專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓的定義】 1【題型2曲線方程與橢圓】 3【題型3橢圓方程的求解】 5【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】 6【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】 8【題型6橢圓中的最值問(wèn)題】 10【知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義】1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.【題型1橢圓的定義】【例1】F1，F(xiàn)2為橢圓x249+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|=5，則|PF2A．9 B．4 C．2 D．1【解題思路】由橢圓定義可得PF【解答過(guò)程】橢圓x249+y29=1中，a=7，∵F1，F(xiàn)2【變式1-1】若橢圓x29+y2=1上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用橢圓的定義有|AF1|+|AF2【解答過(guò)程】由橢圓方程知：a=3.根據(jù)橢圓的定義有|AF1|+|A所以|AF2【變式1-2】已知橢圓C:x29+y25=1，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可求AF1+AF【解答過(guò)程】設(shè)橢圓x29+y25=1的長(zhǎng)半軸為a，則a=3，由橢圓定義可得A【變式1-3】設(shè)P為橢圓C：x225+y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，A．32 B．52 C．72【解題思路】根據(jù)橢圓的定義寫出PF1+【解答過(guò)程】根據(jù)P為橢圓C：x225+又PF1=3【知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)

系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系2．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【題型2曲線方程與橢圓】【例2】“1<k<5”是方程“x2k?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得k?1>0,5?k>0,k?1≠5?k,，解不等式組得出1<k<5且【解答過(guò)程】若方程表示橢圓，則有k?1>0,5?k>0,k?1≠5?k,因此1<k<5且k≠3，故“1<k<5”是“方程x【變式2-1】方程x2+ky2=2A．k>0 B．1<k<2 C．k>1 D．0<k<1【解題思路】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，依題意求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過(guò)程】方程x2+ky2=2可變形為x22易知當(dāng)1<k<2時(shí)，k>1，當(dāng)k>1時(shí)未必有1<k<2，所以1<k<2是k>1的充分但不必要條件.故選：B.【變式2-2】若方程x2a2+y2a+6A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<?2C．a(chǎn)>3或a<?2 D．?2<a<0或0<a<3【解題思路】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在y軸上,可得a2【解答過(guò)程】解:由題知x2a2+y解得:?2<a<0或0<a<3.故選:D.【變式2-3】若方程x29?k+y2A．k∈1,9 B．橢圓C的焦距為C．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈1,5 D．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則【解題思路】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項(xiàng)分析、計(jì)算即可判斷作答.【解答過(guò)程】因方程表示橢圓，則有9?k>0，k?1>0，且9?k≠k?1，即k∈1,5焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，9?k>k?1>0，解得k∈1,5焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則c2=9?k?k?1=10?2k，焦點(diǎn)在y【題型3橢圓方程的求解】【例3】焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,?4，（0，4），且長(zhǎng)半軸a=6的橢圓方程為（

）A．x236+C．x236+【解題思路】根據(jù)題意可知c=4,a=6，即可由b2=a【解答過(guò)程】因?yàn)閏=4,a=6，所以b2=a2?故選：B．【變式3-1】已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，點(diǎn)0,1在橢圓上，右焦點(diǎn)為A．x24+C．x23+【解題思路】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得a,b，則橢圓方程可求.【解答過(guò)程】由點(diǎn)0,1在橢圓上得b=1，由橢圓的對(duì)稱性可得AF+BF=2a=4故橢圓方程為x2【變式3-2】設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．x216+y212=1 B．【解題思路】根據(jù)題意和橢圓的幾何性質(zhì)，得到a=2c=4，進(jìn)而求得b的值，即可求解.【解答過(guò)程】由橢圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)锽F2=所以a=4，c=2，則b=a2?【變式3-3】則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x29+y25=1 B．【解題思路】根據(jù)已知條件求得a,b，由此求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答過(guò)程】依題意c=24a=12a2=b所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】【例4】△ABC的周長(zhǎng)是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（

）A．x29+C．x24+【解題思路】由周長(zhǎng)得AB+AC＝6，從而知A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，再根據(jù)已知條件可求得軌跡方程．注意范圍．【解答過(guò)程】解：∵△ABC的兩頂點(diǎn)B（﹣1，0），C（1，0），周長(zhǎng)為8，∴BC＝2，AB+AC＝6，∵6＞2，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝6，c＝1，b＝22，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2【變式4-1】在△ABC中，已知A?1,0,C1,0，若a>b>c，且滿足2sinB=A．x24+C．x24+【解題思路】先利用正弦定理化角為邊，從而可得a+c=4，再結(jié)合題意可得點(diǎn)B的軌跡是以A?1,0【解答過(guò)程】解：在△ABC中，因?yàn)?sinB=sinA+sinC，所以2b=a+c，又A?1,0,C1,0，則b=2，所以a+c=4，即BC+BA=4>2，由于【變式4-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：x?22+y2=20（圓心為A），點(diǎn)B?2,0，點(diǎn)Р在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點(diǎn)為A．x25?C．x25+【解題思路】根據(jù)橢圓的定義求得正確答案.【解答過(guò)程】圓A：x?22+y2=20的圓心A2,0，半徑r=25.由于?2?22+02=16<20，所以B?2,0在圓A內(nèi)，AB=4【變式4-3】已知圓C:(x?1)2+y2=16，F(xiàn)(?1,0)為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過(guò)點(diǎn)A．x24+y23=1 B．【解題思路】由圖形可知PF+PC=【解答過(guò)程】F(?1,0)，C(1,0)，點(diǎn)F關(guān)于折痕l的對(duì)稱點(diǎn)A在圓周上，折痕l為線段AF的垂直平分線，折痕l與AC相交于點(diǎn)P，如圖所示：則有PA=PF，可知所以點(diǎn)P的軌跡是以F,C為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸2a=4，焦距2c=2，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x24+故選：A.【知識(shí)點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形】1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【例5】已知△PQF的頂點(diǎn)P,Q在橢圓x216+y212=1上，頂點(diǎn)FA．12 B．43 C．16 【解題思路】利用橢圓的定義求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)為F1

則△PQF的周長(zhǎng)為PQ+【變式5-1】已知△ABC的頂點(diǎn)B?C在橢圓x23+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在A．2 B．2C．4 D．4【解題思路】根據(jù)橢圓定義得|AB|+|BF2|=|AC|+|C【解答過(guò)程】由橢圓方程知：2a=23，又|AB|+|BF2∴△ABC的周長(zhǎng)為4a=43【變式5-2】在橢圓x24+y22=1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1?A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【解題思路】由△F1P【解答過(guò)程】當(dāng)∠PF1F2為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)，如下圖中的點(diǎn)P1,P2；當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)，如下圖中的點(diǎn)P3,P【變式5-3】已知點(diǎn)P是橢圓x29+y24=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A．6 B．12 C．2 D．2【解題思路】設(shè)PF1=m,PF2=n，先得到【解答過(guò)程】對(duì)于橢圓x29+y24=1有a=3,b=2,c=5，設(shè)S△P【題型6橢圓中的最值問(wèn)題】【例6】已知橢圓C:x225+y29=1的左右焦點(diǎn)分別為【解題思路】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦半徑的取值范圍，建立PF【解答過(guò)程】對(duì)橢圓C:x225+又PF1∈[a?c,a+c]，即x∈[1,9]，則P對(duì)y=x(10?x)，其在[1,5]單調(diào)遞增，在故當(dāng)x=5時(shí)，ymax=5×5=25，當(dāng)x=1或9時(shí)，即PF1?PF【變式6-1】已知P是橢圓x24+y2【解題思路】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0，則x0【解答過(guò)程】因?yàn)镻是橢圓x24+y2點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y所以PA=x0?02因?yàn)?58∈?6,6，當(dāng)y0當(dāng)y0=?6時(shí)，【變式6-2】已知橢圓C：x225+y216=1內(nèi)有一點(diǎn)M2,3，(1)PM?(2)PM+【解題思路】(1)由題意可知：根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可求得||PM|?|PF1||≤|M(2)利用橢圓的定義表示出|PM|+|PF【解答過(guò)程】（1）由橢圓C:x225+y216=1可知a=5，

則||PM|?|PF1||≤|MF1|=34所以?34≤|PM|?|PF1|≤34，所以（2）2a=10，F(xiàn)2(3,0)，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由|PF1|+|P∴|PM|+|PF等號(hào)僅當(dāng)|PM|=|PF2|?|MF2|時(shí)成立，此時(shí)P、∴|PM|+|PF等號(hào)僅當(dāng)|PM|=|PF2|+|MF2|時(shí)成立，此時(shí)故|PM|+|PF1|的最大值10+【變式6-3】已知橢圓x225+y216=1（1）求|MP|?|MF|的最大值；（2）求|MP|+MF（3）求使得|MP|+53|MF|【解題思路】（1）利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三點(diǎn)共線分析|MP|?|MF|的最大值