第6章平面圖形的認識（一）

6.2角

?目標導航

課程標準課標解讀

1.掌握角的概念及角的表示方法，并能進

行角度的換算及運算；

2.掌握借助三角尺或量角器畫角的方法，1.理解角的有關概念；掌握角的表示方法

并熟悉角大小的比較方法；

2.會進行角的度量，以及度、分、秒的互化

3.掌握角的和、差、倍、分關系，并會進

行有關計算；

做淀口識精講

知識點01角的概念及表示

1.角的定義：

（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點是點0，邊是射線0A、0B.

（2）定義二：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形，射線旋轉時經過的平

面部分是角的內部.如圖2所示，射線0A繞它的端點0旋轉到0B的位置時，形成的圖形叫做角，起始位

置0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.

2.角的畫法

(1)用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角.

(2)用后角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角.

【微點撥】

(1)兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的K短無關.

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點0旋轉，當終止位置OB和起始位置0A成一條直線時，所形成

的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，0B和0A重合時，所形成的先叫做周角.

--------------------

BOA4(B)

平角周角

圖1圖2

【即學即練1】1.如圖，在燈塔。觀測小島4位于南偏西63。的方向，同時小島。在燈塔。的北偏東27。

的方向，那么NBOC的度數(shù)為()

A.1260B.144°C.1530D.117°

【答案】B

【分析】

分別求出口。。&匚80M即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，由題意nCO￡-27c,1BOF-63^

4OM=900-63°=27。,

□BOC=EMOE+nCOE=27o+900+27o=l44°,

故選:B.

【即學即練2】2.下列四個圖形中，能用Nl、NAOB、N。三種方法表示同一角的圖形是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)角的表示方法逐項判斷即可得.

【詳解】

A、Nl、NAOB是同一個角，但NO不是，此項不符題意;

B、能用Nl、ZAOB、N。表示同一角，此項符合題意；

C、Nl、NAO6是同個角，但NO不是，此項不符題意;

D、圖中Nl、ZAOB.NO分別表示三個不同的角，此項不符題意；

故選：B.

知識點02角的比較與運算

1.角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等價，每一份就是1。的角，

1°的《為1分，記作“1'”，1'的《為1秒，記作“1〃”這種以度、分、秒為單位

6060

的角的度量制，叫做角度制.

1周角=360“，1平角=180“，r=60',r=60".

【微點撥】

在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一

位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位.

2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1：度量比較法.先用量隹器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NA0B和NA'O'B'的大?。喝缦聢D，由圖(1)可得NAOBVNA'O'B'；由圖⑵可得NA0B

=ZAZO'B'；由圖(3)可得NA0B>NA'O'B'.

。)(2)(3)

3.角的和、差關系

如圖所示，NA0B是N1與N2的和，記作：NAOB=N1+N2：N1是NAOB與N2的差，記作：Zl=

ZA0B-Z2.

【微點撥】

（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：

①對中（角的頂點與量角器的中心對齊）;

②重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）；

③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45°、60°、90c夕卜，根據(jù)角的和、差關系，還可以畫出15°,75。，

105°,120°,135°,150°,165°的角.

【即學即練3】3.如圖，點A在點。的北偏西60。的方向上，點B在點O的南偏東20。的方向上，那么ZAOB

的大小為（）

A.110°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】

結合圖形，然后求出OA與西方的夾角的度數(shù)，再列式計算即可得解.

【詳解】

解：□點A在點O北偏西60。的方向上,

0A與西方的夾角為9()。-60。=3()。,

又1點B在點O的南偏東20。的方向上，

□匚AOB=30°+90o+20°=l40°.

故選：C.

【即學即練4】4.已知Nl=25024',Z2=25.24°,N3=1524',下列說法正確的是()

A.Z1=Z2B.Z1=Z3C.2D.Z2>Z3

【答案】B

【分析】

將各角的單位統(tǒng)一，繼而可得出答案.

【詳解】

解:□1=25°24,=1524,,

C2=25.24°=l514.4\

口匚1=口3,D2<D3,01>02,

故選B.

Q能力拓展

考法01角的表示法

角的幾何符號用“N”表示，角的表示法通常有以下四種:

表示方法圖示記法適用范圍

/LAOB任何情況都適

(1)用三個大

或用，表示1直點的

寫字母表示

0BZ.BOA字母寫在中間

以某一點為頂煮

(2)用一個大的角只有一個

匕。

寫字母41示/時，可以用頂點

O表示角

(3)用阿拉

Z.1任何情況都適用

伯數(shù)字表示/

(4)用希臘字/

La任何情況都適用

母表示

在表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，再注上相應數(shù)字或字母.

【典例1】如圖，Zl=30°,則射線OA表示為()

|北

A.南偏西60B.南偏東60C.南偏西30D.南偏東30

【答案】B

【分析】

根據(jù)方向角的定義，即可解答.

【詳解】

解：［90°-30°=60°,

C射線OA表示為南偏東60°.

故選:B.

考法02角平分線

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，0C是NAOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

Z.AOC=ZBOC=-ZAOB.

2

由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣.

【典例2】如圖，點0為線段4。外一點，點M，C,B,N為40上任意四點，連接OM,0C,OB,

ON,下列結論不正確的是（）

A.以。為頂點的角共有15個

B.若MC=C8,MN=ND,則C0=2OV

C.若M為AB中點，N為CD中點,則腸V=g（AO-C8）

3

D.若OM平分ZAOC,QN平分NBOQ,ZAOD=5NC0B,則NMON=R/MOC+NBON）

【答案】B

【分析】

由于B選項中的結論是CD=2CV,而CD=CN+MZ因此只要判斷NO和CN是否相等即可，根據(jù)

ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN,由此得出B選項錯誤.

【詳解】

6x5

解：以o為頂點的角有一=15個，

2

所以A選項正確;

?：MN=ND、

:.ND>CN,

;.CD=CN+ND>CN+CN啷CD>2CN.

所以B選項錯誤；

由中點定義可得：MB=-ABNC=-CD,

2t2

:.MN=MB+CN-CB=LAB+LCD-CB=L(AB+CD)-CB,

222、,

AB+CD=AD+CB、

MN=L(AD+CB)-CB=L(AD-CB),

所以C選項正確；

由角平分線的定義可得：NAOC=2/MOC,ZBOD=2NB0N,

?/ZAOD=ZAOC+/COB+/DOB=5/COB,

2ZMOC+2/BON+ABOC=5/BOC,

."MOC+/BON=2/30。，

AMON=4Moe+NCOB+/BON=2ZCOB+ZCOB=3ZCOB

33

-(ZA/OC+/BON)=-x2ZC0B=34C0B,

3

:"MON=|(AMOC+/BON)、

所以D選項正確,

所以不正確的只有B，

故選：B.

di分層提分

題組A基礎過關練

1.已知乙4=25。12',ZC=25.2°,下列結論中，正確的是（）

A.ZA<ZCB.NA=/CC.ZA>ZCD.兩個角的大小不確定

【答案】B

【分析】

根據(jù)度分秒之間的換算，可以將匚c換為度分秒的形式，即可比較nA和DC的大小，本題得以解決.

【詳解】

解：□□人=25。12',□C=25.2°=25°+0.2x60r=25°12,,

□EA=DC,

故選:B.

2.鐘表在3點半時，它的時針和分針所成的銳角是（）

A.15°B.70°C.75°D.90°

【答案】C

【分析】

根據(jù)鐘表上每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角是3（r.和3點半時，時針和分針的位置，即可計算.

【詳解】

鐘表在3點半時，時針正好在3和4的中間，分針在6.鐘表有12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角是

360。e12=30。,所以半個格為150.所以3點半時時針與分針所成的夾角為30°x2+15。=75。.

故選C

3.某人從A點出發(fā)向北偏東60。方向走一段距離到B點，再向南偏西15。方向走一段距離到達C點.則/A3C

等于（）

A.45°B.75°C.105°D.135°

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意畫出方位圖，利用方向角的概念和平行內錯角相等即可求解.

【詳解】

從圖中發(fā)現(xiàn)：

ZABC=60°-15°=45°

所以A選項是正確.

4.已知OC平分DAOB,UAOB=64°,則DAOC的度數(shù)是（）

A.64°B.32°C.128°D.不能計算

【答案】B

【分析】

直接根據(jù)角平分線的定義得出AOC=iAOB,再計算即可.

2

【詳解】

解：□□AOB=64°,0C平分:1A0B,

□EAOC=—CAOB=—X64°=32°.

22

故選:B.

5.以下說法正確的是（）

A.兩點之間直線最短B.延長直線A8到點E,使BE=AB

C.相等的角是對頂角D.連結兩點的線段的長度就是這兩點間的距離

【答案】D

【分析】

A.直線不能度量長短；

B.直線不能度量長度，不能延長；

C.相等的角不止僅有對頂角，還有等腰三角形的兩個底角等；

D.根據(jù)線段的定義解題.

【詳解】

A.兩點之間，線段最短，故A.錯誤；

B.廷長線段AB到點E,使BE=AB,故B.錯誤;

C.等腰三角形的兩個底角相等，但它們不是對頂角，故C.錯誤；

D.連結兩點的線段的長度就是這兩點間的距離，故D.正確.

故選：D

6.10時整，鐘表的時針與分針之間所成的角的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【分析】

由于鐘表的指針恰好是10點整，時針指向10,分針指向12,根據(jù)鐘面被分成12大格，每大格為30度得

到此時鐘表上時針與分針所夾的笆角的度數(shù)=2x30。.

【詳解】

解：鐘表的指針恰好是10點整,時針指向10,分針指向12,

所以此時鐘表上時針與分針所夾的銳角的度數(shù)=2x300=60。.

故選：B.

7.凌晨3點整，鐘表的時針與分針的夾角是（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】

根據(jù)鐘表一大格表示30°進行計算即可得解.

【詳解】

如圖，凌晨3點整，時針指向3,分針指向12,每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，則其夾角為30°x3=90。，

故選D.

?L

3

C765、

題組B能力提升練

1.如圖，ZAOB=120°,射線。。是NAO8內部任意一條射線，0D,0E分別是NAOC,/3。。的平

分線，則/。。七的度數(shù)為（）

A.60°B.90°C.30°D.隨OC位置的變化而變化

【答案】A

【分析】

先求JDOC=-CAOC,EEOC=-CBOC,后利用NDOE=(Z]DOC+匚EOC計算即可.

22

【詳解】

□0。，OE分別是NAOC，NBOC的平分線，

CDOC=-DAOC,DEOC=—HBOC,

22

ZDOE=rDOC+CEOC=—DAOC4-—DBOC

22

=-(UAOC+DBOC),

2

AOC+匚BOC=ZAOB=120°,

UZDOE=-X120-60O,

故選A.

2.下列說法正確的是（）.

A.兩點之間，直線最短B.連接兩點間的線段，叫做這兩點的距離

C.兩條射線組成的圖形叫做角D.經過兩點有一條直線，并且只有一條直線

【答案】D

【分析】

根據(jù)兩點之間線段最短性質，可判斷選項A；根據(jù)兩點之間距離的性質，可判斷選項B：根據(jù)角的定義分析,

可判斷選項C；根據(jù)直線的性質分析，可判斷選項D,即可得到答案.

【詳解】

兩點之間，線段最短，故選項A錯誤；

連接兩點間的線段長度，叫做這兩點的距離，故選項B錯誤；

具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故選項C錯誤；

經過兩點有一-條直線，并且只有?條直線，故選項D正確；

故選：D.

3.已知0C是DAOB內的一條射線，下列條件中不能確定0C是DAOB的平分線的是（）

A.□AOC=nBOCB.□AOB=2nAOCC.□AOC+nCOB=nAOBD.DBOC=-CAOB

2

【答案】C

【分析】

直接利用角平分線的定義分別分析得出答案.

【詳解】

如圖：

A、□AOC=LBOC,能確定0C平分IZIAOB,故此選項不合題意；

B、□AOB=2DAOC,能確定0C平分AOB,故此選項不合題意；

C、□AOC+DCOB=UAOB,不能確定0C平分二AOB,故此選項符合題意；

D、EBOC=—AOB,能確定0C平分AOB,故此選項不合題意.

2

故選：C.

4.某一時刻鐘表上時針和分針所成的夾角是105°,那么這一時刻可能是（）

A.8點30分B.9點30分

C.10點30分D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】

根據(jù)時間得到分針和時針所在位置，算出夾角度數(shù)，判斷選項的正確性.

【詳解】

A選項，分針指向6,時針指向8和9的中間，夾角是30。乂2+15。=75。；

B選項,分針指向6,時針指向9和10的中間,夾角是30。><3+15。=105。：

C選項，分針指向6,時針指向1。和II的中間，夾角是3O°x4+150=135。

D選項錯誤，因為B是正確的.

故選：B.

5.已知NAO8=80。，NAOC=30°,平分N8。。，則NBOD的大小為.

【答案】25。或55。

【分析】

分OC在NA08的內部和外部兩種情況進行討論，再利用角平分線的性質和角的和差關系求解即可.

【詳解】

解：當OC在NAO8的外部時，如圖

ZAO8=80。，ZAOC=30°,

BOC=DBOA+DAOC=80°+30°=110°；

0。平分N9OC,

NBOD=-^BOC=-xllO=55*

22

當OC邊在匚BOA的內部時，如圖

ZAO8=80。，ZAOC=30°,

□匚BOC=□BOA-DAOC=80°-30°=50°；

□0。平分N3OC,

NBOD=-/BOC=-x50=25°

22

故答案為：25?；?5。

6.射線04OB,OC,。力是同一平面內互不重合的四條射線，NAOB=60。，NAOD=40。，ZAOB

=3NBOC,則NCOD的度數(shù)為.

【答案】40?；?0?；?20°

【分析】

分四種情況畫圖分別進行解答，即匚ODffiDAOB的內部，OC7EUAOB的外部，LODffiDAOB的外部，

OC在UAOB的外部，DOD在DAOB的外部，OC在nAOB的內部，DOD在匚AOB的內部，0C在E1AOB

的內部.

【詳解】

解：□當OD在口AOB的內部，OC在71AOB的外部，如圖1所示；

□CAOB=60°,[AOD=40°,CAOB=3BOC,

□EBOD=nAOB-DAOD=60o-40°=20°,

LBOC=-CAOB=iX60°=20°,

33

匚C0D=1BOC+rBOD=20°+20o=4()0；

:］當OD在匚AOB的外部，OC在DAOB的外部，如圖2所示;

oooo

□COD=IDOA+CAOB+EBOC=40+60+20=120;

□當OD在OAOB的外部，OC在nAOB的內部，如圖3所示；

匚COD=2AOD+匚AOC=「AOD+(DAOB-DBOC)=40。+(60°-20°)=80°；

1當OD在DAOB的內部，OC在［JAOB的內部時，OC與OD直合，不符合題意;

所以,DCOD的度數(shù)為40。或80?；?20°,

故答案為:40?；?0?；?20。.

7.比較兩個角N4O8和NC8的大小關系：小明用度量法測得NAO8=45。，ZCOD=50°；小麗采用

疊合法比較這兩個角的大小，她將NAO4和NCOD的頂點重合，邊03與。。重合，邊OA和OC置于重

合邊的同側，則邊OA.（填序號：□“在NCOD的內部”；□“在NCOD的外部"：丁與邊OC重:合”）

【答案】口

【分析】

將兩個角的頂點重合，一邊重合，另一邊置于重合邊的同側，哪個角的另一條邊在外面，就是哪個角大；

據(jù)此即可得答案.

【詳解】

［將N4O4和/COD的頂點重合,邊08與OD重合，邊OA和OC置于重合邊的同側，ZAOB<ZCOD；

邊OA在NC。。的內部，

故答案為：

題組C培優(yōu)拔尖練

1.在銳角NAO3內部由O點引出3種射線，第I種是將NAO8分成10等份；第2種是將NAO8分成12

等份；第3種是將NAQ8分成15等份，所有這些射線連同OA、O8可組成的角的個數(shù)是（）

A.595B.406C.35D.666

【答案】B

【分析】

設銳角NAOB=a,第1種中間由9條射線，每個小角為二，第2種中間由11條射線，每個小角為巴,

1012

第3種中間由14條射線，每個小角為巴，利用NAOB內部的三種射線與OA形成的角相等求出重合的射

15

線，第一種第m被倍小角為器，第二種n倍小角得，與第三種p倍小角,相同，則仁=已=尚,

先看三種分法中無同時重合的，再看每兩種分法重合情況，第1種，第2種,共重合1條，第1種，第3種，

共重合4條，，第2種，第3種,共重合2條，在N4O3中一共有射線數(shù)29條射線，29條射線分成的小角最

多28個,所有角=1+2+3+…+28求和即可.

【詳解】

設銳角ZAOB=a

第I種是將NAOB分成1()等份；中間由9條射線，每個小角為養(yǎng)，

第2種是將NAOB分成12等份：中間由“條射線，每個小角為色，

12

第3種是將NAO3分成15等份，中間由14條射線，每個小角為高，

設第1種，第2種，第3種中相等的角的射線重合為1條,

第一種第m倍小角為器，第二種n倍小角得，與第三種p倍小角皆相同

先看三種分法中同時重合情況機:拉：〃=10：12：15除OA,OB外沒有重合的,

再看每兩種分法重合情況

笫I種，笫2種，〃2：”=5：6,笫一種笫5條與笫二種笫6條重合，共重合1條，

第I種，第3種，m\p=2：3,m=2,4,6,8,與P=3,6,9,12重合，共重合4條,

第2種，第3種，H：p=4:5,n=4,8與p=5,10重合，共重合2條，

在乙408中一共有射線數(shù)=2+9+11+14-1-2-4=29條射線,

29條射線分成的所有角=1+2+3+…+28=3x28x(28+1)=406個角.

故選擇：B.

2.鐘表上8點30分時，時針與分針的夾角為()

A.15°D.30°C.75°D.60°

【答案】C

【分析】

鐘表上共有12個大格，每一個大格的度數(shù)是360'+12=30'，再根據(jù)8點3()分時時針從8開始走了一大

格的30+60=1大格，分針指向6,時針與分針夾角為2+'=?大格，計算出角度即可.

222

【詳解】

鐘表上共有12個大格，每一個大格的度數(shù)是360'+12=30'，8點30分時時針與分針的夾角是2+1二:大

22

格，則夾角度數(shù)為30°x3=75°,

2

故選：C.

3.把8.32。用度、分、秒表示正面的是()

A.8。3'2"B.8030'2Q"C.8018'12"D.8019*12"

【答案】D

【分析】

先把0.32?；煞?，再把0.2'化成秒，即可得到答案.

【詳解】

0.320=0.32x60'=192,

02=0.2x60"=12〃，

8.32。=8。19'12〃，

故選：D.

4.射線0C在NAOB內部，下歹］條件不能說明0C是NAO3的平分線的是（）

A.ZAOC=-ZAOBB.ZBOC=-ZAOB

2