/2025年河北省承德市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一即項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，0，，，，則A．， B．， C．，0， D．2．?dāng)?shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和43．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．4．從集合，2，3，，8，中隨機(jī)取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為A． B． C． D．5．設(shè)為鈍角，若直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則的離心率為A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若的一個方向向量為，，則A． B． C． D．7．已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足以下條件：①；②；③（5）．則（1）（2）A． B．0 C．1 D．28．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)，分別是△的外心和垂心，若，則的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)可以為A．0 B．1 C．2 D．4（多選）10．（6分）已知球的表面積為，點(diǎn)，，，均在球面上，且，，，則A．球的半徑為2 B．平面截球面所得小圓的面積為 C．點(diǎn)到平面的距離為 D．球體挖去四面體后余下部分的體積為（多選）11．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線為伯努利雙紐線，其中，為焦點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且滿足，曲線的方程為．則下列說法正確的有A．曲線為中心對稱圖形和軸對稱圖形 B．若直線與曲線恰有3個交點(diǎn)，則 C．曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi) D．當(dāng)參數(shù)變化時，曲線上的最高點(diǎn)均在曲線上三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知數(shù)列滿足，且，則．13．已知函數(shù)，，則（1）的取值范圍是．14．我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式．不同棋子行走的規(guī)則各不相同：馬走日字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的一個頂點(diǎn)沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂點(diǎn)，，，，如圖1．請據(jù)此完成如下填空：如圖2，假設(shè)一匹馬從給定的初始位置出發(fā)，且規(guī)定其只能向“右前方”行走，則其運(yùn)動到點(diǎn)所需的步數(shù)為；該馬運(yùn)動到點(diǎn)所有可能落點(diǎn)（不包括點(diǎn)的個數(shù)為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，已知三棱錐中，，，平面平面，，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．16．（15分）已知，．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，，使，求的取值范圍．17．（15分）在△中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）若，求；（2）當(dāng)邊上的中線最小時，求△的面積．18．（17分）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為短軸的一個端點(diǎn)，△是直角三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線恰好與橢圓相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線不過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，，若，求的最大值．19．（17分）某研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一款智能機(jī)器人，該機(jī)器人通過交替學(xué)習(xí)不同技能，，來提升綜合能力．初始時，機(jī)器人選擇學(xué)習(xí)技能，且每次學(xué)習(xí)后會等可能地選擇學(xué)習(xí)或；每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)；每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)．設(shè)，，分別表示第次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能，，的概率．（1）若機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí)，求學(xué)習(xí)技能次數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）求及其最大值；（3）已知，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．

2025年河北省承德市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDCDBCAA二．多選題（共3小題）題號91011答案ACDABACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一即項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，0，，，，則A．， B．， C．，0， D．解：集合，，0，，，，，0，，所以，0，．故選：．2．?dāng)?shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和4解：將數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2按照從小到大的順序排列為：2，2，3，4，5，8，中位數(shù)為，平均數(shù)為，數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為3.5和4．故選：．3．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．解：由復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），可得，所以．故選：．4．從集合，2，3，，8，中隨機(jī)取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為A． B． C． D．解：從集合，2，3，，8，中隨機(jī)取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，所有的情況有種，第2個數(shù)為7的情況有，第二個數(shù)是7的概率為．故選：．5．設(shè)為鈍角，若直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則的離心率為A． B． C． D．解：因?yàn)闉殁g角，所以，聯(lián)立，得：，①當(dāng)，即時，因?yàn)橹本€與曲線只有一個公共點(diǎn)，所以△，因?yàn)椋?，解得或，都不符合，舍去；②?dāng)，即時，方程化為，只有一個解，所以直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，符合題意；所以，所以曲線，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以，，所以的離心率為．故選：．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若的一個方向向量為，，則A． B． C． D．解：已知拋物線的焦點(diǎn)為，則，又過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若的一個方向向量為，，則的方程為，其中，聯(lián)立，消可得：，設(shè)，，，，則，即，則．故選：．7．已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足以下條件：①；②；③（5）．則（1）（2）A． B．0 C．1 D．2解：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，由②可得，由①可得，因此，所以的周期為8，（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（5）（2）（4）（6）（3）（3）（3），由于（3），（1）（2）（1）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（5）．故選：．8．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)，分別是△的外心和垂心，若，則的取值范圍是A． B． C． D．解：由于，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故在軸上，設(shè)，，則中點(diǎn)為，易知，因此直線的垂直平分線方程為，令，則，故，邊上的高所在的直線方程為，故，故，，故，且，即，由于，因此，解得，故，解得，則的取值范圍是．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)可以為A．0 B．1 C．2 D．4解：因?yàn)?，所以函?shù)定義域?yàn)椋?，，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，直線與相切于點(diǎn)，，對求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，所以由導(dǎo)數(shù)幾何意義有，即，且，，所以，即，所以，解得，此時，，兩邊取對數(shù)，得，即，即，解得，此時，綜上，如圖所示：由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知：當(dāng)時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與該直線相交于公共兩點(diǎn)，此時函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與直線相切于一點(diǎn)，此時函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且兩圖象分布在該直線兩側(cè)，無交點(diǎn)，此時函數(shù)無零點(diǎn)；綜上可知，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)可以為0個或2個或4個．故選：．（多選）10．（6分）已知球的表面積為，點(diǎn)，，，均在球面上，且，，，則A．球的半徑為2 B．平面截球面所得小圓的面積為 C．點(diǎn)到平面的距離為 D．球體挖去四面體后余下部分的體積為解：由已知條件，因?yàn)?，，所以三棱錐為正三棱錐，點(diǎn)，，，均在球面上，所以球?yàn)檎忮F的外接球，球心為，設(shè)底面三角形的中心為，則頂點(diǎn)在底面中的射影為底面正三角形的中心，外接球的球心位于射線上，兩種可能的情況如圖所示：對于，設(shè)球的半徑為，由球的表面積公式為，解得半徑，故選項(xiàng)正確；對于，平面是一個等邊三角形，邊長為3，等邊三角形的外接圓半徑，即平面截球面所得小圓的半徑，所以小圓面積為，故選項(xiàng)正確；對于，球心到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離為（當(dāng)球心在線段上時），或（當(dāng)球心位于的延長線上時），當(dāng)球心位于的延長線上時，，，于矛盾，舍去，當(dāng)球心在線段上時，，，符合題意，所以點(diǎn)到平面的距離為3，故選項(xiàng)錯誤；對于，四面體的體積為：，其中，高為點(diǎn)到平面的距離，所以，球體挖去四面體后余下部分的體積為：，故選項(xiàng)錯誤．故選：．（多選）11．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線為伯努利雙紐線，其中，為焦點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且滿足，曲線的方程為．則下列說法正確的有A．曲線為中心對稱圖形和軸對稱圖形 B．若直線與曲線恰有3個交點(diǎn)，則 C．曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi) D．當(dāng)參數(shù)變化時，曲線上的最高點(diǎn)均在曲線上解：由于兩個焦點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)動點(diǎn)，根據(jù)題可得的軌跡方程，把關(guān)于軸對稱的點(diǎn)代入軌跡方程，把關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)代入軌跡方程，原方程均不變，所以選項(xiàng)正確；根據(jù)題意得直線與一定有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線與，可得，如果與曲線有3個交點(diǎn)，那么方程除外無解，而，，那么即可，解得，所以選項(xiàng)錯誤；由于，，因此，又因?yàn)椋虼?，所以，因此；在中，令，可得，解得或，因此，因此在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)，所以選項(xiàng)正確；在方程中，令，可得，得，所以，因此當(dāng)變化時，上的最高點(diǎn)均在上，所以選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知數(shù)列滿足，且，則．解：由數(shù)列滿足，且，題得，當(dāng)時，符合題意，所以．故答案為：．13．已知函數(shù)，，則（1）的取值范圍是．解：（1），由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，因此，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，由于，故等號取不到，所以?），即（1）的取值范圍是．故答案為：．14．我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式．不同棋子行走的規(guī)則各不相同：馬走日字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的一個頂點(diǎn)沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂點(diǎn)，，，，如圖1．請據(jù)此完成如下填空：如圖2，假設(shè)一匹馬從給定的初始位置出發(fā)，且規(guī)定其只能向“右前方”行走，則其運(yùn)動到點(diǎn)所需的步數(shù)為5；該馬運(yùn)動到點(diǎn)所有可能落點(diǎn)（不包括點(diǎn)的個數(shù)為．解：以“馬”的初始位置為原點(diǎn)，棋盤的橫豎兩邊為軸建立坐標(biāo)系，以題意可得：“馬”每次只能按向量或行走，設(shè)落點(diǎn)為，，，按上述兩個向量前進(jìn)的此時分別為，，則，，，，所以，，即，第一空：由于，，所以，即其運(yùn)動到點(diǎn)所需的步數(shù)為5步；第二空：由于，，所以，，又為3的倍數(shù)，且只能往右前方前進(jìn)，所以當(dāng)時，此時對應(yīng)的點(diǎn)有，，當(dāng)時，此時對應(yīng)的點(diǎn)有，，，當(dāng)時，此時對應(yīng)的點(diǎn)有，，，當(dāng)時，此時對應(yīng)的點(diǎn)有，，綜上可得，該馬運(yùn)動到點(diǎn)所有可能落點(diǎn)（不包括點(diǎn)的個數(shù)為種情況．故答案為：5；10．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，已知三棱錐中，，，平面平面，，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．解：（1）過作，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，，，所以，在直角三角形中，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為；（2）因?yàn)?，過作的平行線為軸，以，所在直線分別為，軸建立直角坐標(biāo)系，在△中，，，，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，取，得，，所以，設(shè)與平面所成角為，所以．16．（15分）已知，．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，，使，求的取值范圍．解：（1）時，函數(shù)，因此，因此切線斜率（1），因此函數(shù)在處的切線方程為即．（2）由于，，使得，所以，因此，令函數(shù)，那么導(dǎo)函數(shù)，因此導(dǎo)函數(shù)在，上恒成立，因此在，上單調(diào)遞減，因此，因此在，上恒成立，因此在，上單調(diào)遞增，因此，因此，．17．（15分）在△中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）若，求；（2）當(dāng)邊上的中線最小時，求△的面積．解：在△中，，可得，，由，得，可得．（1）若，則（舍負(fù)），可得，根據(jù)正弦定理，可知；（2）由，得，根據(jù)，可得，取中點(diǎn)，則為邊上的中線，可得，由余弦定理得，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可知邊上的中線長的最小值為，此時．18．（17分）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為短軸的一個端點(diǎn)，△是直角三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線恰好與橢圓相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線不過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，，若，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓半焦距為，則，，不妨設(shè)，由于△是直角三角形，所以，結(jié)合，解得，故，即橢圓的離心率為．（2）由可得橢圓方程為，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€恰好與橢圓相切，故△，解得，所以橢圓方程為．（3）將點(diǎn)代入橢圓的方程得，所以點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去可得，設(shè)，，，，則，因?yàn)?，，即即，化簡得，由于不在直線上，所以，故，，故直線的方程為，故過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，，代入可得，結(jié)合可得或（舍去），此時直線也經(jīng)過，綜上可得直線恒經(jīng)過．因?yàn)?，結(jié)合，故為直角三角形斜邊上的高的長，又直線恒經(jīng)過，所以，所以的最大值為．19．（17分）某研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一款智能機(jī)器人，該機(jī)器人通過交替學(xué)習(xí)不同技能，，來提升綜合能力．初始時，機(jī)器人選擇學(xué)習(xí)技能，且每次學(xué)習(xí)后會等可能地選擇學(xué)習(xí)或；每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)；每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)．設(shè)，，分別表示第次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能，，的概率．（1）若機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí)，求學(xué)習(xí)技能次數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）求及其最大值；（3）已知，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）機(jī)器人通過交替學(xué)習(xí)不同技能，，來提升綜合能力，初始時，機(jī)器人選擇學(xué)習(xí)技能，且每次學(xué)習(xí)后會等可能地選擇學(xué)習(xí)或，每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)，每次學(xué)習(xí)后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)，0.75的概率學(xué)習(xí)，設(shè)，，分別表示第次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能，，的概率，機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí)，設(shè)三次學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)技能次數(shù)為，則的取值可以為1，2，第一次學(xué)，第二次學(xué)，第三次學(xué)，則，第一