1、二階行列式的定義2、二階行列式的應(yīng)用—解二元線性方程組1.1.1二階行列式1.1.2三階行列式1、三階行列式的定義2、三階行列式的應(yīng)用教學(xué)要求：了解二階、三階行列式的概念；

掌握二階、三階行列式的計算；掌握二元、三元線性方程組的求解公式。在中學(xué)階段，學(xué)習(xí)了各種式子,如和式、分式、根式、積分式等。和式：分式：根式：積分式：2+3；a+b;…運算符“+”運算符“—”，“+”運算符“”運算符“

”1、二階行列式的定義定義1.1

由2×2個數(shù)aij

(i,j=1,2)排成2行2列的數(shù)表,并在兩邊畫上豎線的符號第1行第2行第1列第2列稱為二階行列式,它表示代數(shù)運算:a11a22

a12a21.二階行列式的對角線規(guī)則：主對角線上兩元素乘積與副對角線上兩元素乘積之差。副對角線主對角線注：由定義,二階行列式表示一個代數(shù)運算式!例如：二階行列式系數(shù)aij

及bi(i,j=1,2)為常數(shù)。由aij

及bi(i,j=1,2)可構(gòu)成以下3個二階行列式，分別記為2、二階行列式應(yīng)用設(shè)二元線性方程組其中D稱為系數(shù)行列式。其中x1,x2為未知量，說明：顯然，系數(shù)行列式D是由方程組(1.1)的系數(shù)在方程組的一般形式下保持原來相對位置不變所構(gòu)成的二階行列式.二階行列式D1是用常數(shù)項(b1,b2)替換D中第一列所得的行列式,二階行列式D2是用(b1,b2)替換D中第二列所得的行列式.的系數(shù)行列式命題1.1

設(shè)二元線性方程組且則方程組的解可表示為(1.1)【證】由消元法解二元線性方程組兩式相減，消去x2

得(1)×

a22(2)×

a12顯然，兩個解的分母相同，且分母由方程組的4個系數(shù)aij

確定.類似地，消去x1

得當a11a22

a12a21≠0時,(1.2)利用二階行列式的定義，記即則方程組的解(1.2)式可表示為證畢?！纠?.1】解線性方程組解:

因為系數(shù)行列式由命題1.1，所以方程組的解為且回顧：上一講學(xué)習(xí)了二階行列式3、三階行列式的定義類似地，我們定義三階行列式如下。定義1.2

設(shè)3×3個數(shù)aij(i,j=1,2,3)排成的3行3列并在兩邊加上豎線的式子它表示代數(shù)運算

稱為三階行列式，記為D=|(aij)3|或det(aij),即a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33+－說明:(1)三階行列式的對角線規(guī)則(2)沙路法:三階行列式還可用沙路法則記憶(如圖1.2)

a11a21a31

a12a22a32a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

將行列式的第一列、第二列重復(fù)寫在行列式右側(cè)，然后畫線，實線劃過的3數(shù)乘積之和與虛線劃過的3數(shù)乘積之差?！纠?.2】計算三階行列式按對角線規(guī)則

有【解】

1

2

(

1)

3

(

1)

(

1)D

1

5

4

2

2

2

2

(

1)

4

3

5

2

11解：按對角線法則，有【例1.3】求行列式

20+0+0-0-0-0

12

0

3

0

0D

1

5

4

6

2

0

3

5

0

6

0

4

20

規(guī)律：觀察行列式的特點，位于主對角線下方元素全部為零，稱這種形式的行列式為上三角形行列式。例題表明：上三角形行列式等于主對角線上元素的乘積?！纠?.4】已知【解】方程左端為三階行列式,按對角線法則得解得注：若記顯然,D(x)是x的函數(shù).求x.

解：按對角線規(guī)則，有課堂練習(xí)：

求行列式思考：

命題1.2設(shè)含有三個未知量與三個方程的線性方程組為4、三階行列式的應(yīng)用其中xi為未知量，aij,bj(i=1,2,3;j=1,2,3)為已知常數(shù)。且系數(shù)行列式則方程組的解為若記可見：類似于二元方程組,三元線性方程組的解也是由系數(shù)aij,bi決定的?！纠?.5】解線性方程組【解】因為系數(shù)行列式方程組有唯一解,又因為所以線性方程組的唯一解為【例1.5’】解線性方程組【解】方程組的系數(shù)行列式為=1×1×(

1)且行列式故方程組的解為:說明：求解三元線性方程組，解題關(guān)鍵是計算系數(shù)行列式D,以及行列式D1

,D2

,D3

,其中D1

,D2

,D3

是將系數(shù)行列式D的第1，2，3列分別用常數(shù)列替代而得到行列式.練習(xí)1.計算下列行列式2.計算下列二階或三階行列式(假設(shè)a,b,c,

為常數(shù))(2)

(3)(1)4.請你自編一個二元線性方程組，并求解之。3.求解方程組5.計算下列三階行列式：6.計算下列二階或三階行列式(假設(shè)a,b,c為常數(shù))

(8)

(9)

(7)3.若，求常數(shù)a。5.解線性方程組4.已知,求常數(shù)

。

END1、n級排列的定義2、排列的逆序數(shù)3、對換與排列的性質(zhì)1.2.1排列及其逆序數(shù)1.2.2n階行列式1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n

階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式教學(xué)要求：了解n級排列的概念了解排列的逆序數(shù)、奇偶排列概念及其性質(zhì)會求排列的逆序數(shù)了解n階行列式的概念，會用行列式定義計算一些行列式掌握特殊行列式的計算。定義1.3由自然數(shù)

1，2，…，n

組成的有序數(shù)組i1,i2,…,in稱為一個n級排列，其中ik∈{1,2,…,n}(k=1,2,…,n)例如，當n=3時,３級排列是由1,2,3

組成的有序數(shù)組,它們分別為1、n級排列的定義顯然，3級排列共有3!=6種。顯然，n級排列共有n!

個。在一個排列中，由較小數(shù)碼到較大數(shù)碼的排列次序稱為自然順序；而由較大數(shù)碼到較小數(shù)碼的排列為逆自然順序，簡稱逆序。2、n級排列的逆序數(shù)定義1.4

個數(shù)組成一個逆序.排在數(shù)ik

左邊比ik大的數(shù)的個數(shù)稱為數(shù)ik的逆序數(shù).中，若數(shù)ij>ik

,則稱這兩在一個排列i1,...,ij,...,ik,…,ini1,...,ij,...,ik

,…,in例如，３級排列中，排在數(shù)2

左邊比2

大的數(shù)有3，共1個，故數(shù)

2

的逆序數(shù)為1。３級排列中，排在數(shù)1

左邊比1

大的數(shù)有3，2,共2個，故數(shù)

1

的逆序數(shù)為2。定義1.4

一個排列中，每個數(shù)的逆序數(shù)的總和稱為此排列的逆序數(shù).排列i1i2…in的逆序數(shù)記為t=

(i1i2…in).例如：在5級排列３２５１４中，32514逆序逆序逆序逆序數(shù)1的左邊比1大的數(shù)有3個，逆序因此，排列“３２５１４”的逆序數(shù)為t=τ(32514)=0+1+0+3+1=5。分別是3，2，5，故數(shù)1的逆序數(shù)為3.從左至右，每個數(shù)碼的逆序數(shù)類推。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性：注：由定義，確定一個排列的逆序數(shù)的方法是：在這個排列中，從左至右，分別計算排列中每個數(shù)左邊比它大的數(shù)碼個數(shù)，即計算出排列中每個數(shù)的逆序數(shù)，然后將每個數(shù)的逆序數(shù)求和即得到排列的逆序數(shù)．【例1.6】求4級排列3412的逆序數(shù),并指出奇偶性.【解】從排列“3412”的左邊第一個數(shù)碼“3”開始,從左至右,依次求出每個數(shù)碼的逆序數(shù),然后將每個數(shù)碼的逆序數(shù)相加即得排列的逆序數(shù).因為排列“3412”從左至右數(shù)碼“3”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“4”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“1”的逆序數(shù)為2,數(shù)碼“2”的逆序數(shù)為2,所以

(3412)=0+0+2+2=4又因為

(3412)=4是偶數(shù),故排列“3412”是偶排列.

【例1.6’】

計算下列9級排列的逆序數(shù)，并指出其奇偶性.２１７９８６３５４解：從左至右，分別計算排列中每個數(shù)的逆序數(shù)所以，該排列的逆序數(shù)t=

(217986354)=18，該排列為偶排列.217986354010013445當n=4k,4k+1(k∈N)時t為偶數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為偶排列；當n=4k+2,4k+3(k∈N)時t為奇數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為奇排列.【例1.7】由自然數(shù)1,2,…,n按逆自然順序排成的n級排列其逆序數(shù)為n,n

1,

n

2,…,3,2,1012n

2n

1定義1.5

在排列中，將任意兩個數(shù)碼位置對調(diào)，其余數(shù)碼不動，這種作出新排列的過程叫做對換。相鄰兩個數(shù)碼的對換叫相鄰對換。3、對換與排列的性質(zhì)結(jié)論：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。例如，5級排列逆序數(shù)2（偶）1（奇）對換逆序數(shù)7（奇）8（偶）相鄰對換5級排列定理1.1（對換性質(zhì)）任一排列經(jīng)過一次對換將改變其奇偶性.設(shè)排列為a1…alabb1…bm

,對換a與b，變?yōu)閍1…albab1…bm

,顯然，除a,b外a1…al

；b1…bm

這些元素的逆序數(shù)經(jīng)對換不改變，而a,b兩元素的逆序數(shù)改變：【證】

(先證相鄰對換的情形)

當a>b

時，經(jīng)對換后

a的逆序數(shù)不變，而

b的逆序數(shù)減少1；

當a<b

時，經(jīng)對換后a

的逆序數(shù)增加1，而

b的逆序數(shù)不變。所以，排列a1…alabb1…bm

與

a1…albab1…bm

的奇偶性不同。再證一般對換的情形：設(shè)排列為a1…alab1…bm

bc1…cn,把b作

m次相鄰對換，調(diào)成a1…alabb1…bmc1…cn,再把a作m+1次相鄰對換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn.所以，這兩個排列的奇偶性相反?？傊帕衋1…alab1…bmbc1…cn

經(jīng)

2m+1次相鄰對換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn

，【證】因為在全部的n級排列中，共有n!個排列，奇排列經(jīng)一次對換就是偶排列，因此奇排列的個數(shù)不超過偶排列個數(shù)。

同樣，偶排列經(jīng)一次對換就是奇排列，因此偶排列的個數(shù)不超過奇排列個數(shù)，故奇排列個數(shù)與偶排列個數(shù)相等，因此奇偶排列各占一半，即n!/2個。推論在全部的n級排列中，奇排列與偶排列個數(shù)各占一半。例如，由1，2，3組成的３級排列共有3!=６個,它們分別為奇排列有：其中，偶排列有：1.2.2n階行列式教學(xué)內(nèi)容：1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式1、三階行列式結(jié)構(gòu)分析分析式子右邊,可得如下特點:①共有3!=6項的和。其中每一項都是位于不同行、不同列的3個元素的乘積。1.2.2n階行列式②每一項除正負號以外可以寫成a1j1a2j2a3j3

的形式。且行下標是1,2,3的自然排列，列下標是1、2、3的某個排列j1j2j3

,這樣的排列,共有3!=6種，即式子右端含有6項的代數(shù)和。132，213，321

（偶排列）（奇排列）③各項的正負號與列標排列對照：123，231，312帶正號的三項列標

j1

j2

j3

排列是：帶負號的三項列標

j1

j2

j3

排列是：④三階行列式可用和號“

”寫成其中

“

”

表示對1、2、3三個數(shù)的所有可能的排列j1j2j3取和,t為排列j1j2j3的逆序數(shù)，即t

=

(j1j2j3).定義1.7

由n2個數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個數(shù)的乘積項的代數(shù)和，其乘積項形如2.n階行列式定義1.7

由n2個數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個數(shù)的乘積項的代數(shù)和，其乘積項形如其中j1j2…

jn

為一個n

級排列，t為排列j1j2…

jn

的逆序數(shù)。說明：①行列式是一種特定的算式，n

個數(shù)的乘積項形如行下標是自然順序排列，列下標是n級排列，符號由該n級排列的逆序數(shù)確定，奇數(shù)排列時取負號，偶數(shù)排列時取正號。②

n階行列式共有n!項的代數(shù)和；③

n!項的代數(shù)和中每項都是位于不同行、不同列的n個元素乘積.例如，5階行列式有5!=120

項的代數(shù)和?！纠?.8】在6階行列式det(aij)中的項的符號為____.的行下標為自然順序排列1,2,3,4,5,6解:因為項j1=4,j2=3,j3=1,j4=2,j5=6,j6=5其逆序數(shù)為

(431265)=6前邊應(yīng)帶正號“+”.偶排列，所以，項列下標的排列為：是偶數(shù)，因此列下標是【例1.9】計算四階行列式解設(shè)一般項是在一般項中,只有當j1=4時,一般項才有可能不為“0”,否則如果j1≠4,且由于第1行中只有位于第4列的元為4,其余元為“0”,那么從而該項等于零.同理,只有當j2=3,j3=2,j4=1時,一般項才不為零.這就是說,和式中不為零的項只有“a14a23a32a41”這一項,且列下標排列的逆序數(shù)

(j1j2j3j4)=

(4321)=6,所以注：從這個例子可知,行列式的對角線規(guī)則只適應(yīng)于二階或三階行列式,四階及以上階行列式不能用對角線規(guī)則.【例1.10】用定義計算行列式解：由于在一般項中，當時，，且故時，一般項有可能不為0，的排列只有一個自然排列1234，在所有4級排列j1j2j3j4

中，能滿足這一項(

1)t

a11a22a33a44，且這項的符號是(

1)

t

=(

1)0=1.所以所以D中可能不為0的項只有由例題，我們可得：同例1.10，可以證明n

階上三角行列式即，上三角形行列式的值等于其主對角線元素的乘積。下三角形、對角形行列式的值也為主對角元素的乘積。(下三角形行列式)（對角形行列式）類似的可證明：例如：【例1.11

】用行列式的定義計算解：記，在一般項中，只有當時,列標排列取所以在D的所有求和項中，只有這一項不為不為零，所以其中1.求下列各排列的逆序數(shù)(n>1)(1)8級排列：76385214;(2)2n級排列：13

(2n-1)24

(2n)

(2)2n級排列：13

(2n-1)(2n)(2n-2)

2.2.列出全部的4級排列，并區(qū)分出奇排列與偶排列。練習(xí)思考：在全部的4級排列中，奇排列與偶排列各有多少個？答案：

4級排列共有4!=24(個)，奇排列與偶排列各有

24/2=12(個).1.用行列式定義計算下列行列式2.自編一個三角形或?qū)切涡辛惺剑⒂嬎阒?。練?xí)考研真題1.(2021數(shù)學(xué)三)多項式中x3的系數(shù)

-5.2.(2016數(shù)學(xué)三)行列式.END1.3.1行列式的等價定義1.3.2行列式性質(zhì)1、行與列的對稱性2、行（列）互換的變號性3、整行（列）提取公因數(shù)性質(zhì)4、行（列）和的可加性5、行(列)倍加變換的不變性教學(xué)要求：了解行列式的等價定義掌握行列式的基本性質(zhì)會用行列式性質(zhì)計算行列式1.3.1行列式的等價定義行列式定義回顧其中t

為行標排列i1,i2,…,in的逆序數(shù)。定義1.7

n

階行列式的等價定義即t=

(i1,i2,…,in)。即一般項的行標是n級排列i1,i2,…,in，而列標是按自然順序排列的其中t

為行標排列i1,i2,…,in定理1.2

n

階行列式(1.9)還可以寫成即一般項的行標與列標都是n級排列！的逆序數(shù)與行標排列j1,j2,…,jn的逆序數(shù)之和。設(shè)稱DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。1.3.2行列式的性質(zhì)記行列式D轉(zhuǎn)置示意：a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

則DT=性質(zhì)1(行與列的對稱性)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。例如，若123

456

788則DT==3注：行列式“行與列”的對稱性說明對行成立的性質(zhì)對列也成立。

行列式也可稱為”列行式”。性質(zhì)2

(行互換的變號性)互換行列式的兩行（列），行列式變號。若則D=

D1.則D=

D1.例如以

ri

表示行列式的第

i行，以

ci

表示行列式的第

i列，(1)交換第i，j

兩行記作:(2)交換第i，j

兩列記作:例如：推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。例如：【證】

把這兩行互換，有D=

D，故2D=0，即D=0

.

性質(zhì)3(整行提取公因數(shù)性質(zhì))

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k,等于用數(shù)

k乘此行列式.例如：第

i行（或列）提出公因數(shù)

k，記作ri÷k（或ci÷k）。第

i行（或列）乘以

k，記作ri

×k（或ci×k

）。

推論行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.兩行相同！兩行成比例！例如：性質(zhì)5[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成兩個數(shù)的和，則該行列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同。a11a12…a1n

ai1+bi1

ai2+bi2

…ain

+bin

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

ai1ai2…ain

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

bi1bi2…bin

an1an2…ann

…………

…………

+=D=第i行推論：[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成m個數(shù)的和，則該行列式可以寫成m個行列式的和，這m個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的m個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同。【例1.11】性質(zhì)5[行(列)倍加變換的不變性]把行列式的某一列（行）的各個元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。以數(shù)

k乘第

j行(列)加到第

i行(列)上,記作ri

+krj

(ci

+kcj

).命題

行列式D=|aij|經(jīng)過有限次的行互換與行倍加運算，總可以化為上三角形行列式。(1)k其中(1)k表示行列式進行k次行互換改變的符號。例如：計算行列式【例1.12】計算行列式【解】運用行列式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為上三角形行列式,得【例1.12’】計算行列式【例1.13】計算n階行列式【解】注意到行列式每一行的和均為(x+na),因此將每列加至第1列,然后提取公因式(x+na),再將第1行的(

1)倍加至其余各行,得【補例1】計算n階行列式解：將第2,3,4,…,n

列都加到第一列得(第一列提取因子[a+(n-1)b])設(shè)【補例2】,記則D=D1D2.解：對D1作運算ri

+krj

,把D1化為下三角形行列式:

D2作運算ci

+kcj

,把D2化為下三角形行列式:于是，對D的前k列作運算ri

+krj

,再對后n列作運算ci

+kcj

,把D化為下三角形:故D=p11…pkkq11…qnn=D1D2.證畢.例如：計算行列式解：1.計算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)1.計算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)

(3)(4)考研真題1.(2016數(shù)學(xué)三)行列式.2.(2020數(shù)學(xué)三)行列式.3.(2014數(shù)學(xué)三)行列式(A)(ad-bc)2；(B)-(ad-bc)2；(C)a2d2-b2c2；(D)b2c2-a2d2END1.4行列式展開公式1、余子式與代數(shù)余子式定義2、行列式按行(列)展開公式3、范德蒙行列式教學(xué)要求：了解余子式、代數(shù)余子式的概念掌握行列式的按行（列）展開公式

了解范德蒙行列式

定義1.9在

n階行列式det(

aij

)中，把元素

aij

所在的第

i行和第

j列的元素劃去，留下來的n

1階行列式稱為元素

aij

的余子式，記作

Mij

.記Aij

=(

1)i+jMij

,稱Aij

為元素

aij

的代數(shù)余子式。1、余子式與代數(shù)余子式【例1.22】4階行列式中元素a32

的余子式為其代數(shù)余子式為引理1.1

一個

n階行列式D=|

aij

|，如果D的第i

行所有元素除aij

外都為0，那么這個行列式等于aij

與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即【證】第

i

行元素除aij

外都為0

,即ai1=0,ai2=0,…,ain

=0,所以我們先證aij

位于第1行、第1列的情形，此時i=1,j=1,即aij為a11這是【例1.14】中當

k=1時的特殊情形，故有又從而得把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行，…第1行對調(diào)，下證一般情形,此時（共對調(diào)了i-1次?。┑冒袲的第j列依次與第j-1列，第j-2列，…第1列對調(diào)，（共對調(diào)了j-1次?。┲械挠嘧邮組ij注意到：元素aij

在行列式仍然是aij

在行列式中的余子式于是有，行列式故即證畢.

定理1.3【按行（列）展開公式】行列式D=det(aij)等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即2、行列式按行（列）展開公式【證】將D的第i行每個元素拆分為n個數(shù)的和，按行和的可加性，有（按行展開公式）（按列展開公式）或第i行每個元拆分為n個數(shù)求和！上式n個行列式求和，根據(jù)引理1.1，即得按第

i行展開公式，類似地，若按第

j列展開，可得公式推論：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即：（1）第i行元素與第k行的對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零。（2）第j列元素與第l列的對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零。把行列式D=det(aij)按第

k

行展開有【證】把行列式中第k行的元素akj

換成aij(i

k,j=1,2,…,n),可得相同同理證畢所以第k行第i行或由定理與推論，可總結(jié)為例如：

計算三階行列式解：按第一行展開，得按第二行展開，得注：顯然，因為a21=0,a23=0,所以按第二行展開時，只要計算A22,

計算量明顯減少?！纠?.14】計算行列式【解】先將第2列化為含有較多零元素素,再按第2列展開計算.【補例3】(應(yīng)用行列式性質(zhì)與展開公式計算行列式)計算行列式解:觀察行列式，注意到第3行“a33=1”。保留第3行“a33=1”，把第3行其余元素通過“倍加列變換”變?yōu)?

，然后按第3行展開，即（按第3行展開）（再按第3列展開）（已降為3階行列式?。ㄒ呀禐?階行列式！）【例1.15】

計算行列式3、范德蒙行列式證明：由n個數(shù)組成的行列式Dn(稱為范德蒙行列式)(1.6)表示n個數(shù)兩兩大下標與小下標兩數(shù)之差的乘積。(1.6)【證】（用歸納法）所以當

n=2時結(jié)論成立。因為當n=2時，現(xiàn)假設(shè)(1.6)對于n-1個數(shù)要證(1.6)對于

n

階范德蒙行列式也成立。行列式也成立。顯然，范德蒙行列式的每一列是個等比數(shù)列。對范德蒙行列式

Dn

，從第

n行開始，將第(n-1)行的(-x1)

倍加到第(n)行，將第(n-2)行的(-x1)

倍加到第(n-1)行，依次類推….，將第1

行的(-x1)

倍加到第2行，得按第1列展開，并提出每列的公因子(xi

x1)(i=2,3,…,n)，有上式右端的行列式是

n

1階范德蒙行列式，按照歸納假設(shè)，它等于所有(xj

xi)因子的乘積，其中

2

≤

i<j≤n

。故其中，這是例如組成的4階范德蒙行列式，所以由【例1.16】設(shè)(1)求行列式第二列元素的代數(shù)余子式之和(2)求行列式第二行元素余子式之和【解】(1)將展開公式左右倒過來運用,有(2)將余子式轉(zhuǎn)化為代數(shù)余子式，再利用展開式.注：在計算A12,A22,A32,A42時，若分別計算每個Ai2(i=1234)計算量較大，逆用展開式把其轉(zhuǎn)化為四階行列式，再利用行列式性質(zhì)計算可簡化運算。

【習(xí)題一，14題】

設(shè)n階行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和顯然，行列式Dn與行列式Cn第一行各元素的代數(shù)余子式相同！考察解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成

1.已知四階行列式D中第一列的元素為1,2,0,-4,第三列的元素的余子式為6,x,19,2,試求x的值.2.計算行列式

練習(xí)3.證明n階行列式

4.(2008數(shù)學(xué)3)證明n階行列式

END1.5克拉姆法則教學(xué)內(nèi)容：1、克拉姆（Cramer）法則2、齊次線性方程組有非零解的充要條件教學(xué)要求：了解克拉姆法則。會用克拉姆法則求解線性方程組。

設(shè)含有

n個未知數(shù)x1,x2,…,xn

以及

n個線性方程的方程組其中aij,bi(i,j=1,2,3,…,n)為常數(shù).1、克拉姆法則(1)若常數(shù)項b1,b2,…,bn不全為0，稱此方程組為非齊次線性方程組;(2)若常數(shù)項b1,b2,…,bn全為0，此時稱方程組為齊次線性方程組.000定理1.4（克拉姆法則）如果線性方程組(1.6)的系數(shù)行列式D不等于零，即那么方程(1.6)有唯一解其中Dj

(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第

j

列的元素用方程右端的常數(shù)項代替后所得到的

n

階行列式，即【證】用

D中第

j列元素代數(shù)余子式A1j,A2j,…,Anj

依次乘方程組(1.6)的

n個方程，再把它們相加，得(j=1,2

,…,n).根據(jù)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)可知，上式中

xj

的系數(shù)等于D，而其余

xi(i≠j)的系數(shù)均為零;又等式右端即是Dj，