第02講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（模擬精練+真題演練）1．（2023·福建寧德·?？级＃┰陂L方體中，和與底面所成的角分別為和，則異面直線和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，可作圖如下：則，，設(shè)，在中，易知，在中，，，，在長方體中，易知，則為異面直線與的夾角或其補角，在中，，則，同理可得，，由余弦定理，則.故選：C.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預(yù)測）已知正方體，棱長為1，，分別為棱，的中點，則（

）A．直線與直線共面 B．不垂直于C．直線與直線的所成角為60° D．三棱錐的體積為【答案】D【解析】如圖，以為原點，以，，所在直線分別為，，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，

對于A，假設(shè)直線與直線共面，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∵，∴，矛盾，∴直線與直線不共面，A錯誤；對于B，∵，，∴，∴，∴，B錯誤，對于C，設(shè)直線與直線所成的角為，∵，，∴，∴，∴C錯誤，對于D，∵平面，∴，D正確．故選：D．3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知三棱錐中，平面ABC，，，，，D為PB的中點，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，取BC的中點E，連接AE，DE，

則，或其補角即為異面直線AD與PC所成的角．由，，，則有，所以，E為BC的中點，則，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根據(jù)余弦定理可得．所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為.故選：D4．（2023·北京海淀·北航實驗學校校考三模）已知正方體中，點M為線段上的動點，點N為線段上的動點，則與線段相交且互相平分的線段MN有（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】在正方體中，，而平面，即有平面，

又與線段相交，則交點必在直線上，而平面，于是平面，平面，因為，平面，即平面，而平面平面，因此，即點為的交點，又線段與互相平分，取的中點，連接并延長交于，顯然，于是為的中點，所以當點與重合，點與重合時，與線段相交且互相平分，這樣的直線只有1條.故選：B5．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）已知，，是三個平面，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行【答案】C【解析】ABC選項，因為，，，所以，因為，所以，所以直線a，b，c必然交于一點（即三線共點），AB錯誤，C正確；D選項，假設(shè)直線c與平面平行，假設(shè)直線c與平面α平行，由，可知，這與矛盾，故假設(shè)不成立，D錯誤.故選：C6．（2023·陜西延安·校考一模）在通用技術(shù)課上，某小組將一個直三棱柱展開，得到的平面圖如圖所示．其中，，，是上的點，則在直三棱柱中，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．與是異面直線B．C．平面將三棱柱截成一個五面體和一個四面體D．的最小值是【答案】D【解析】由題設(shè)，可得直三棱柱，如圖．由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知:而是相交直線，所以與是異面直線，項正確；因為，，,所以，又，且，平面，所以平面，又平面，故B正確；由圖知，平面將三棱柱截成四棱錐和三棱錐，一個五面體和一個四面體，C項正確；將平面和平面展開，展開為一個平面，如圖，

當共線時，的最小值為，D錯誤．故選：D7．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校校考模擬預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三點共線 B．四點異不共面C．四點共面 D．四點共面【答案】C【解析】因為,則四點共面.因為,則平面,又平面,則點在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點共線;從而四點共面,都在平面內(nèi)，而點B不在平面內(nèi)，所以四點不共面，故選項B正確；三點均在平面內(nèi)，而點A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點O是交點，所以點M不在平面內(nèi)，即四點不共面，故選項C錯誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點共面，故選項D正確.故選:C.8．（2023·四川成都·樹德中學?？寄M預(yù)測）為棱長為2的正方體，點分別為，的中點，給出以下命題：①直線與是異面直線；②點到面距離為；③若點三點確定的平面與交于點，則，正確命題有（

）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】對①，由圖可知，不在平面內(nèi)，故直線與是異面直線，故①正確；

對②，取的中點，過作，連接，由為2的正方體，是的中點，可得平面，因為平面，所以，因為，，，平面，所以平面，故即為點到面距離，又，所以四點共面，所以即為點到面距離，由條件可求，，，，所以，所以，因為，所以點到面距離為，故②錯誤；

對③，如圖，將面擴展，取，則，取的中點，連接，則與的交點即為點三點確定的平面與的交點，因為，所以為的中點，又，所以，故③錯誤.

故選：B.9．（多選題）（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）下列命題正確的有（

）A．空間中兩兩相交的三條直線一定共面B．已知不重合的兩個平面，則存在直線，使得為異面直線C．有兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．過平面外一定點，有且只有一個平面與平行【答案】BD【解析】對于A，空間中兩兩相交的三條直線交于同一點時，可能共面也可能不共面，A錯誤；對于B，不重合的兩個平面，可能平行或者相交，

不論是平行還是相交，都存在直線，使得為異面直線，B正確；對于C，如圖示幾何體滿足兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形，

但該幾何體不是棱柱，C錯誤；對于D，由于過平面外一定點，有且只有一條直線m與平面垂直，過點P有且只有一個平面與m垂直，則，故過平面外一定點，有且只有一個平面與平行，D正確，故選：BD10．（多選題）（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預(yù)測）已知空間中的平面，直線，，以及點，，，，則以下四個命題中，不正確的命題是（

）A．在空間中，四邊形滿足，則四邊形是菱形.B．若，，則.C．若，，，，，，則.D．若和是異面直線，和是平行直線，則和是異面直線.【答案】ABD【解析】對于A項，正四面體的各條棱長均相等，四邊形為空間四邊形，不是菱形，故A項錯誤；對于B項，若，則或與相交，所以或（此時為與的交點），故B項錯誤；對于C項，由已知可得，，，即直線上有兩個點在平面內(nèi)，根據(jù)基本事實2可知，故C項正確；對于D項，如圖正方體中，和異面（是異面直線），（），但是（相交），故D項錯誤.故選：ABD.11．（多選題）（2023·廣東湛江·校考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)C．時，過A，Q，M三點的平面截正方體所得截面的周長為D．時，【答案】ABC【解析】在中，因為為的中點，所以，所以與共面，所以A正確；由，因為到平面的距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；當時，過三點的正方體的截面是等腰梯形，

所以平面截正方體所得截面的周長為，所以C正確；當時，可得為的中點,為的中點，則，所以不成，所以D不正確．故選：ABC

12．（多選題）（2023·云南曲靖·?？既＃┤鐖D，棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，則（

）

A．直線為異面直線B．平面C．過點的平面截正方體的截面面積為D．點是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），平面，則的取值范圍是【答案】BC【解析】對于A，連接，

由題意可知，因為，所以，所以共面，故選項A錯誤；對于B，因為，平面，平面，所以平面，同理，平面，且，平面,所以平面平面,連結(jié)，因為，，，且平面，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面，所以平面，且平面平面，所以平面，故選項B正確；

對于C，連接，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過點的平面截正方體的截面，該四邊形為等腰梯形，其上底，下底，腰,高為，所以截面面積為，故選項C正確；對于D，取的中點，的中點H，連結(jié)，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，因為點是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），平面，所以點的軌跡為線段，連接，

在中，，點到的距離為，的取值范圍為，故D錯誤.故選：BC13．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是.【答案】/【解析】在棱長為2的正方體中，取中點，連接，如圖，

因為為的中點，有，則四邊形是平行四邊形，于是，又，即有四邊形是平行四邊形，因此，則是異面直線與所成的角或補角，而為底面的中心，則，又平面，從而平面，而平面，則，在中，，于是，所以異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：14．（2023·四川涼山·三模）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為．【答案】【解析】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過且平行于，故平面經(jīng)過的中點，連接，得截面，易知截面是邊長為的菱形，其對角線，，截面面積．故答案為：．15．（2021·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點共線；②若三條直線互相平行且分別交直線于三點，則這四條直線共面；③若直線異面，異面，則異面；④若，則.【答案】①②【解析】對于①，設(shè)平面平面，因為，所以平面，所以，同理，，故三點共線，①正確；對于②，因為，所以可以確定一個平面，因為所以，所以，又，所以，因為，所以或，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；對于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯誤，如下右圖；對于④，，但，所以④錯誤，如下左圖.故正確的命題為①②.故答案為：①②16．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為．【答案】【解析】取上靠近點的一個四等分點，連接，，因為，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以且，過點作，因為，所以四邊形為平行四邊形，則且，所以且，則截面為平行四邊形，由直四棱柱的性質(zhì)可得，，，，在△中，由余弦定理得，，所以，則截面的面積為；故答案為：6

17．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學校考三模）如圖，正方體中，直線平面，，.(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線，使得，并說明理由；(2)設(shè)點A與（1）中所作直線確定平面.①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；②請在備用圖中作出平面截正方體所得的截面，并寫出作法.【解析】（1）由題意，P、Q分別為和的中點吋，有，證明過程如下：連接，取和中點分別為P、Q，連接，∵，∴一定過經(jīng)過點E,∴PQ即為所求作的l.∵P、Q分別為和的中點，∴P、Q為的中位線，∴，且PQ過經(jīng)過點E，∵正方體的的上底面為正方形.∴，∵，∴，又∵正方體的側(cè)棱垂直底面，，∴，又∵，平面，.∴平面，∵平面，∴，即；（2）①連接AP，AQ，∵正方體中，有AD，DC，DD兩兩垂直，以D點為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方體邊長為2，則有，，，，，所以，，∵正方體的側(cè)棱垂直底面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.設(shè)平面，即平面APQ的法向量，則，.∴，，即令，則，.∴平面APQ的一個法向量.，，，設(shè)平面與平面ABCD的夾角的平面角為，則；②設(shè)直線交于，連接分別交于，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面，如圖所示.18．（2022·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預(yù)測）如圖，在正四面體A-BCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且，．(1)求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上；(2)若，求點B到平面EFGH的距離．【解析】（1）因為，，所以，又，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點共面，且直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，設(shè)，因為，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上．（2）連結(jié)EG，BG，點B到平面EFGH的距離為d，正四面體的棱長為2易知該正四面體的高為，所以E到平面BFG的距離為，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距離為，而G到BF的距離也為，則．由可得：，故點B到平面EFGH的距離為．19．（2022·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，，，分別是棱，，，的中點．(1)求證：，，，四點共面，記過這四點的平面為，在圖中畫出平面與該正方體各面的交線（不必說明畫法和理由）；(2)設(shè)（1）中平面與該正方體六個面所成銳二面角大小分別為（=1，2，3，4，5，6），求的值．【解析】（1）連接，，，因為，分別是棱，的中點，所以．又因為，分別是棱，的中點，所以．故，所以，，，四點共面．分別取和的中點為和，連接，，，由正方體性質(zhì)得，，，所以多邊形共面，所以平面與該正方體各面的交線如下圖（多邊形）所示．（2）以為坐標原點，以的方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則設(shè)平面的法向量為，即，可取又平面的一個法向量為，故．因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故所以，.1．（2013?安徽）在下列命題中，不是公理的是A．平行于同一個平面的兩個平面平行 B．過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有點都在此平面內(nèi) D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】【解析】，，經(jīng)過人類長期反復(fù)的實踐檢驗是真實的，不需要由其他判斷加以證明的命題和原理故是公理；而平行于同一個平面的兩個平面平行是定理不是公理．故選：．2．（2013?江西）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，正方體的六個面所在的平面與直線，相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，，那么A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【解析】由題意可知直線與正方體的上底面平行在正方體的下底面上，與正方體的四個側(cè)面不平行，所以，直線與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，所以，所以．故選：．3．（2005?陜西）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有A．3個 B．4個 C．6個 D．7個【答案】【解析】空間中不共面的四個定點構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐，①當平面一側(cè)有一點，另一側(cè)有三點時，即對此三棱錐進行換底，則三棱錐有四種表示形式，此時滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個，②當平面一側(cè)有兩點，另一側(cè)有兩點時，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對棱，因三棱錐的相對棱有三對，則此時滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個，所以滿足條件的平面共有7個，故選：．4．（2019?上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系A(chǔ)．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面【答案】【解析】如圖1，可得、、可能兩兩垂直；如圖2，可得、、可能兩兩相交；如圖3，可得、、可能兩兩異面；故選：．5．（2016?上海）如圖，在正方體中，、分別為、的中點，則下列直線中與直線相交的是A．直線 B．直線 C．直線 D