/2025年重慶市九龍坡區(qū)高考數(shù)學(xué)三調(diào)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知復(fù)數(shù)，，則A． B． C． D．2．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．3．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且（2）（1），則A． B． C． D．5．如圖，矩形中，，，將△沿翻折，得到三棱錐是在翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則三棱錐體積的最大值為A． B． C．8 D．166．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上位于第一象限的點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，△為等邊三角形，過(guò)的中點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，則直線的方程為A． B． C． D．7．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是A．66 B．75 C．78 D．908．在△中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，，，，則線段長(zhǎng)度的最小值為A．2 B． C．3 D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）某班在一次模擬測(cè)試后，隨機(jī)抽取9名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這9名學(xué)生的成績(jī)分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說(shuō)法正確的是A．估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為 D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時(shí)，新樣本的方差比原樣本的方差?。ǘ噙x）10．（6分）已知函數(shù)，則A．為的一個(gè)周期 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．在上單調(diào)遞增 D．的值域?yàn)椋ǘ噙x）11．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，，分別是的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則A．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為1 B．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 C．若直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則 D．若點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)與，不重合），且，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，，則．13．設(shè)，已知，，則．14．甲同學(xué)有3本故事書(shū)和1本科普書(shū)，乙同學(xué)有1本故事書(shū)和3本科普書(shū)，若甲、乙兩位同學(xué)各取出，2，本書(shū)進(jìn)行交換，記交換后甲同學(xué)有故事書(shū)的本數(shù)為，的均值為，則．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求的取值范圍．16．（15分）在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能領(lǐng)域迎來(lái)革命性的突破，各種的人工智能大模型擁有強(qiáng)大的解決問(wèn)題的能力．某機(jī)構(gòu)分別用，兩種人工智能大模型進(jìn)行對(duì)比研究，檢驗(yàn)這兩種大模型在答題時(shí)哪種更可靠，從某知識(shí)領(lǐng)域隨機(jī)選取180個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分組回答，其中人工智能大模型回答100個(gè)問(wèn)題，有91個(gè)正確；人工智能大模型回答剩下的80個(gè)問(wèn)題，有65個(gè)正確．（1）完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)？回答正確回答錯(cuò)誤合計(jì)人工智能大模型人工智能大模型合計(jì)（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機(jī)回答該知識(shí)領(lǐng)域的道題目，且各題回答正確與否，相互之間沒(méi)有影響．記其中恰有2個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤的概率為，求取得最大值時(shí)的值．參考公式及參考數(shù)據(jù)：，．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.63517．（15分）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)，分別在棱，上．（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，證明：；（Ⅱ）若，平面，求二面角的余弦值．18．（17分）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于雙曲線的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在上．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）若，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)左頂點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，過(guò)作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點(diǎn)，直線，分別交于，兩點(diǎn)．證明：四邊形為平行四邊形．19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若無(wú)窮的非常數(shù)數(shù)列同時(shí)滿足兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對(duì)于中任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）判斷數(shù)列是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列且為單調(diào)遞增數(shù)列，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．

2025年重慶市九龍坡區(qū)高考數(shù)學(xué)三調(diào)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBADCCBD二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ABDABCACD一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知復(fù)數(shù)，，則A． B． C． D．解：由復(fù)數(shù)，，得，則．故選：．2．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．解：根據(jù)題意，圓可化為，圓心為，半徑．若直線與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離，即，化簡(jiǎn)得，解得．故選：．3．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．解：由題意可知，，又因?yàn)椋?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且（2）（1），則A． B． C． D．解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，令，有（2）（1），又由（2）（1），解可得（1），則有（1），解可得，又由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．故選：．5．如圖，矩形中，，，將△沿翻折，得到三棱錐是在翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則三棱錐體積的最大值為A． B． C．8 D．16解：由題意知，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)三棱錐的高為，所以三棱錐體積的最大值為．故選：．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上位于第一象限的點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，△為等邊三角形，過(guò)的中點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，則直線的方程為A． B． C． D．解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的焦點(diǎn)為，此時(shí)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，△為等邊三角形，所以軸，所以，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)，，，，所以，，因?yàn)?，所以，的傾斜角為，所以，可得直線的方程為，即．故選：．7．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是A．66 B．75 C．78 D．90解：根據(jù)題意，當(dāng)千位數(shù)字是5，則百位若是7，個(gè)位有3種選擇，十位有3種選擇，共有9種情況；若百位是8，則個(gè)位有2種選擇，十位有3種選擇，共有6種情況；當(dāng)千位是7，則個(gè)位有3種選擇，百位有4種，十位有3種選擇，共有36種情況；當(dāng)千位是8，則個(gè)位有2種選擇，百位有4種，十位有3種選擇，共有24種情況；則共有種選擇．故選：．8．在△中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，，，，則線段長(zhǎng)度的最小值為A．2 B． C．3 D．解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，，．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，線段長(zhǎng)度的最小值為．故選：．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）某班在一次模擬測(cè)試后，隨機(jī)抽取9名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這9名學(xué)生的成績(jī)分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說(shuō)法正確的是A．估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為 D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時(shí)，新樣本的方差比原樣本的方差小解：對(duì)于，這9名學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)為，用樣本估計(jì)總體，估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80分，故正確；對(duì)于，這9名學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)為80，所以樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同，故正確；對(duì)于，9名學(xué)生中成績(jī)均大于平均分的有4名，所以從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)原樣本的方差為，樣本中加入80形成新樣本時(shí)，平均數(shù)不變，還是80，則新樣本的方差為，所以新樣本的方差比原樣本的方差小，故正確．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則A．為的一個(gè)周期 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．在上單調(diào)遞增 D．的值域?yàn)榻猓簩?duì)于，，可知是的一個(gè)周期，項(xiàng)正確；對(duì)于，，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，項(xiàng)正確；對(duì)于，由，化簡(jiǎn)得，求導(dǎo)數(shù)得，當(dāng)，時(shí)，，，可得，，所以在，上成立，可知在上單調(diào)遞增，項(xiàng)正確；對(duì)于，由，可知的值域不可能是，，故項(xiàng)不正確．故選：．（多選）11．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，，分別是的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則A．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為1 B．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 C．若直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則 D．若點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)與，不重合），且，則解：對(duì)于，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)軸時(shí)，最小，最小值為，故正確；對(duì)于，設(shè)，，，，則由，得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為，，則，所以，，由二倍角的正切公式得，，整理得①，將①與橢圓方程聯(lián)立，解得，則，，所以，故正確．故選：．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，，則．解：因?yàn)?，，所以，，所以．故答案為：?3．設(shè)，已知，，則．解：設(shè)，已知，則，由，所以，故，由，所以，故．故答案為：．14．甲同學(xué)有3本故事書(shū)和1本科普書(shū)，乙同學(xué)有1本故事書(shū)和3本科普書(shū)，若甲、乙兩位同學(xué)各取出，2，本書(shū)進(jìn)行交換，記交換后甲同學(xué)有故事書(shū)的本數(shù)為，的均值為，則4．解：當(dāng)時(shí)，的取值可能是2，3，4，且，，，則，當(dāng)時(shí)，的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．故答案為：4．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求的取值范圍．解：（Ⅰ）由已知得，，定義域?yàn)?，，由得，?，，或，所以的極小值為（1），極大值為（2）；（Ⅱ）由已知得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)顯然為增函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，顯然（1），有唯一零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，，為減函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有唯一零點(diǎn)；③當(dāng)，即時(shí)，由得，，在上遞減，，在，上遞增，所以，易知，當(dāng)或時(shí)，都有，所以，當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即，沒(méi)有零點(diǎn)；綜上可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．16．（15分）在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能領(lǐng)域迎來(lái)革命性的突破，各種的人工智能大模型擁有強(qiáng)大的解決問(wèn)題的能力．某機(jī)構(gòu)分別用，兩種人工智能大模型進(jìn)行對(duì)比研究，檢驗(yàn)這兩種大模型在答題時(shí)哪種更可靠，從某知識(shí)領(lǐng)域隨機(jī)選取180個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分組回答，其中人工智能大模型回答100個(gè)問(wèn)題，有91個(gè)正確；人工智能大模型回答剩下的80個(gè)問(wèn)題，有65個(gè)正確．（1）完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)？回答正確回答錯(cuò)誤合計(jì)人工智能大模型人工智能大模型合計(jì)（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機(jī)回答該知識(shí)領(lǐng)域的道題目，且各題回答正確與否，相互之間沒(méi)有影響．記其中恰有2個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤的概率為，求取得最大值時(shí)的值．參考公式及參考數(shù)據(jù)：，．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635解：（Ⅰ）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：回答正確回答錯(cuò)誤合計(jì)人工智能大模型919100人工智能大模型651580合計(jì)15624180零假設(shè)：人工智能大模型的選擇與回答正確無(wú)關(guān)，則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)；（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機(jī)回答該知識(shí)領(lǐng)域的1道題目，答對(duì)的概率為，答錯(cuò)的概率為，則，假設(shè)時(shí)，取得最大值，則，解得，又因?yàn)?，所以，即取得最大值時(shí)的值為22．17．（15分）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)，分別在棱，上．（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，證明：；（Ⅱ）若，平面，求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，4，，，2，，設(shè)，，，其中，，若是的中點(diǎn)，則，3，，，，，，于是，，即．（Ⅱ）因?yàn)?，而，所以，即，，，由（Ⅰ）知，設(shè)，，，則，又因?yàn)槠矫妫移矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，即，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，易知平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以．18．（17分）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于雙曲線的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在上．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）若，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)左頂點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，過(guò)作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點(diǎn)，直線，分別交于，兩點(diǎn)．證明：四邊形為平行四邊形．解：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以為△的中位線，直線的方程為，即，所以，可得，所以，在△中，，即，所以，則雙曲線的離心率為；（Ⅱ）證明：因?yàn)椋p曲線的離心率為，所以雙曲線的方程為，漸近線的方程為，即，易知過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)△，解得，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)?，所以的方程為，?lián)立，解得，同理得，所以，因?yàn)?，所以，則對(duì)角線與互相平分，故四邊形為平行四邊形．19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若無(wú)窮的非常數(shù)數(shù)列同時(shí)滿足兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對(duì)于中任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）判斷數(shù)列是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列且為單調(diào)遞增數(shù)列，證明：數(shù)