“正弦定理（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)貴州師范大學(xué)胡榮教學(xué)背景（一）教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在人教版A版必修五第一章中的第一節(jié)，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形等知識(shí)之后，進(jìn)而深入對(duì)三角形角邊量化關(guān)系的學(xué)習(xí)；它是初中解直角三角形的直接延伸，同時(shí)作為普遍運(yùn)用于三角形中的一個(gè)定理，因而正弦定理具有十分廣泛的應(yīng)用。實(shí)際教學(xué)中，“正弦定理”這部分內(nèi)容共分為四個(gè)層次，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問(wèn)，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“做高法”將一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊三角形解決，并啟發(fā)學(xué)生從“等積法”、“向量法”等多種方法考慮證明；第三層次帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)已證明得到的正弦定理進(jìn)行深入本質(zhì)的分析，正弦定理的三項(xiàng)聯(lián)立式可拆分為三個(gè)等式的形式，通過(guò)遷移已學(xué)的方程思想從而得到解三角形需已知的條件；第四層次利用正弦定理解決引例，最后處理簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題。學(xué)生在探索正弦定理過(guò)程中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)、猜想、證明、應(yīng)用這一數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)證明、善于思考的求真精神。（二）學(xué)情分析高一學(xué)生已學(xué)過(guò)解直角三角形、平面幾何、向量等知識(shí)，具有一定的觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)于他們來(lái)說(shuō)前后知識(shí)的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此教師應(yīng)恰當(dāng)引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生前后知識(shí)的聯(lián)系和思維靈活運(yùn)行，帶領(lǐng)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。（三）設(shè)計(jì)思想本節(jié)課堂采用講授—探究式課堂教學(xué)模式，即在課堂過(guò)程中，教師啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)、帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程。以問(wèn)題為導(dǎo)入設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以學(xué)生獨(dú)立思考探索發(fā)現(xiàn)正弦定理，以正弦定理的發(fā)現(xiàn)和教師對(duì)證明的引導(dǎo)為學(xué)生提供充分思考、質(zhì)疑、探究的機(jī)會(huì)。逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（四）教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)技能目標(biāo)：發(fā)現(xiàn)及證明正定理；運(yùn)用正弦定理處理簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題。（2）過(guò)程與方法：以生活中的問(wèn)題作為情境引入，以此引發(fā)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考。通過(guò)參與正弦定理的探究過(guò)程，嘗試應(yīng)用“觀察—猜想—證明—應(yīng)用”等思想處理問(wèn)題。（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)探索和處理實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義及重要性，同時(shí)增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。通過(guò)對(duì)正弦定理的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。（五）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理證明；正弦定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想、發(fā)現(xiàn)提出過(guò)程。教學(xué)過(guò)程（一）情境引入激發(fā)興趣教師展示情境圖：如圖1，學(xué)校為了提供學(xué)子們參觀瀏覽校園風(fēng)光的機(jī)會(huì)，準(zhǔn)備在學(xué)校后山修建纜車，須從甲山到乙山搭建攬繩，如果你是設(shè)計(jì)師，只有測(cè)角儀和皮尺等測(cè)量工具，你能計(jì)算出攬繩長(zhǎng)度嗎？師：若已知測(cè)得,,并用皮尺測(cè)出AC的長(zhǎng)度為600m，要計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離，你有辦法解決嗎？預(yù)想學(xué)生情況：想不出方法，搖頭困惑。師引題：回憶我們之前與三角形有關(guān)的知識(shí)，我們知道三角形內(nèi)角和是，還有，三角形內(nèi)部大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊；我們僅僅知道邊與角的大小關(guān)系，如果我們能找出邊與角的量的關(guān)系表達(dá)，我們便能將該問(wèn)題解決，那現(xiàn)在我們還須更進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形，一起探索邊與角的量化關(guān)系表達(dá)。（寫(xiě)標(biāo)題“正弦定理”）（二）特殊探索大膽猜想師：回憶一下我們學(xué)過(guò)特殊三角形中邊與角有哪些關(guān)系？生：直角三角形內(nèi)部邊與角有正弦、余弦關(guān)系。AcbaCB師：我們一下子得到一般三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系是不容易的，那我們就從我們已學(xué)的特殊三角形探索起。那我們一起來(lái)看這樣的直角三角形。為了方便研究，給三個(gè)角標(biāo)上A、B、C;對(duì)應(yīng)邊標(biāo)為a,b,c。AcbaCB圖1師：該直角三角形內(nèi)部正弦關(guān)系有哪些？師：觀察（1）（2）兩個(gè)試著發(fā)現(xiàn)有什么相同之處？常試將這兩個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)。生：分母都是b;則能化成師：觀察我們得到的這一聯(lián)立式子，分母為角A，分子對(duì)應(yīng)的為角A的對(duì)應(yīng)邊a，分母為角B，分子對(duì)應(yīng)的為角C的對(duì)應(yīng)邊c；我們這堂課主要探索三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，唯一我們沒(méi)有考慮角B，我們大膽猜想一下將改為什么樣的形式，使得式子包含三個(gè)角、三條邊。生：我們可以寫(xiě)成;在直角三角形中，則，從而我們的猜想正確。師：很棒！那么任意三角形ABC中是否有呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)特殊三角形內(nèi)部的正弦關(guān)系猜想正弦定理表達(dá)式。（三）證明猜想得出定理教師引導(dǎo)：我們知道直角三形內(nèi)部邊與角的正弦關(guān)系，接下來(lái)我們一起探索一般三角形內(nèi)部邊與角的正弦關(guān)系，顯然我們不知道，那我們?cè)鯓勇?lián)系我已學(xué)的知識(shí)呢？思考我們構(gòu)造輔助線。下面我們一起證明在銳角三角形、鈍角三角形中是否都成立？若都成立，從而我們得到在三角形內(nèi)部非常普遍的規(guī)律。來(lái)我們看圖2。cbaDBACacbABCcbaDBACacbABC圖2圖3生：我們可以通過(guò)做高，將銳角分成兩個(gè)直角三角形，從而可以運(yùn)用直角三角形內(nèi)部的正弦關(guān)系得到銳角三角形的正弦關(guān)系，即可證明;師板書(shū)：在銳角三角形中，如圖三，做,垂足為D在中，;在中，;由此得：因?yàn)椋核裕和?，在做高BE垂直AC,可以得到從而證得在銳角三角形中也成立。師：對(duì)于鈍角三角形，同樣的我們可以運(yùn)用做高法去證得，請(qǐng)同學(xué)們下來(lái)證明，并作為家庭作業(yè)。今天我們主要是應(yīng)用做高法將特殊情況推廣到一般情況，請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系以往向量、面積等知識(shí)來(lái)證明正弦定理成立。通過(guò)探索、證明，我們得到一個(gè)在三角形內(nèi)部普遍應(yīng)用的規(guī)律正弦定理。即（角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊為a、b、c）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分類、證明正弦定理，培養(yǎng)學(xué)生處理問(wèn)題的思維方式由特殊到一般，有簡(jiǎn)單到復(fù)雜，有已知到未知的去探索發(fā)現(xiàn)。（四）理解正弦定理的表達(dá)含義了解解三角形概念師：同學(xué)們觀察正弦定理的表達(dá)式：，這是一個(gè)三項(xiàng)聯(lián)立的等式，我們可以將其拆分為幾個(gè)等式？生：我們可以拆為:三個(gè)等式。師：從方程的角度思考，要求得一條邊和一個(gè)角我們至少需要知道哪些量？生：求一個(gè)角，須知道其對(duì)邊和另一個(gè)角及其對(duì)邊；求一條邊，需要知道其對(duì)角和另一條邊及其對(duì)角。師：運(yùn)用正弦定理，我們可以通過(guò)一些角和一些邊來(lái)求解另一些角和邊的過(guò)程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析正弦定理表達(dá)式，讓學(xué)生明白正弦定理的應(yīng)用方式以及解三角形的概念。（五）回顧情境現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用師：在課堂開(kāi)始留得問(wèn)題是你能測(cè)出攬繩長(zhǎng)嗎？經(jīng)過(guò)我們的探索，求證，這一問(wèn)題能解決嗎？請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)展示。生展示：已知,,AC=b=600m,由正弦定理得：則例1在三角形ABC中，已知，解三角形例2在三角形ABC中，已知，解三角形設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同類型的例子，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用的能力。（六）嘗試小結(jié)教師提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。培養(yǎng)學(xué)生思考交流，歸納總結(jié)的能力。讓學(xué)生嘗試總結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想；（2）正弦