1、向量空間的概念2、向量空間的基與維數(shù)3、向量的坐標(biāo)教學(xué)要求：*(1)了解n維向量空間的概念，了解Rn

的基底、子空間及其維數(shù)的概念，了解向量在不同基底下的坐標(biāo)變換。(2)了解n維向量內(nèi)積的概念，會用施密特(Schmidt)方法將線性無關(guān)向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化。(3)了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。1、向量空間的定義定義4.1

設(shè)V

為數(shù)域R上的n維向量的非空集合，且滿足：①對加法封閉：若α∈V，β∈V，則α+β∈V；②對數(shù)乘封閉：若α∈V，k∈R，則

kα

∈V；那么就稱向量集合V為數(shù)域R上的向量空間（VectorSpace），簡稱向量空間．說明：（1）由定義，V中存在零向量。V中任一向量的負(fù)向量也在V中。O=0α

∈V，α=(-1)α

∈V（2）一般情況下，向量空間中有無限多個向量。（3）加法及乘數(shù)兩種運算統(tǒng)稱為線性運算，因而向量空間也可理解為關(guān)于線性運算封閉的非空集合?！纠?.1】全體3維向量構(gòu)成的集合｛α

=(a1,a2,a3)T|ai

∈R(i=1,2,3)｝是一個向量空間,記為R3

，即R3=｛α

=(a1,a2,a3)T|ai

∈R(i=1,2,3)｝。【例4.2】

全體n維實向量構(gòu)成的集合｛α

=(a1,a2,…,an)T

|ai

∈R(i=1,2,…,n)｝是一個向量空間,記為Rn,即Rn

=｛α=(a1,a2,…,an)T

|ai

∈R(i=1,2,…,n)｝?！纠?.3】集合因為，若所以，集合V

對加法與數(shù)乘運算封閉！因此V是一個向量空間。是一個向量空間，其中V中的每個向量的第一個分量為零。則即V對加法運算封閉!即V對數(shù)乘運算封閉!【例4.4】

集合即集合V對數(shù)乘運算不封閉！故V不是一個向量空間。不是一個向量空間，其中V中的每個向量的第一個分量為常數(shù)“1”。因為，若取常數(shù)k=2,則（第1個分量為2，不等于1）【例4.5】由兩已知向量α,β

的全體線性組合構(gòu)成的集合是一個向量空間。事實上，因為V中任意兩個向量這個向量空間V稱為由α,β

生成的向量空間，記作L(α,β).所以，集合V

對加法與數(shù)乘運算封閉！則即V對加法運算封閉；即V對數(shù)乘運算封閉，一般地，由向量組α1,α2,…,αm所生成的向量空間記為例如：由基本單位向量組ε1,ε2,…,εn所生成的向量空間為Rn,即Rn={α=(a1,a2,…,an)T

|α=a1ε1+a2ε2

+…+anεn,ai

∈R(i=1,2,…,n)

}【例4.6】

齊次線性方程組的解集是一個向量空間(稱為齊次線性方程組的解空間)。事實上：若齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為

1,

2,…,

n-r

，則通解集合為即解集S可以看成是

1,

2,…,

n-r

生成的向量空間。若向量α∈V1,則α可由α1,α2,…,αm線性表示，又因α1,α2,…,αm與β1,β2,…,βt

等價，故α也可由β1,β2,…,βt線性表示，所以α∈V2

，即V1

V2.同理，若向量β∈V2

，則β∈V1，即V2

V1

。因此V1=V2，即等價的向量組生成的向量空間相同?！咀C】設(shè)向量組α1,α2,…,αm與β1,β2,…,βt

等價，記它們生成空間為【補(bǔ)例1】證明：等價的向量組生成的向量空間是相同的。

向量空間的維數(shù)定義4.2

如果向量空間V中有r個線性無關(guān)的向量，且V中任意r+1個向量均線性相關(guān)，則稱V為維向量空間，或者說V的維數(shù)是r，記為dim(V)=r。

注：(1)由定義，只有零向量的向量空間的維數(shù)規(guī)定為0，即

dim{O}=0.(3)對于向量空間Rn，由于n維基本單位向量組ε1,ε2,…,εn線性無關(guān)，且n維向量都可由其線性表示，所以dim{Rn}=n.(4)空間的維數(shù)是空間的重要數(shù)字特征，這一點在以后的學(xué)習(xí)中可逐步體會到。(2)空間的維數(shù)與向量的維數(shù)是不同的概念，二者不能混淆。向量的維數(shù)是指向量的分量個數(shù)。例如，（1）任何由n維向量所組成的向量空間V

，總有所以這樣的向量空間總是Rn

的子空間。定義4.3設(shè)V是一個向量空間，V1

非空

且V1

V,若V1對于加法及乘數(shù)運算也是封閉的，則稱V1是V的子空間。

子空間注：（1）由定義，只有零向量的空間{0}是Rn的子空間，稱為零子空間；向量空間Rn也是Rn的子空間，稱為平凡子空間。生成的空間是Rn的子空間。（3）容易證明：若V1是V的子空間，則dim(V1)

dim(V)

，即子空間的維數(shù)小于等于空間的維數(shù)。（2）由s個n維向量（2）n元齊次齊次線性方程組Ax=0的解向量空間S

，總有所以解向量空間S=｛x|Ax=0

｝是Rn

的子空間。2、基與坐標(biāo)定義4.4若向量空間V的維數(shù)為r,則在V中的個線性無關(guān)的向量組就稱為V的一個基或基底。又設(shè)α1,α2,…,αr

為向量空間V的一個基，則V中任一向量

可唯一地表示為α=x1α1+x2α2+…+xrαr

，數(shù)組x1,x2,…,xr稱為α

在基α1,α2,…,αr

中的坐標(biāo)，記作(x1,x2,…,xr).注:(1)如果V

是0維向量空間，即只含一個0向量，那么V沒有基。(2)若把向量空間V看作向量組，則向量空間V的基就是向量組的極大無關(guān)組，向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩。(3)由于極大無關(guān)組不唯一，因此向量空間V的基不唯一。（4）引入向量在確定基中的坐標(biāo)，從方法論上來說，對向量空間V的研究可以轉(zhuǎn)化為對n維向量的研究。V中的向量

是n維的，而

在基中的坐標(biāo)是r維的向量，r

n，這也達(dá)到了降為的目的。例如：（1）在向量空間Rn中，由于n維基本單位向量組ε1,ε2,…,εn線性無關(guān)，且任意向量α

都由其線性表示，所以ε1,ε2,…,εn是Rn的一個基（稱為自然基）,且dim(Rn)=n,即Rn是n維空間。（2）設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0

的解向量空間

S={x|Ax=0}，那么Ax=0的基礎(chǔ)解系

1,

2,…,

n-r是S的一組基，S

的維數(shù)為n-r,即dim(S)=n-r.即解向量空間的維數(shù)為n-r。以下，我們主要研究向量空間Rn

及其子空間V。（3）由定義,在向量空間Rn中，求向量α=(a1,a2,…,an)T

在基

1,

2,…,

n中的坐標(biāo)，等價于解線性方程組記矩陣A=(1,

2,…,

n),α

的坐標(biāo)為x=(x1,x2,…,xn)T,則

X滿足方程組Ax=α把矩陣(A,α

)中的A變成單位矩陣E，則α

即變成了x=A-1α

.在基【例4.7】設(shè)R3的一個基為【解】設(shè)向量求向量中的坐標(biāo)。中的坐標(biāo)為在基由已知,得方程組即用初等行變換求解此方程，得所以

在中的坐標(biāo)為【補(bǔ)例2

】在空間R4

中，求向量α=(4,3,2,1)T在基η1,η2,η3

,η4下的坐標(biāo),其中x1η1+x2η2+x3η3+x4η4=α解:

求向量α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)等價于解線性方程組即故α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,

x4)T=(1,1,1,1)T.作初等行變換，解線性方程組Ax=α，得故α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,

x4)T=(1,1,1,1)T,也即

α=x1η1+x2η2+x3η3+x4η4

=1η1+1η2+1η3+1η4或者，解得：故α在基η1,η2,η