1第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限運算法則第五節(jié)兩個重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2三、收斂數(shù)列的性質四、極限存在準則一、數(shù)列的概念第一節(jié)數(shù)列的極限二、數(shù)列極限的定義3引按照下列規(guī)律：

，…,

無限的寫下去，這些數(shù)的盡頭是什么？,…

這是數(shù)列的極限的問題，本節(jié)研究的主要內(nèi)容就是數(shù)列的極限.4一、數(shù)列的概念與性質

1.數(shù)列的概念定義1

按照一定法則依次排列的一列無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記為數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項稱為數(shù)列的一般項或通項.例如5數(shù)列的幾何意義：數(shù)列動點，它依次取數(shù)軸上的點可以看作數(shù)軸上的一個數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)（也稱為整標函數(shù)）：它的定義域是全體正整數(shù).62.數(shù)列的性質數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對于一切都滿足則稱數(shù)列是有界的，否則稱數(shù)列為無界的。

數(shù)列的有界性對數(shù)列中的每一項都成立，沒有例外。

注：1）數(shù)列的有界性例如,有界有界無界7數(shù)列，若滿足條件則稱數(shù)列是單調(diào)增加的；2）數(shù)列的單調(diào)性例如,單調(diào)減少單調(diào)增加若滿足條件則稱數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列，統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。8極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。

我國數(shù)學家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法：割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用。

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”

——

劉徽二、數(shù)列極限的定義引例劉徽割圓術91、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽數(shù)列極限概念的引入用正多邊形的面積逼近圓面積的幾何演示101、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽概念的引入11“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入12“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入13“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入14“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入15“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入16“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入17“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入18“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”播放——劉徽正六邊形的面積A1正十二邊形的面積A2概念引入1、割圓術：19之半，如此分割下去問：共去棒長多少？解：把所去之半排列起來：此是公比為的等比數(shù)列引例2：第一次去其一半，第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”一尺之棰，共去棰長20觀察下列數(shù)列的變化趨勢：21趨勢不定觀察可見,的變化趨勢只有兩種：不是無限地接近某個確定的常數(shù)，就是不接近于任何確定的常數(shù)。由此，得到數(shù)列極限的初步定義如下：22若當

時，一般項無限地接近于某個則稱A為數(shù)列的極限，記作或稱有極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，無極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。若當

時，不接近于任何確定常數(shù)A,則稱確定的常數(shù)A,數(shù)列沒有極限。

數(shù)列極限的描述性定義23不存在例如24求解下列數(shù)列極限25三、收斂數(shù)列的性質即及則有1.收斂數(shù)列的極限唯一.若2.收斂數(shù)列一定有界.即:

若則有收斂數(shù)列必有界.推論：無界數(shù)列必發(fā)散說明:

此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列26定義：對于數(shù)列保持原數(shù)列的次序，依次抽取組成新的數(shù)列稱為原數(shù)列的子列。性質3：收斂數(shù)列的任何子列均收斂，且收斂同一極限。說明數(shù)列是發(fā)散的。性質4.保號性定理如果且27四、數(shù)列存在的單調(diào)有界準則(證明略)單調(diào)有界數(shù)列必有極限28的極限存在，并求此極限。證：設又所以單調(diào)有界數(shù)列必有極限。設例

求證數(shù)列設單調(diào)增加，29練習：求的極限存在，并求出此極限。證：設又所以單調(diào)有界數(shù)列必有極限.設設設則有顯然單調(diào)增加，30數(shù)列極限的精確定義axnn=￥?lim，

當n無限增大時,xn無限接近于a.

當n無限增大時,|xn-a|無限接近于0.

當n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.

當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).或31如何用數(shù)學語言刻劃它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.當n無限增大時,無限接近于1.3233只要n無限增大，xn

就會與1無限靠近。引入符號N和來刻化無限增大和無限接近。注：就會暫時確定下來,一旦給定,以此來確定相應的N.34定義2如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,

使得對于時的一切不等式成立.

收斂于a或稱數(shù)列記為或那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限(limit),如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列發(fā)散(diverge).定義35數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理注需要預先知道極限值是多少.和證明極限,而不是用來求極限,因為這里數(shù)列的極限即,),(內(nèi)都落在所有的點ee+-aaxn36OK!N找到了??！n>N目的：●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示37N數(shù)列極限的演示e越來越小，N越來越大！38例1所以,證

雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題時,對于給定的總暫時認為它是固定的,按照這個找出使不等式成立的N.

解不等式39

練習

用定義證明證明對于任意給定的要使

只要取自然數(shù)

則當時，有,所以注：就會暫時確定下來,一旦給定,以此來確定相應的N.解不等式40例2證為了使只需使數(shù)列的極限41注{xn}有沒有極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;主要看“后面”的無窮多項.定義

采用邏輯符號將的定義可縮寫為:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限項不起作用,;的無限接近與刻劃了不等式axaxnne<-;,將越大越小Ne42劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學方法和數(shù)學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:43柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析的發(fā)展.復變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,函數(shù)與極限44函數(shù)極限的性質函數(shù)在無窮遠點的極限函數(shù)在一點的極限第二節(jié)函數(shù)的極限

對于數(shù)列,即整標函數(shù)其自變量的變化只有一種情形.而對于一般函數(shù)來說,有:45一、函數(shù)在無窮遠點(infinitepoint)的極限以下分別用記號x趨向于負無窮大x趨向于無窮大函數(shù)的極限x趨向于正無窮大46定義1.

設函數(shù)在當時有定義,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當x趨向于無窮大時的極限，記作時,有若當或也稱當時,f(x)收斂于A。直線y=A

為曲線的水平漸近線.

類似定義47如果在x的某種趨向下,并不無限接近一個常數(shù),則稱:在x的該種趨向下例當|x|無限增大時,都不無限接近一個常數(shù),因此都不存在.函數(shù)的極限不存在.48例1.

注:49例如：50解顯然有可見和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例討論極限是否存在?函數(shù)的極限Axfx=-￥?)(lim51定義2.

設函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當x趨向于x0時的極限，記作時,有若當或也稱當時,f(x)收斂于A。二、函數(shù)在一點(one-point)的極限幾何解釋:因果因果例12o52o52o511157例2.

觀察分析1-10xy1定理1：如果y=f(x)

是基本初等函數(shù)，x0是其定義域內(nèi)一點，則58例如59左、右極限(單側極限)例如,函數(shù)的極限兩種情況分別討論!60同理得到右極限

:定義：如果從左邊趨于時，無限接近于A,稱時，的左極限是A,記作61注且此性質常用于判斷分段函數(shù)當x趨近于分段點時的極限.極限存在的充分必要條件：總結一下x的趨向一共有六種:

62左、右極限存在,證故極限不存在.例3函數(shù)的極限但不相等,討論的存在性.63例4.

設函數(shù)討論時的極限是否存在.解:因為顯然所以不存在.64解:例5.

求例6.

設函數(shù)且存在,求a.解:65討論函數(shù)：在處的極限；所以不存在.66

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質,定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.三、函數(shù)極限的性質67定理3(局部保號性)68定理4.（海涅定理：函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系）有定義且有說明:

此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個數(shù)列不存在.法2

找兩個趨于的不同數(shù)列及使69例.

證明不存在.證:

取兩個趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.函數(shù)與極限70無窮小(infinitelysmall)無窮大(infinitelygreat)無窮小與無窮大的關系第三節(jié)無窮小與無窮大71當定義1.

若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當為時的無窮小(無窮小量）

.時為無窮小.1.定義一、無窮小72例:

無窮小是指函數(shù)變化的趨勢.在某個過程中1)無窮小是變量,不能與很小很小的數(shù)混淆;2)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).注“無窮小量”并不是表達量的大小,而是表達它的變化狀態(tài)的.“無限制變小的量”732.無窮小與函數(shù)極限的關系定理1例74在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和定理2仍是無窮小.3.無窮小的運算性質

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.注不是無窮小.無窮小與無窮大75

在同一過程中,有極限的變量與無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小.推論1的乘積是無窮小;推論2推論3無窮小與無窮大定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.76二、無窮大在某一極限過程中函數(shù)值的絕對值無限增大的變量稱為無窮大.如,是無窮大;是無窮大.無窮小與無窮大記作特殊情形:正無窮大,負無窮大．77?兩個正(負)無窮大之和仍為正(負)無窮大;?有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大;?有非零極限的變量(或無窮大)與無窮大之積仍為無窮大;容易證明例解無窮小與無窮大78(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無窮大一定是無界函數(shù),注(3)無窮大與無界函數(shù)的區(qū)別:它們是兩個不同的概念.未必是某個過程的無窮大.但是無界函數(shù)無窮小與無窮大79例如,

驗證函數(shù)但不是無窮大!0無界，但當不是無窮大.證：因此無界，80例.

直線為曲線的鉛直漸近線

.鉛直漸近線說明:一般地,若則直線為曲線的鉛直漸近線

.81例1.

求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的水平漸近線.例2.

求同上題，解:

82定理2.（無窮小與無窮大的關系）若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關于無窮大的問題都可轉化為無窮小來討論.在自變量的同一變化過程中,說明:三、無窮小與無窮大的關系函數(shù)與極限83極限運算法則求極限方法舉例第四節(jié)極限運算法則84定理1證(1)無窮小與函數(shù)極限的關系一、極限運算法則極限運算法則85即常數(shù)因子可以提到極限符號外面.由無窮小運算法則,得(2)的特例是][][ba+±+BA+±=][BA][ba±=±\)]()(lim[xgxf極限運算法則86定理2那末如果極限運算法則87

注意應用四則運算法則時,要注意條件:

參加運算的是有限個函數(shù),它們的極限都商的極限要求分母的極限不為0.不要隨便參加運算,因為不是數(shù),它是表示函數(shù)的一種性態(tài).存在,極限運算法則88解:例1.二、求極限方法舉例極限運算法則89

小結則有則有極限運算法則f(x)稱為n次多項式.90解:商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,例2.得極限運算法則91解:例3

消去零因子法再求極限.

方法分子,分母的極限都是零.

先約去不為零的無窮小因子極限運算法則92小結93

x=3時分母為0!練習解:

x=1時分母=0,分子≠0,94例4解:無窮小因子析出法分子,分母的極限均為無窮大.

方法先用去除分子分母,分出無窮小,再求極限.先將分子、分母同除以x

的最高次冪,無窮小分出法以分出再求極限.求有理函數(shù)當?shù)臉O限時,無窮小,極限運算法則95例5

.

求解:

分子分母同除以則“抓大頭”原式96

小結例6解:極限運算法則97解:

分子分母同除以原式例7.

求98例8：求下列函數(shù)的極限（分子有理化）221lim.2nnn+++￥?L()11lim.122--+￥?xxx14916)1()32(lim.3715510-+-+￥?xxxxx99二、復合函數(shù)的極限運算法則定理5.

對于復合函數(shù)如果時,且則有100解:

令已知∴原式=例9.

求101例10.

求解:

可以把看成是由復合而成.因此由于102例11

設具有極限l,試求a和l.解因為

故必有

于是有4–

a=0,即a=4,將a=4代回原極限式,有解得l=10.103練習.試確定

a,b.解：此題分母的極限為0，當時，可見分子的極限一定為0，則有104例12.

設解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故練習.若均為常數(shù),則

,

.解：105106試確定常數(shù)解:令則使即0)1(lim33=--￥?xaxx例13.107內(nèi)容小結1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法分式函數(shù)極限求法時,用代入法(要求分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”4)有根式的可以考慮根式有理化5)變量代換法也可求極限1081.

求解:

原式練習1092.解:(無窮小因子分出法)110解：原式3.

求1114.解先作恒等變形,和式的項數(shù)隨著n在變化,再求極限.使和式的項數(shù)固定,原式=不能用運算法則.

方法極限運算法則1125.求解法1原式=解法2令則原式=極限運算法則1136.解:“根式轉移”法化為型不滿足每一項極限都存在的條件,不能直接應用四則運算法則.

分子有理化1147.解:原式=

這種用變量代換方法求極限,實質就是復合函數(shù)求極限法.極限運算法則故1158.試確定

a,b.解：此題分母的極限為0，當時，可見分子的極限一定為0，則有1161.解:練習1172.解:(消去零因子法)1183.解:

求故119解:原式=解:原式=極限運算法則1206.求解:

方法1則令∴原式方法2極限運算法則1217.解:先變形再求極限.122極限存在準則兩個重要極限第五節(jié)極限存在準則

兩個重要極限1231.夾逼準則準則Ⅰ滿足下列條件:一、極限存在準則極限存在準則兩個重要極限如果數(shù)列那么數(shù)列的極限存在,且}{}{},{nnnzyx及注意:124例1.利用夾逼準則證明證明:滿足由定義知利用夾逼準則得極限存在準則兩個重要極限設125例2.

證明證:

利用夾逼準則.且由極限存在準則兩個重要極限126練習.解:由夾逼定理得極限存在準則兩個重要極限127稱為準則Ⅰ’如果那么存在,且等于A.極限存在準則兩個重要極限夾逼準則.有準則Ⅰ’準則Ⅰ和128

注利用夾逼準則是求極限的一個重要手段,將復雜的函數(shù)f(x)做適當?shù)姆糯蠛涂s小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù)g(x)和h(x)即可.極限存在準則兩個重要極限129(1)作為準則Ⅰ'

的應用極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限130即夾逼定理該極限的特點:極限存在準則兩個重要極限131?極限存在準則兩個重要極限

一般有問

正確=sinlim1132例1.

注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：說明:

計算中注意利用極限存在準則兩個重要極限133解:

例2.

求極限存在準則兩個重要極限例3.求解:令則因此原式134例4.

求解:

原式=

例5.

解:極限存在準則兩個重要極限1351.2.極限存在準則兩個重要極限3.練習136例6.求

例7.求例7：于是解：例6：極限存在準則兩個重要極限137練習解極限存在準則兩個重要極限138求解：

練習139中的底就是這個常數(shù)即指數(shù)函數(shù)以及自然對數(shù)極限存在準則兩個重要極限重要極限2.140該極限的特點:(3)

括號中1后的變量(包括符號)與指數(shù)互為倒數(shù).一般有(2)底為兩項之和，第一項為1，第二項是無窮小量;141例1.

求解:令則說明：若利用則原式時，極限存在準則兩個重要極限142注意：解：原式＝練習2.解:練習1.143例2.

求解:

原式=144冪指函數(shù)一般的,對于形如的函數(shù)(通常稱為冪指函數(shù)),如果那么注:

lim表示在同一自變量變化過程中的極限.145解一解二例3.

求146練習.解:

147解:

I=例4.

求極限148例5.

求解:

原式=極限存在準則兩個重要極限例6.

已知求

C.解:

原式=149例例例例極限存在準則兩個重要極限1502、兩個重要極限或注:

代表相同的表達式內(nèi)容小結1、數(shù)列極限存在的夾逼準則函數(shù)極限存在的夾逼準則151思考與練習1.填空題

(1～4)2.選擇題D152A極限存在準則兩個重要極限153解或1546.解或155思考題1.求極限2.求極限極限存在準則兩個重要極限3.求極限4.求極限5.求極限156思考題解答2.原式=極限存在準則兩個重要極限1573.4.解:原式=1585.

求解：函數(shù)與極限159無窮小的比較利用等價無窮小替換求極限第六節(jié)無窮小的比較160如,不可比.觀察各極限是無窮小.一、無窮小的比較無窮小的比較不存在.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.161定義.若則稱

是比

高階的無窮小,若若若或設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作162如高階無窮小,同階無窮小.因為二階無窮小.無窮小的比較

k

階無窮小.163例如

,

當～時～～～又如164例1.

證明:證:因此即有等價關系:說明:

上述證明過程也給出了等價關系:165例2.

證明:當時,～證明:～166例2.

證明:當時,～證明:～167常用等價無窮小無窮小的比較注上述11個等價無窮?。òǚ?、對、冪、指、三）必須熟練掌握168例無窮小的比較169定理1證(等價無窮小替換定理)無窮小的比較二、利用等價無窮小替換求極限170意義

求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換?；蚍帜富虺朔e因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代例如,171例1.解:不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能隨便替換.注意172例2.解解:錯無窮小的比較173例3.

求解:解:例4.

求174練習1755.

求解：176解:原式=6.177第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷函數(shù)的連續(xù)(continuity)初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的間斷點閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質1781.函數(shù)的增量自變量稱差為自變量在的增量;函數(shù)隨著從稱差為函數(shù)的增量.如圖:一、函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點179連續(xù),2.連續(xù)的定義定義1設函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.

自變量在x0點的增量為無窮小時,函數(shù)的增量也為無窮小.形象地表示了連續(xù)性的特征.采用了無窮小定義法

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點180例證都是連續(xù)的.類似可證,是連續(xù)的.即

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點181定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).

把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法——只需求出該點函數(shù)特定值.

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點連續(xù)性f(x)在處有定義;(1)(2)(3)三個要素:存在;182例證定義2試證函數(shù)處連續(xù).

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1833.左、右連續(xù)左連續(xù)(continuityfromthe右連續(xù)(continuityfromtheleft);right).左連續(xù)右連續(xù)

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點184定理1此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性.

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:185例1.解：不右連續(xù).所以左連續(xù),

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點186

練習解：右連續(xù)但不左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.187例2.解：

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點188練習設解因為所以必需且只需即必需且只需即

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1894.連續(xù)函數(shù)(continousfunction)與連續(xù)區(qū)間上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點右端點這時也稱該區(qū)間為左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù)

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點表示在區(qū)間(a,b)上連續(xù)函數(shù)的全體.190三角函數(shù)及反三角函數(shù)(1)(2)(3)是連續(xù)的;二、初等函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)且連續(xù);指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)且連續(xù);(4)冪函數(shù)連續(xù);在它們的定義域內(nèi)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性191定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),注在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性192例1.解:2.初等函數(shù)求極限的方法注:

代入法.連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性193例2.

求的連續(xù)區(qū)間，并求解:因為所給函數(shù)是初等函數(shù)，其連續(xù)區(qū)間就是定義域：又因為是定義域中的一點,連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性194例3.求極限解：例4.

求極限解：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)符號f

和極限號可以交換次序。195定義4出現(xiàn)如下三種情形之一:三、函數(shù)的間斷點及其分類無定義;不存在;間斷點.

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點設在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,196197198199間斷點分為兩類:第二類間斷點(discontinuitypointofthesecondkind):第一類間斷點(discontinuitypointofthefirstkind):及均存在,及中至少一個不存在.若稱為可去間斷點.若稱為跳躍間斷點.若其中有一個為振蕩,若其中有一個為稱為無窮間斷點.稱為振蕩間斷點.

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點200例1.由于函數(shù)無定義,故為f(x)的間斷點.且皆不存在.第二類第二類間斷點:至少有且是無窮間斷點.一個不存在.

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點201例2.有定義,不存在,故為f(x)的間斷點.第二類且是振蕩間斷點.之間來回無窮次振蕩,

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點202例3.有定義,故為f(x)的間斷點.第一類的第一類間斷點.則點x0為函數(shù)f(x)的且是跳躍間斷點.跳躍間斷點(Jumpdiscontinuity).及均存在,則點x0為

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點203

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例4.討論函數(shù)解：為函數(shù)的間斷點.第一類

且是可去間斷點(removablediscontinuity).連續(xù).處無定義,可去間斷點.處在1=x204則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.注對可去間斷點x0,如果于A,

(這就是為什么將這種間斷點稱為使之等可去間斷點的理由.)補充x0的函數(shù)值,或改變

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點205如補充定義:如但

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點206間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.例5.

確定函數(shù)

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點207x=2是第二類無窮間斷點.答案:x=1是第一類可去間斷點,練習.

解:為間斷點,討論函數(shù)間斷點的類型及連續(xù)區(qū)間.連續(xù)區(qū)間：

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點208為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:209顯然為其可去間斷