/2025屆湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)考前模擬試題（一模）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．若拋物線上一點(diǎn)A到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別是5和3，則p的值為（

）A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或96．設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．27．過點(diǎn)的直線l與曲線相切于點(diǎn)B，則（

）A．1 B． C．2 D．8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，、分別是邊、邊上的點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為2時(shí)，（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從1500名學(xué)生（該校男女生人數(shù)之比為3:2）中抽取了一個(gè)容量為100的樣本.其中，男生平均身高為170，方差為12，女生平均身高為160，方差為38.則下列說法正確的是（）A．抽取的樣本里女生有40人 B．每一位學(xué)生被抽中的可能性為C．估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為165 D．樣本中不可能有兩名男生身高超過19010．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論不正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值11．在年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．C．直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為D．陰影區(qū)域的面積不大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，無人機(jī)在離地面高300m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為、山腳C處的俯角為，已知，則山的高度MN為m．13．五一國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動(dòng)，我快樂”的演講比賽，某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場(chǎng)順序，在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)的概率為．14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.其中a，m為實(shí)數(shù)，且.若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在雙曲線上，其一條漸近線方程為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積．16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為．若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，點(diǎn)O，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)（如圖2）．(1)求證：平面平面；(2)如果，平面平面，那么側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求平面與平面夾角的余弦值，若不存在，請(qǐng)說明理由．18．甲、乙兩位選手進(jìn)行乒乓球擂臺(tái)賽，比賽規(guī)則如下：①擂臺(tái)賽開始時(shí)，擂主由抽簽決定，甲和乙成為初始擂主的概率均為0.5；②每局比賽無平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失敗，則挑戰(zhàn)者成為新任擂主；③當(dāng)某位選手連續(xù)兩次擔(dān)任擂主〈不包含初始擂主）時(shí)，比賽立即結(jié)束，該選手獲得勝利．(1)若甲是初始擂主，求比賽在前三局內(nèi)結(jié)束的概率；(2)已知甲是初始擂主，求比賽在第四局結(jié)束的條件下甲最終獲勝的概率；(3)求甲成為最終獲勝者的概率．19．對(duì)于正整數(shù)n，定義函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；(2)證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上至少存在2個(gè)極值點(diǎn)；(3)證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有，并指出等號(hào)成立時(shí)x的取值．答案題號(hào)12345678910答案ADCCBDBBABDABD題號(hào)11答案BCD1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的模公式及復(fù)數(shù)除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，得.所以.故選：A.2．D【分析】解出集合，再根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】對(duì)于集合，由得，所以或，所以．故選：D．3．C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)求得，再利用等差數(shù)列求和公式和二次函數(shù)即可求出其最值.【詳解】假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得,所以，所以，故，則則．故選：C．5．B【分析】根據(jù)拋物線方程得出其準(zhǔn)線方程，再結(jié)合點(diǎn)到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為軸，所以，則．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，把代入可得，則．拋物線的準(zhǔn)線方程為，已知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以．把代入可得．去分母，得到．解得或．故選：B．6．D【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，得到奇偶性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到，計(jì)算即可.【詳解】令，定義域?yàn)镽,且，則為偶函數(shù).由于曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn),則只有唯一的零點(diǎn)，即，解得.故選：D.7．B【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得到斜率表達(dá)式，得到方程，解出切點(diǎn)即可得到距離.【詳解】依題意，設(shè)，由，則，則，化簡(jiǎn)得，解得，故，故．故選：B．8．B【分析】設(shè)，，，，則，，且的周長(zhǎng)為2，即，利用三角函數(shù)的和差角公式計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，于是，又的周長(zhǎng)為2，即，變形可得，于是，又，所以，.故選：B.9．ABD【分析】利用統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)計(jì)算可判斷ABC，假設(shè)有2個(gè)男生的身高超過190，可得方差，可判斷D.【詳解】因?yàn)槭欠謱佑蓸樱猿榈降嘏藬?shù)為人，故A正確；每個(gè)人被抽到的可能性為，故B正確；樣本中學(xué)生身高的平均值為，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槟猩钠骄猩骄砀邽?70，方差為12，若有2個(gè)男生的身高超過190，則方差為，故樣本中不可能有兩名男生身高超過190，故D正確.故選：ABD.10．ABD【分析】由有，結(jié)合圖像逐項(xiàng)去分析即可判斷.【詳解】由有，由圖可知的分布如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，即，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，由圖可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)的極小值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以，由圖可知當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.11．BCD【分析】對(duì)于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對(duì)稱軸變化，即可確定拋物線方程；對(duì)于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即得；對(duì)于C，當(dāng)拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，且拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí)，最大，可判斷C；對(duì)于D，求出拋物線在點(diǎn)處的切線，并求出切線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可知半個(gè)花瓣的面積小于的面積，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象的對(duì)稱性，可得、，故，即B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，且方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，此時(shí)方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，兩切點(diǎn)連線的斜率為，即切點(diǎn)的連線與直線平行或重合，故當(dāng)、時(shí)，取最大值，且其最大值為，C對(duì)；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該切線交軸于點(diǎn)，所以，半個(gè)花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選：BCD.思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對(duì)稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.12．450【分析】由直角三角形求得，再在△AMC中，由正弦定理求得，然后在直角三角形中求得．【詳解】∵，∴，∵，又，，∴，在△AMC中，由正弦定理得，∴．故450．13．/0.4【分析】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，分別計(jì)算，，再由條件概率計(jì)算公式即可求解【詳解】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，5名同學(xué)出場(chǎng)順序共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)的情況有種，所以，學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)且學(xué)生甲在學(xué)生乙前面的情況共有種，所以，則．故14．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，根據(jù)恒成立，只需，即可求解.【詳解】，由題意得，解得，當(dāng)時(shí)，畫出上的函數(shù)的圖象，

是由向右平移1個(gè)單位得到，結(jié)合圖象，要想恒成立，只需，解得又，故，所以a的取值范圍為.故答案為:方法點(diǎn)睛：根據(jù)恒成立求解參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．15．(1)；(2).【分析】（1）由漸近線方程，及點(diǎn)在雙曲線上，可聯(lián)立求得，，可得雙曲線方程；（2）由題意，寫出直線的方程，與雙曲線聯(lián)立，可求得，數(shù)形結(jié)合，可得的面積．【詳解】（1）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為，又其漸近線方程為，即①，又點(diǎn)在雙曲線上，代入得②，聯(lián)立①②，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線過點(diǎn)且傾斜角為，故其方程為，將其代入雙曲線方程，聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得，解得和，代入直線，求得和，即直線與雙曲線的交點(diǎn)，所以.16．(1)；(2).【分析】（1）首先解出，再降次作差因式分解得，則，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）先求出，再利用等比數(shù)列求和公式即可得，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，所以．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，兩式相減可得：，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，故?shù)列是以，公差的等差數(shù)列，所以.（2）由，得，即，，是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以.因?yàn)?，即，即，所以?7．(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）利用三線合一得，，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可.（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量，根據(jù)線面位置關(guān)系的空間向量的證明方法即可求出的位置，再利用面面角的空間向量求法即可.【詳解】（1）因?yàn)榍?，故四邊形是平行四邊形，則，又為等腰梯形且，可得是等邊三角形．故四邊形BCEA為菱形，是等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，同理可證．又，且平面，所以平面，又BE在平面BCDE內(nèi)，所以平面平面.（2）存在點(diǎn)P，使得平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又，建立以為原點(diǎn)，所在直線為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，要使平面，則，即，解得，故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，即，設(shè)平面與平面夾角為，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為．18．(1);(2);(3).【分析】（1）分甲連勝兩局、乙連勝兩局、甲勝第一局乙連勝后兩局和乙勝第一局甲連勝后兩局計(jì)算概率即可；（2）合理假設(shè)事件，利用獨(dú)立性乘法公式以及互斥事件加法公式和條件概率公式即可得到答案；（3）分別計(jì)算不同狀態(tài)下甲乙守擂成功的概率，從而得到方程組，解出即可.【詳解】（1）甲是初始擂主時(shí)，比賽在前三局內(nèi)結(jié)束包含以下情況：甲連勝兩局，概率為，乙連勝兩局，概率為；甲勝第一局乙連勝后兩局，概率為；乙勝第一局甲連勝后兩局，概率為；設(shè)事件A為比賽在前三局內(nèi)結(jié)束，則；答：比賽在前三局內(nèi)結(jié)束的概率為.（2）設(shè)事件為比賽在第四局結(jié)束，設(shè)事件為甲最終獲勝，設(shè)事件為乙最終獲勝．則比賽在第四結(jié)局結(jié)束且甲最終獲勝，只可能是甲勝第一局，乙勝第二局，甲連勝后兩局，故.比賽在第四結(jié)局結(jié)束且乙最終獲勝，只可能是乙勝第一局，甲勝第二局，乙連勝后兩局，則其概率為，故；故比賽在第四局結(jié)束條件下甲最終獲勝的概率；答：比賽在第四局結(jié)束的條件下甲最終獲勝的概率為.（3）定義：狀態(tài)：當(dāng)前擂主為甲，且未連勝．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前播主為甲，且連勝一次．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前播主為乙，且未連勝．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前擂主為乙，且連勝一次．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率