DE＝DF；（2）請說明：BE2+CF2＝EF2；（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面積（直接寫結(jié)果）．

第2章《特殊三角形》單元測試一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CABADDACDA一．選擇題（共10小題）1．下列四個(gè)圖案中，不是軸對稱圖案的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D能找到一條或多條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項(xiàng)C不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長x，y滿足方程組2x?A．5 B．4 C．3 D．5或4【思路點(diǎn)拔】先解二元一次方程組，然后討論腰長的大小，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案．【解答】解：解方程組2x?y=33x+2y=8所以等腰三角形的兩邊長為2，1．若腰長為1，底邊長為2，由1+1＝2知，這樣的三角形不存在．若腰長為2，底邊長為1，則三角形的周長為5．所以，這個(gè)等腰三角形的周長為5．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及解二元一次方程組，難度一般，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題．3．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的高，點(diǎn)O是兩條高線的交點(diǎn)，則∠A與∠1+∠2的關(guān)系是（）A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．無法確定【思路點(diǎn)拔】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠A＝∠EOC，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以得到：∠EOC＝∠1+∠2，從而判斷．【解答】解：∵CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的高，∴∠OEC＝∠ADC＝90°，又∵△ACD和△OCE中，∠ACD＝∠OCE，∴∠A＝∠EOC又∵∠EOC＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，正確證明∠A＝∠EOC是關(guān)鍵．4．等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中點(diǎn)為D，過D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，則AD等于（）A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm【思路點(diǎn)拔】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中點(diǎn)為D，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵DE⊥AB，AE＝4cm，∴AD＝2AE＝8cm．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生對等腰三角形三線合一的掌握及直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．5．如圖，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC長為（）A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm【思路點(diǎn)拔】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解．【解答】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD＝8cm，BE＝3cm，∴BC＝BE＝3cm，AB＝BD＝CD﹣BC＝8﹣3＝5cm，∴AC=AB故選：D．【點(diǎn)評】考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．6．如圖，在第一個(gè)△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個(gè)△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．175° B．170° C．10° D．5°【思路點(diǎn)拔】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出∠A6的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A=180°?∠B∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴∠An=80°以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的底角為∠A5．∵∠A5=80°故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．7．下列命題中假命題是（）A．兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【思路點(diǎn)拔】由全等三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、如果兩個(gè)三角形第三邊的高，一條在一個(gè)三角形的內(nèi)部，另一條在另一個(gè)三角形的外部，此時(shí)兩個(gè)三角形不全等，因此命題是假命題，故A符合題意；B、如圖：AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中線．延長AD到E使DE＝AD，連接BE，延長A′D′到E′使D′E′＝A′D′，連接B′E′，由SAS判定△ADC≌△EDB得到BE＝AC，同理B′E′＝A′C′，得到BE＝B′E′，推出△ABE≌△A′B′E′（SSS），得到∠BAD＝∠B′A′D′，同理：∠CAD＝∠C′A′D′，因此∠BAC＝∠B′A′C′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命題正確，故B不符合題意；C、命題正確，故C不符合題意；D、如圖：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中線，由SSS判定△ABD≌△A′B′D′，推出∠B＝∠B′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命題正確，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查命題與定理，全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．8．如圖，在4×4的方格紙中，有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長為1），下列關(guān)于它的描述，正確的是（）A．△ABC的三邊都是有理數(shù) B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面積為6.5 D．△ABC是直角三角形【思路點(diǎn)拔】根據(jù)勾股定理求出三邊的長度，再求出的結(jié)果和三角形的面積判斷即可．【解答】解：由勾股定理得：AB=12+32=10A、AB和BC邊為無理數(shù)，AC邊為有理數(shù)，原說法錯誤，不符合題意；B、AB、AC、BC都不相等，不是等腰三角形，原說法錯誤，不符合題意；C、△ABC面積為4×4?12×3×4?D、AB2+BC2≠AC2，不是直角三角形，原說法錯誤，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積和勾股定理，能根據(jù)勾股定理求出三邊的長度是解此題的關(guān)鍵．9．如圖①，分別以Rt△ABC三邊為直徑向形外作三個(gè)半圓，其面積分別為S1，S2，S3；圖②，分別以Rt△ABC三邊為邊向形外作三個(gè)正方形，其面積分別為S1，S2，S3；圖③，分別以Rt△ABC三邊為邊向形外作三個(gè)等邊三角形，其面積分別為S1，S2，S3．其中滿足S1＝S2+S3的有（）A．① B．② C．①② D．①②③【思路點(diǎn)拔】分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系；分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系；分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系．【解答】解：∵S3=π8AC2，S2=π8BC2，S1∴S2+S3＝S1．由三個(gè)四邊形都是正方形則：∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∵三角形ABC是直角三角形，又∵AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．∵S1=34AB2，S2=34BC2，S3∴S2+S3＝S1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，此題主要涉及的知識點(diǎn)：三角形、正方形、圓的面積計(jì)算以及勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的公式，難度一般．10．已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一點(diǎn)，連接AP，則AC2﹣AP2＝（）A．CP?BP B．CP?BC C．BP?BC D．以上都不對【思路點(diǎn)拔】可作AD⊥BC，把AD邊當(dāng)作中間量進(jìn)行等效代換．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，AC2＝CD2+AD2，AP2＝AD2+DP2，∴AC2﹣AP2＝CD2﹣DP2＝（CD+DP）?（CD﹣DP）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴CD+DP＝BD+DP＝BP，∴AC2﹣AP2＝BP?CP故選：A．【點(diǎn)評】熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．二．填空題（共6小題）11．等邊三角形的邊長為4，則它的面積是43．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可以求得高線AD的長度，根據(jù)BC和AD即可求得三角形的面積．【解答】解：如圖，∵等邊三角形三線合一，∴D為BC的中點(diǎn)，BD＝DC＝2，在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴AD=AB2?BD∴等邊△ABC的面積為12BC?AD=12×4×2故答案為：43．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了三角形面積的計(jì)算，考查了等邊三角形各邊長相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理即可AD的長度是解題的關(guān)鍵．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，D是AC上一點(diǎn)，且BC＝BD，若∠CBD＝44°，則∠A＝44°．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BC＝BD，∠CBD＝44°，∴∠C＝∠BDC=1∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝69°，∴∠A＝44°，故答案為：44．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用等腰三角形的底角相等，外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，列方程求解．13．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是70°或110°．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)題意，可先畫出簡單示意圖，根據(jù)等腰三角形的特殊性，可分為兩種情況：（1）頂角為銳角（2）頂角為鈍角；分別利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，據(jù)此解答．【解答】解：（1）當(dāng)頂角是銳角時(shí)，如圖△ABC．∵BD是△ABC的高線，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABD＝20°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝70°．即當(dāng)頂角是銳角時(shí)，頂角的度數(shù)是70°．（2）當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，如圖△EFG．∵FH為△EFG的高線，∴∠FHG＝90°．∵∠HFE＝20°，∠FHG＝90°，∴∠FEG＝∠HFE+∠FHG＝110°．即當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，頂角的度數(shù)是110°．綜上可知，等腰三角形的頂角為70°或110°．故答案為：70°或110°．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是等腰三角形的性質(zhì)定理．14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為13或10．【思路點(diǎn)拔】①如圖1根據(jù)已知條件得到PB=13②如圖2，根據(jù)已知條件得到PC=13【解答】解：①如圖1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∵PB=13∴CP＝2，∴AP=A②如圖2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∵PC=13∴AP=A綜上所述：AP的長為13或10，故答案為：13或10．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A的面積是8cm2，B的面積是14cm2，C的面積是18cm3，則D的面積為24cm2．【思路點(diǎn)拔】根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理可以證明：四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積64，由此即可解決問題．【解答】解：如圖記圖中三個(gè)正方形分別為P、Q、M．根據(jù)勾股定理得到：A與B的面積的和是P的面積；C與D的面積的和是Q的面積；而P，Q的面積的和是M的面積．即A、B、C、D的面積之和為M的面積．∵M(jìn)的面積是82＝64，∴A、B、C、D的面積之和為64，設(shè)正方形D的面積為xcm2，∴8+14+18+x＝64，∴x＝24．故答案為：24．【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，正方形的面積，得出正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形M的面積是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知，直角△ABC中，∠ACB，從直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)所引的中線的長AD＝5，BE＝210，則斜邊AB之長為213【思路點(diǎn)拔】設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，根據(jù)已知列方程組，從而可求得斜邊的平方，即求得斜邊的長．【解答】解：設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理，得x整理得，54x2+54y∴斜邊的長是213．【點(diǎn)評】注意此題的解題技巧：根據(jù)已知條件，在兩個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理列方程組．求解的時(shí)候，注意不必分別求出未知數(shù)的值，只需求出兩條直角邊的平方和，運(yùn)用勾股定理即可．三．解答題（共7小題）17．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，按下列要求畫出格點(diǎn)，按下列要求畫出格點(diǎn)三角形．（1）三邊長分別為3，22（2）三邊長分別為5，5，2【思路點(diǎn)拔】（1）如圖所示，AB＝3，AC為直角邊分別為2和2的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出AC，BC為直角邊分別為2和1的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出BC，得到三角形ABC為所求的三角形；（2）如圖所示，DE為直角邊分別為3和4的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出DE，DF為直角邊分別為4和2的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出DF，EF為直角邊分別為2和1的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出EF，三角形DEF為所求的三角形．【解答】解：（1）如圖1所示：AB＝3，AC=22+22=∴△ABC為所求作的三角形；（2）如圖2所示，DE=42+32=5，DF=∴△DEF為所求作的三角形．【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的運(yùn)用，屬于網(wǎng)格型試題，網(wǎng)格型試題是近幾年中考的熱點(diǎn)試題．18．如圖所示是某房屋頂框架的示意圖，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．（1）求∠B，∠C和∠BAD的度數(shù)．（2）當(dāng)AC＝8m時(shí)，求AD的長．【思路點(diǎn)拔】（1）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可求解；（2）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．依此即可求解．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∠BAD=12∠（2）∵在△ABC中，AC＝8m，∠C＝30°，∴AD=12AC＝4【點(diǎn)評】本題考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，高線，中線，角平分線重合．19．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D為底邊BC延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，與AC延長線交于點(diǎn)E．（1）則△CDE的形狀是等腰三角形；（2）若在AC上截取AF＝CE，連接FB、FD，判斷FB、FD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【思路點(diǎn)拔】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，求得∠ABC＝∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠CDE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）△CDE是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠DCE＝∠ACB，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形；故答案為：等腰三角形；（2）BF＝DF，理由：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，即EF＝AC＝AB，在△AFB與△EDF中AB=EF∠A=∠E∴△ABF≌△EFD（SAS），∴BF＝DF．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，連接ED并延長，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF，求證：（1）EF⊥AB；（2）△ACF為等腰三角形．【思路點(diǎn)拔】（1）依據(jù)AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依據(jù)E是AB的中點(diǎn)，即可得到FE⊥AB；（2）依據(jù)FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，進(jìn)而得出∠BAF＝∠ABF，依據(jù)∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根據(jù)∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，進(jìn)而得到AC＝CF．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．21．已知，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖（1）所示，若點(diǎn)O在邊BC上，求證：AB＝AC；（2）如圖（2）所示，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC．（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，結(jié)論“AB＝AC”還成立嗎？不成立（只要填“成立”或“不成立”，不需證明過程．）【思路點(diǎn)拔】（1）如圖1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接AO．只要證明Rt△OEB≌Rt△OFC，推出BE＝CF，Rt△AOE≌Rt△AOF，推出AE＝AF，即可證明．（2）結(jié)論仍然成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接AO．方法類似（1）．（3）結(jié)論不成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接AO．方法類似（1）．【解答】（1）證明：如圖1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接AO．∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，∴∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OFBO=OC∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴BE＝CF，在Rt△AOE和Rt△AOF中，OA=OAOE=OF∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），∴AE＝AF，∴BE+AE＝CF+AF，即AB＝AC．（2）證明：如圖2中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接AO．∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，∴∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OFBO=OC∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴BE＝CF，在Rt△AOE和Rt△AOF中，OA=OAOE=OF∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），∴AE＝AF，∴BE+AE＝CF+AF，即AB＝AC．（3）解：結(jié)論不一定成立．如圖3中．AB≠AC′【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是利用HL判定兩個(gè)三角形全等，屬于中考?？碱}型．22．已知：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB中點(diǎn)，連接DE、CE、CD．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判斷△DEC的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)∠CAB+∠DBA＝45°時(shí)，若CD＝12，取CD中點(diǎn)F，求EF的長．【思路點(diǎn)拔】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AE＝BE＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠ACE＝25°，∠DBA＝∠BDE＝35°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BED＝50°，∠ADE＝70°，由等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（3）同（2）證出∠DEC＝90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB，CE=∴DE＝C