1、實對稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)2、實對稱矩陣的對角化方法教學要求：了解矩陣相似的概念和性質(zhì),了解矩陣可相似對角化的充要條件和對角化的方法.會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣.在一些經(jīng)濟數(shù)學模型中,經(jīng)常遇到實對稱矩陣.實對稱矩陣和對角矩陣相似嗎?下面將證明：實對稱矩陣都相似于對角矩陣,即任何實對稱矩陣都可對角化.定理5.3

實對稱矩陣的特征值是實數(shù),相應的特征向量為實向量。1、實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)定理5.3

實對稱陣的特征值是實數(shù),相應的特征向量為實向量?！咀C】設A為實對稱矩陣,=a+bi

(a,b為實數(shù),i為虛數(shù)單位)是A的一個復特征值,

A的屬于

的特征向量為(

+

i)(

,

為實向量，且至少一個為非零向量

),則A(

+

i)=(a+bi)(

+

i),即A

+(A

)i=(a

b

)+(a

+b

)i，等式兩端實部向量與虛部向量分別相等,所以A=a

b

,A

=a

+b

成立，于是

TA=

T(a

b

)=a

T

b

T

(1)

TA

=T(a

+b

)=a

T

+b

T

(2)又因為

A=AT，所以

TA=

TAT=(A

)T=TA

,

T=T

,所以(1)-(2)得

b(

T

+

T

)=0,又

,

為實向量，且至少一個為非零向量,所以

T

+

T

≠0，故b=0，所以

=a,即A的特征值是實數(shù)，相應的特征向量為實向量

或

.定理5.4實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.【證】設

1,2是實對稱陣A的兩個不同特征值，

1,2是對應的特征向量，則A1=

1

1,A2=

2

2,

1≠

2所以

2TA1=

1

2T

1,（1）

2TA1=

2T

AT

1=(A2)T

1=

2

2T

1（2）由（1）、（2）得

1

2T

1=

2

2T

1，即(

1

2)

2T

1=0，因為

1≠

2，故

2T

1=0，即

1,2正交。定理5.5

設A為

n

階實對稱陣，

是

A

的特征方程的k

重根，則方陣

(

E

A)的秩

r(

E

A)=n

k。推論：設A為

n

階對稱矩陣，

是

A

的特征方程的k重根，則A

的屬于特征值

的特征向量有

k個線性無關的向量。說明：定理與推論都表明實對稱矩陣可對角化。不僅如此，還有更進一步的結論如下。定理5.6（主軸定理）設A

為n

階實對稱陣，則必有正交陣Q，使

Q-1AQ=QTAQ=

,其中

是以A的n個特征值為對角元素的對角陣。【證】設A

的互不相等的特征值為

1,

2,…,

s,它們的重數(shù)依次是

k1,k2,…,ks

(k1+k2+…+ks

=n).根據(jù)定理5.5知，對應特征值i(i=1,2,…,s),恰有ki

個線性無關的實特征向量，把它們正交并單位化，即得ki個單位正交的特征向量，由(k1+k2+…+ks

=n),知這樣的特征向量共可得n

個。按定理5.4知，對應于不同的特征值的特征向量正交，故這n

個單位特征向量兩兩正交。于是以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵傻木仃嘠是正交矩陣，并有其中對角矩陣

的對角元素含

k1

個

1

,k2

個

2

,…,ks

個

s,恰是

的

n

個特征值。定理表明：實對稱矩陣可通過正交相似變換Q-1AQ化為對角矩陣。Q-1AQ=QTAQ=

,綜上分析，求正交矩陣Q

，使Q-1AQ

為對角矩陣的具體步驟如下：(1)求A

的特征值；(2)求A

的特征值對應的n個線性無關的特征向量

1,2,…,

n

；(3)將全部特征向量

1,2,…,

n正交單位化得p1,p2,…,

pn；(4)以這些正交單位化的特征向量為列向量構成正交矩陣Q=(p1,p2,…,

pn

)，且有2、實對稱矩陣對角化的方法

對于n階實對稱矩陣A,正交矩陣Q的求法可按以下步驟進行第一步,由特征方程|

E

A|=0求出A的全部特征根且其重數(shù)分別為第二步,對于A的每一個特征值

i,求出方程組(iE

A)X=0的一個基礎解系Q

1AQ=QTAQ=.

則矩陣Q為正交矩陣,且有第三步,將每一個向量組Rn的一組標準正交基第四步,令正交單位化,合并得到下面舉例說明實對稱矩陣對角化的計算.注意技巧：

(1)對角矩陣

的對角元要與Q

的列向量按順序對應排列；

(2)在求重特征值的特征向量時，應盡可能避免正交化過程。即求解齊次線性方程組(

iE

A)x=0

的基礎解系時，取兩兩正交的基礎解系?！纠?.12】設A=

求正交矩陣Q,使Q

1AQ=為對角矩陣.【解】矩陣A的特征多項式,得A的特征值令對于

1=3的特征向量為的特征向量為,求解線性方程組(3E

A)x=0得A的屬于

1=3對于

2=2，求解線性方程組(2E

A)x=0得A的屬于

2=2對于

3=4的特征向量為,求解線性方程組(3E

A)x=0得A的屬于

3=4將單位化得取Q

1AQ=QTAQ=,則Q為正交矩陣,且有【例5.13】設A=

求正交矩陣Q,使Q

1AQ=為對角矩陣.【解】矩陣A的特征多項式,得A的特征值令對于

1=

2=2

2=2的特征向量為,求解線性方程組(2E

A)x=0得A的屬于

1=2將正交單位化得的特征向量為對于

3=8，求解線性方程組(8E

A)x=0得A的屬于

3=8單位化得

取則Q是正交矩陣,且有Q

1AQ=QTAQ矩陣,故存在正交矩陣Q,【例5.14】設A為實對稱冪等矩陣,試證r(A)=tr(A)；又若r(A)=r,計算|2E

A|.【證】因為A為冪等矩陣,則A的特征值為1或0,Q

1AQ==又由于A為實對稱使得由相似矩陣的性質(zhì),所以又因為Q

1AQ=QTAQ=,所以A=Q

QT,于是

【補例1】

設求正交矩陣Q，使

Q-1AQ=

。解：由于所以，A的特征值為當

1=2時，解線性方程組(2E

A)x=0,由當

1=2時，解線性方程組(2E

A)x=0,由得基礎解系當

2=3=4時，解線性方程組(4E

A)x=0,由得基礎解系于是，得正交陣顯然，特征向量

1,2,

3是正交的，再將其單位化得從而有【補例2】

設矩陣求一個正交矩陣Q

，為對角矩陣。使【解】由于所以，A的特征值為當

1=4a時，解線性方程組(4aE

A)x=0,由得基礎解系將

1單位化得當

2=3=4=0時，解線性方程組(0E

A)x=0,由得方程：（x2,x3,x4

是自由未知量）因此，得兩兩正交的基礎解系將

2,

3,

4單位化得以

1,

2,

3,

4構成正交矩陣從而有2.設三階實對稱矩陣A的特征值為6,3,3,且特征值6對應的特征向量為

1=(1,1,1)T,求矩陣A.1.試求一個正交的相似變換矩陣,將下列矩陣化為對角矩陣.練習3.設3階實對稱矩陣A的各行元素之和為3,向量

1=(

1,2,

1)T,

2=(0,

1,1)T

都是齊次線性方程組Ax=0的解,求A的特征值與特征向量.4.設3階實對稱陣A的特征值為

1=1,

2=2,

3=3,A的屬于特征值

1,

2特征向量分別為

1=(

1,

1,1)T,

2=(1,

2,

1)T,求A的屬于特征值

3的特征向量以及矩陣A.5.設3階實對稱陣A的特征值為

1=6,

2=3,

3=3,其中屬于特征值

1的特征向量為

1=(1,1,1)T,求A的屬于特征值

2,

3的特征向量以及矩陣A.考研真題1.(2001數(shù)學三)設矩陣已知線性方程組Ax=b有解但不唯一。試求:(1)a的值;(2)正交矩陣Q，使QTAQ為對角矩陣。2.(2006數(shù)學三)設三階實對稱矩陣A的各行元素之和都為3，向量

1=(

1,2,

1)T,

2=(0,

1,1)T都是齊次方程組AX=0的解，

(1)求A的特征值與特征向量；

(2)求正交矩陣Q與對角矩陣

，使QTAQ=

；(3)求A及[A

(3/2)E]6,