數(shù)學(xué)二次函數(shù)專題測(cè)試與解析二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅是中考的重點(diǎn)考查對(duì)象，也為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的函數(shù)知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。其圖像與性質(zhì)的靈活應(yīng)用，以及與方程、不等式等知識(shí)的結(jié)合，常常成為同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。為了幫助大家更好地掌握這部分知識(shí)，我們精心設(shè)計(jì)了這份二次函數(shù)專題測(cè)試，并附上詳細(xì)解析，希望能對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所助益。一、專題測(cè)試（一）選擇題(每題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1.下列關(guān)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)(其中\(zhòng)(a\neq0\))的說(shuō)法，不正確的是（）A.其圖像是一條拋物線B.當(dāng)\(a>0\)時(shí)，函數(shù)有最小值C.拋物線的對(duì)稱軸是直線\(x=-\frac{a}\)D.若圖像過(guò)原點(diǎn)，則\(c=0\)2.二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2,-1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(-2,1)3.若二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開(kāi)口向下，且與y軸的正半軸相交，則下列各式中正確的是（）A.\(a>0,c>0\)B.\(a<0,c>0\)C.\(a<0,c<0\)D.\(a>0,c<0\)（二）填空題4.拋物線\(y=2x^2-4x+1\)的對(duì)稱軸是直線________。5.若二次函數(shù)\(y=x^2+mx+n\)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)和(2,1)，則\(m+n=\)________。6.二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)的最大值是________。（三）解答題7.已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)。(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求出該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。8.某商店銷售一種商品，每件成本為a元。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x為某值時(shí)，y有相應(yīng)取值（具體數(shù)據(jù)略去，此處僅為情境設(shè)定）。若該商店每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為w元。(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)=(售價(jià)-成本)×銷售量）；(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？二、解析與點(diǎn)評(píng)（一）選擇題1.答案：C解析：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)(a≠0)的圖像是拋物線，A正確。當(dāng)\(a>0\)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值，B正確。拋物線的對(duì)稱軸是直線\(x=-\frac{2a}\)，而非\(-\frac{a}\)，C錯(cuò)誤。當(dāng)圖像過(guò)原點(diǎn)(0,0)時(shí)，代入可得\(c=0\)，D正確。此題考查二次函數(shù)的基本概念，需準(zhǔn)確記憶對(duì)稱軸公式。2.答案：A解析：求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可采用配方法或公式法。對(duì)于\(y=x^2-4x+3\)，配方得\(y=(x-2)^2-1\)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。公式法：對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}=2\)，代入得\(y=4-8+3=-1\)。兩種方法均可，配方法對(duì)于后續(xù)求最值等問(wèn)題也更為直觀。3.答案：B解析：拋物線開(kāi)口向下，故二次項(xiàng)系數(shù)\(a<0\)。與y軸正半軸相交，說(shuō)明當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=c>0\)。因此B選項(xiàng)正確。此類題考查二次函數(shù)系數(shù)與圖像位置的關(guān)系，是常見(jiàn)基礎(chǔ)題型。（二）填空題4.答案：x=1解析：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。這里\(a=2\)，\(b=-4\)，代入得\(x=-\frac{-4}{2\times2}=1\)。直接應(yīng)用公式即可，注意符號(hào)。5.答案：0解析：將點(diǎn)(1,2)和(2,1)分別代入函數(shù)\(y=x^2+mx+n\)，得到方程組：\(1+m+n=2\)（當(dāng)x=1時(shí)）\(4+2m+n=1\)（當(dāng)x=2時(shí)）解這個(gè)方程組，用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程可得\(3+m=-1\)，解得\(m=-4\)。再代入第一個(gè)方程得\(1-4+n=2\)，解得\(n=5\)。所以\(m+n=-4+5=1\)？等一下，算錯(cuò)了。第一個(gè)方程是1+m+n=2→m+n=1。哦，對(duì)！題目問(wèn)的是m+n，第一個(gè)方程直接就給出了m+n=1。我剛才是多此一舉解出m和n了，不過(guò)驗(yàn)證一下也沒(méi)錯(cuò)，m=-4，n=5，m+n=1?？磥?lái)細(xì)心審題很重要，有時(shí)候答案可能就藏在已知條件的簡(jiǎn)單組合中。6.答案：4解析：求二次函數(shù)最值，對(duì)于\(y=-x^2+2x+3\)，因?yàn)閈(a=-1<0\)，函數(shù)有最大值。可以配方：\(y=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4\)，所以當(dāng)x=1時(shí)，y最大值為4。也可利用頂點(diǎn)公式，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)即為最值。（三）解答題7.解析：(1)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-4)，可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為\(y=a(x-1)^2-4\)(a≠0)。因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，將x=3,y=0代入得：\(0=a(3-1)^2-4\)→\(0=4a-4\)→\(a=1\)。所以函數(shù)解析式為\(y=(x-1)^2-4\)，展開(kāi)后也可寫為\(y=x^2-2x-3\)。選擇合適的解析式形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）能使解題過(guò)程更簡(jiǎn)便，此題頂點(diǎn)已知，頂點(diǎn)式是最佳選擇。(2)求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：與y軸交點(diǎn)：令x=0，得\(y=(0-1)^2-4=1-4=-3\)，所以與y軸交點(diǎn)為(0,-3)。與x軸交點(diǎn)：令y=0，得\((x-1)^2-4=0\)→\((x-1)^2=4\)→\(x-1=±2\)→\(x=3\)或\(x=-1\)。所以與x軸交點(diǎn)為(3,0)和(-1,0)。（題目已告知經(jīng)過(guò)(3,0)，驗(yàn)證了我們解析式的正確性）。求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)是基本技能，分別令x=0和y=0求解即可。8.解析：(此處因題目設(shè)定“具體數(shù)據(jù)略去”，故針對(duì)此類題型的一般解法進(jìn)行解析)(1)首先，根據(jù)題意，日銷售量y與銷售單價(jià)x是一次函數(shù)關(guān)系，通常題目會(huì)給出兩組(x,y)的對(duì)應(yīng)值，我們可以先求出這個(gè)一次函數(shù)的解析式\(y=kx+b\)(k≠0)。然后，利潤(rùn)w=(售價(jià)x-成本a)×銷售量y，即\(w=(x-a)(kx+b)\)。將其展開(kāi)并整理，即可得到w與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式（一般是一般式）。(2)得到w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式后，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)k的符號(hào)（由銷售量隨價(jià)格變化趨勢(shì)決定，通常價(jià)格過(guò)高銷量下降，k為負(fù)）以及(x-a)這一項(xiàng)，需要判斷這個(gè)二次函數(shù)的開(kāi)口方向。若開(kāi)口向下，則函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值。頂點(diǎn)的x坐標(biāo)即為使利潤(rùn)最大的銷售單價(jià)，代入函數(shù)式即可求得最大利潤(rùn)。在求解過(guò)程中，需注意自變量x的取值范圍要符合實(shí)際意義，比如售價(jià)不能低于成本，銷量不能為負(fù)等，確保頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在有效范圍內(nèi)。這類應(yīng)用題的關(guān)鍵在于理解題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。三、總結(jié)與提升通過(guò)本次專題測(cè)試，我們可以看到二次函數(shù)的考查重點(diǎn)圍繞其圖像性質(zhì)（開(kāi)口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最值）、解析式的確定（根據(jù)不同條件選擇合適形式）以及實(shí)際應(yīng)用。在解題時(shí)，一要熟練掌握基本概念和公式，二要靈活運(yùn)用代數(shù)變形（如配方）和方程思想，