1、二階行列式的定義2、二階行列式的應(yīng)用—解二元線性方程組1.1.1二階行列式1.1.2三階行列式1、三階行列式的定義2、三階行列式的應(yīng)用教學(xué)要求：了解二階、三階行列式的概念；

掌握二階、三階行列式的計(jì)算；掌握二元、三元線性方程組的求解公式。在中學(xué)階段，學(xué)習(xí)了各種式子,如和式、分式、根式、積分式等。和式：分式：根式：積分式：2+3；a+b;…運(yùn)算符“+”運(yùn)算符“—”，“+”運(yùn)算符“”運(yùn)算符“

”1、二階行列式的定義定義1.1

由2×2個數(shù)aij

(i,j=1,2)排成2行2列的數(shù)表,并在兩邊畫上豎線的符號第1行第2行第1列第2列稱為二階行列式,它表示代數(shù)運(yùn)算:a11a22

a12a21.二階行列式的對角線規(guī)則：主對角線上兩元素乘積與副對角線上兩元素乘積之差。副對角線主對角線注：由定義,二階行列式表示一個代數(shù)運(yùn)算式!例如：二階行列式系數(shù)aij

及bi(i,j=1,2)為常數(shù)。由aij

及bi(i,j=1,2)可構(gòu)成以下3個二階行列式，分別記為2、二階行列式應(yīng)用設(shè)二元線性方程組其中D稱為系數(shù)行列式。其中x1,x2為未知量，說明：顯然，系數(shù)行列式D是由方程組(1.1)的系數(shù)在方程組的一般形式下保持原來相對位置不變所構(gòu)成的二階行列式.二階行列式D1是用常數(shù)項(xiàng)(b1,b2)替換D中第一列所得的行列式,二階行列式D2是用(b1,b2)替換D中第二列所得的行列式.的系數(shù)行列式命題1.1

設(shè)二元線性方程組且則方程組的解可表示為(1.1)【證】由消元法解二元線性方程組兩式相減，消去x2

得(1)×

a22(2)×

a12顯然，兩個解的分母相同，且分母由方程組的4個系數(shù)aij

確定.類似地，消去x1

得當(dāng)a11a22

a12a21≠0時(shí),(1.2)利用二階行列式的定義，記即則方程組的解(1.2)式可表示為證畢。【例1.1】解線性方程組解:

因?yàn)橄禂?shù)行列式由命題1.1，所以方程組的解為且回顧：上一講學(xué)習(xí)了二階行列式3、三階行列式的定義類似地，我們定義三階行列式如下。定義1.2

設(shè)3×3個數(shù)aij(i,j=1,2,3)排成的3行3列并在兩邊加上豎線的式子它表示代數(shù)運(yùn)算

稱為三階行列式，記為D=|(aij)3|或det(aij),即a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33+－說明:(1)三階行列式的對角線規(guī)則(2)沙路法:三階行列式還可用沙路法則記憶(如圖1.2)

a11a21a31

a12a22a32a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

將行列式的第一列、第二列重復(fù)寫在行列式右側(cè)，然后畫線，實(shí)線劃過的3數(shù)乘積之和與虛線劃過的3數(shù)乘積之差。【例1.2】計(jì)算三階行列式按對角線規(guī)則

有【解】

1

2

(

1)

3

(

1)

(

1)D

1

5

4

2

2

2

2

(

1)

4

3

5

2

11解：按對角線法則，有【例1.3】求行列式

20+0+0-0-0-0

12

0

3

0

0D

1

5

4

6

2

0

3

5

0

6

0

4

20

規(guī)律：觀察行列式的特點(diǎn)，位于主對角線下方元素全部為零，稱這種形式的行列式為上三角形行列式。例題表明：上三角形行列式等于主對角線上元素的乘積。【例1.4】已知【解】方程左端為三階行列式,按對角線法則得解得注：若記顯然,D(x)是x的函數(shù).求x.

解：按對角線規(guī)則，有課堂練習(xí)：

求行列式思考：

命題1.2設(shè)含有三個未知量與三個方程的線性方程組為4、三階行列式的應(yīng)用其中xi為未知量，aij,bj(i=1,2,3;j=1,2,3)為已知常數(shù)。且系數(shù)行列式則方程組的解為若記可見：類似于二元方程組,三元線性方程組的解也是由系數(shù)aij,bi決定的?！纠?.5】解線性方程組【解】因?yàn)橄禂?shù)行列式方程組有唯一解,又因?yàn)樗跃€性方程組的唯一解為【例1.5’】解線性方程組【解】方程組的系數(shù)行列式為=1×1×(

1)且行列式故方程組的解為:說明：求解三元線性方程組，解題關(guān)鍵是計(jì)算系數(shù)行列式D,以及行列式D1

,D2

,D3

,其中D1

,D2

,D3

是將系數(shù)行列式D的第1，2，3列分別用常數(shù)列替代而得到行列式.練習(xí)1.計(jì)算下列行列式2.計(jì)算下列二階或三階行列式(假設(shè)a,b,c,

為常數(shù))(2)

(3)(1)4.請你自編一個二元線性方程組，并求解之。3.求解方程組5.計(jì)算下列三階行列式：6.計(jì)算下列二階或三階行列式(假設(shè)a,b,c為常數(shù))

(8)

(9)

(7)3.若，求常數(shù)a。5.解線性方程組4.已知,求常數(shù)

。

END1、n級排列的定義2、排列的逆序數(shù)3、對換與排列的性質(zhì)1.2.1排列及其逆序數(shù)1.2.2n階行列式1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n

階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式教學(xué)要求：了解n級排列的概念了解排列的逆序數(shù)、奇偶排列概念及其性質(zhì)會求排列的逆序數(shù)了解n階行列式的概念，會用行列式定義計(jì)算一些行列式掌握特殊行列式的計(jì)算。定義1.3由自然數(shù)

1，2，…，n

組成的有序數(shù)組i1,i2,…,in稱為一個n級排列，其中ik∈{1,2,…,n}(k=1,2,…,n)例如，當(dāng)n=3時(shí),３級排列是由1,2,3

組成的有序數(shù)組,它們分別為1、n級排列的定義顯然，3級排列共有3!=6種。顯然，n級排列共有n!

個。在一個排列中，由較小數(shù)碼到較大數(shù)碼的排列次序稱為自然順序；而由較大數(shù)碼到較小數(shù)碼的排列為逆自然順序，簡稱逆序。2、n級排列的逆序數(shù)定義1.4

個數(shù)組成一個逆序.排在數(shù)ik

左邊比ik大的數(shù)的個數(shù)稱為數(shù)ik的逆序數(shù).中，若數(shù)ij>ik

,則稱這兩在一個排列i1,...,ij,...,ik,…,ini1,...,ij,...,ik

,…,in例如，３級排列中，排在數(shù)2

左邊比2

大的數(shù)有3，共1個，故數(shù)

2

的逆序數(shù)為1。３級排列中，排在數(shù)1

左邊比1

大的數(shù)有3，2,共2個，故數(shù)

1

的逆序數(shù)為2。定義1.4

一個排列中，每個數(shù)的逆序數(shù)的總和稱為此排列的逆序數(shù).排列i1i2…in的逆序數(shù)記為t=

(i1i2…in).例如：在5級排列３２５１４中，32514逆序逆序逆序逆序數(shù)1的左邊比1大的數(shù)有3個，逆序因此，排列“３２５１４”的逆序數(shù)為t=τ(32514)=0+1+0+3+1=5。分別是3，2，5，故數(shù)1的逆序數(shù)為3.從左至右，每個數(shù)碼的逆序數(shù)類推。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性：注：由定義，確定一個排列的逆序數(shù)的方法是：在這個排列中，從左至右，分別計(jì)算排列中每個數(shù)左邊比它大的數(shù)碼個數(shù)，即計(jì)算出排列中每個數(shù)的逆序數(shù)，然后將每個數(shù)的逆序數(shù)求和即得到排列的逆序數(shù)．【例1.6】求4級排列3412的逆序數(shù),并指出奇偶性.【解】從排列“3412”的左邊第一個數(shù)碼“3”開始,從左至右,依次求出每個數(shù)碼的逆序數(shù),然后將每個數(shù)碼的逆序數(shù)相加即得排列的逆序數(shù).因?yàn)榕帕小?412”從左至右數(shù)碼“3”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“4”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“1”的逆序數(shù)為2,數(shù)碼“2”的逆序數(shù)為2,所以

(3412)=0+0+2+2=4又因?yàn)?/p>

(3412)=4是偶數(shù),故排列“3412”是偶排列.

【例1.6’】

計(jì)算下列9級排列的逆序數(shù)，并指出其奇偶性.２１７９８６３５４解：從左至右，分別計(jì)算排列中每個數(shù)的逆序數(shù)所以，該排列的逆序數(shù)t=

(217986354)=18，該排列為偶排列.217986354010013445當(dāng)n=4k,4k+1(k∈N)時(shí)t為偶數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為偶排列；當(dāng)n=4k+2,4k+3(k∈N)時(shí)t為奇數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為奇排列.【例1.7】由自然數(shù)1,2,…,n按逆自然順序排成的n級排列其逆序數(shù)為n,n

1,

n

2,…,3,2,1012n

2n

1定義1.5

在排列中，將任意兩個數(shù)碼位置對調(diào)，其余數(shù)碼不動，這種作出新排列的過程叫做對換。相鄰兩個數(shù)碼的對換叫相鄰對換。3、對換與排列的性質(zhì)結(jié)論：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。例如，5級排列逆序數(shù)2（偶）1（奇）對換逆序數(shù)7（奇）8（偶）相鄰對換5級排列定理1.1（對換性質(zhì)）任一排列經(jīng)過一次對換將改變其奇偶性.設(shè)排列為a1…alabb1…bm

,對換a與b，變?yōu)閍1…albab1…bm

,顯然，除a,b外a1…al

；b1…bm

這些元素的逆序數(shù)經(jīng)對換不改變，而a,b兩元素的逆序數(shù)改變：【證】

(先證相鄰對換的情形)

當(dāng)a>b

時(shí)，經(jīng)對換后

a的逆序數(shù)不變，而

b的逆序數(shù)減少1；

當(dāng)a<b

時(shí)，經(jīng)對換后a

的逆序數(shù)增加1，而

b的逆序數(shù)不變。所以，排列a1…alabb1…bm

與

a1…albab1…bm

的奇偶性不同。再證一般對換的情形：設(shè)排列為a1…alab1…bm

bc1…cn,把b作

m次相鄰對換，調(diào)成a1…alabb1…bmc1…cn,再把a(bǔ)作m+1次相鄰對換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn.所以，這兩個排列的奇偶性相反。總之，排列a1…alab1…bmbc1…cn

經(jīng)

2m+1次相鄰對換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn

，【證】因?yàn)樵谌康膎級排列中，共有n!個排列，奇排列經(jīng)一次對換就是偶排列，因此奇排列的個數(shù)不超過偶排列個數(shù)。

同樣，偶排列經(jīng)一次對換就是奇排列，因此偶排列的個數(shù)不超過奇排列個數(shù)，故奇排列個數(shù)與偶排列個數(shù)相等，因此奇偶排列各占一半，即n!/2個。推論在全部的n級排列中，奇排列與偶排列個數(shù)各占一半。例如，由1，2，3組成的３級排列共有3!=６個,它們分別為奇排列有：其中，偶排列有：1.2.2n階行列式教學(xué)內(nèi)容：1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式1、三階行列式結(jié)構(gòu)分析分析式子右邊,可得如下特點(diǎn):①共有3!=6項(xiàng)的和。其中每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的3個元素的乘積。1.2.2n階行列式②每一項(xiàng)除正負(fù)號以外可以寫成a1j1a2j2a3j3

的形式。且行下標(biāo)是1,2,3的自然排列，列下標(biāo)是1、2、3的某個排列j1j2j3

,這樣的排列,共有3!=6種，即式子右端含有6項(xiàng)的代數(shù)和。132，213，321（偶排列）（奇排列）③各項(xiàng)的正負(fù)號與列標(biāo)排列對照：123，231，312帶正號的三項(xiàng)列標(biāo)

j1

j2

j3

排列是：帶負(fù)號的三項(xiàng)列標(biāo)

j1

j2

j3

排列是：④三階行列式可用和號“

”寫成其中

“

”

表示對1、2、3三個數(shù)的所有可能的排列j1j2j3取和,t為排列j1j2j3的逆序數(shù)，即t

=

(j1j2j3).定義1.7

由n2個數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個數(shù)的乘積項(xiàng)的代數(shù)和，其乘積項(xiàng)形如2.n階行列式定義1.7

由n2個數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個數(shù)的乘積項(xiàng)的代數(shù)和，其乘積項(xiàng)形如其中j1j2…

jn

為一個n

級排列，t為排列j1j2…

jn

的逆序數(shù)。說明：①行列式是一種特定的算式，n

個數(shù)的乘積項(xiàng)形如行下標(biāo)是自然順序排列，列下標(biāo)是n級排列，符號由該n級排列的逆序數(shù)確定，奇數(shù)排列時(shí)取負(fù)號，偶數(shù)排列時(shí)取正號。②

n階行列式共有n!項(xiàng)的代數(shù)和；③

n!項(xiàng)的代數(shù)和中每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的n個元素乘積.例如，5階行列式有5!=120

項(xiàng)的代數(shù)和?！纠?.8】在6階行列式det(aij)中的項(xiàng)的符號為____.的行下標(biāo)為自然順序排列1,2,3,4,5,6解:因?yàn)轫?xiàng)j1=4,j2=3,j3=1,j4=2,j5=6,j6=5其逆序數(shù)為

(431265)=6前邊應(yīng)帶正號“+”.偶排列，所以，項(xiàng)列下標(biāo)的排列為：是偶數(shù)，因此列下標(biāo)是【例1.9】計(jì)算四階行列式解設(shè)一般項(xiàng)是在一般項(xiàng)中,只有當(dāng)j1=4時(shí),一般項(xiàng)才有可能不為“0”,否則如果j1≠4,且由于第1行中只有位于第4列的元為4,其余元為“0”,那么從而該項(xiàng)等于零.同理,只有當(dāng)j2=3,j3=2,j4=1時(shí),一般項(xiàng)才不為零.這就是說,和式中不為零的項(xiàng)只有“a14a23a32a41”這一項(xiàng),且列下標(biāo)排列的逆序數(shù)

(j1j2j3j4)=

(4321)=6,所以注：從這個例子可知,行列式的對角線規(guī)則只適應(yīng)于二階或三階行列式,四階及以上階行列式不能用對角線規(guī)則.【例1.10】用定義計(jì)算行列式解：由于在一般項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，，且故時(shí)，一般項(xiàng)有可能不為0，的排列只有一個自然排列1234，在所有4級排列j1j2j3j4

中，能滿足這一項(xiàng)(

1)t

a11a22a33a44，且這項(xiàng)的符號是(

1)

t

=(

1)0=1.所以所以D中可能不為0的項(xiàng)只有由例題，我們可得：同例1.10，可以證明n

階上三角行列式即，上三角形行列式的值等于其主對角線元素的乘積。下三角形、對角形行列式的值也為主對角元素的乘積。(下三角形行列式)（對角形行列式）類似的可證明：例如：【例1.11

】用行列式的定義計(jì)算解：記，在一般項(xiàng)中，只有當(dāng)時(shí),列標(biāo)排列取所以在D的所有求和項(xiàng)中，只有這一項(xiàng)不為不為零，所以其中1.求下列各排列的逆序數(shù)(n>1)(1)8級排列：76385214;(2)2n級排列：13

(2n-1)24

(2n)

(2)2n級排列：13

(2n-1)(2n)(2n-2)

2.2.列出全部的4級排列，并區(qū)分出奇排列與偶排列。練習(xí)思考：在全部的4級排列中，奇排列與偶排列各有多少個？答案：

4級排列共有4!=24(個)，奇排列與偶排列各有

24/2=12(個).1.用行列式定義計(jì)算下列行列式2.自編一個三角形或?qū)切涡辛惺?，并?jì)算之。練習(xí)考研真題1.(2021數(shù)學(xué)三)多項(xiàng)式中x3的系數(shù)

-5.2.(2016數(shù)學(xué)三)行列式.END1.3.1行列式的等價(jià)定義1.3.2行列式性質(zhì)1、行與列的對稱性2、行（列）互換的變號性3、整行（列）提取公因數(shù)性質(zhì)4、行（列）和的可加性5、行(列)倍加變換的不變性教學(xué)要求：了解行列式的等價(jià)定義掌握行列式的基本性質(zhì)會用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式1.3.1行列式的等價(jià)定義行列式定義回顧其中t

為行標(biāo)排列i1,i2,…,in的逆序數(shù)。定義1.7

n

階行列式的等價(jià)定義即t=

(i1,i2,…,in)。即一般項(xiàng)的行標(biāo)是n級排列i1,i2,…,in，而列標(biāo)是按自然順序排列的其中t

為行標(biāo)排列i1,i2,…,in定理1.2

n

階行列式(1.9)還可以寫成即一般項(xiàng)的行標(biāo)與列標(biāo)都是n級排列！的逆序數(shù)與行標(biāo)排列j1,j2,…,jn的逆序數(shù)之和。設(shè)稱DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。1.3.2行列式的性質(zhì)記行列式D轉(zhuǎn)置示意：a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

則DT=性質(zhì)1(行與列的對稱性)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。例如，若123

456

788則DT==3注：行列式“行與列”的對稱性說明對行成立的性質(zhì)對列也成立。

行列式也可稱為”列行式”。性質(zhì)2

(行互換的變號性)互換行列式的兩行（列），行列式變號。若則D=

D1.則D=

D1.例如以

ri

表示行列式的第

i行，以

ci

表示行列式的第

i列，(1)交換第i，j

兩行記作:(2)交換第i，j

兩列記作:例如：推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。例如：【證】

把這兩行互換，有D=

D，故2D=0，即D=0

.

性質(zhì)3(整行提取公因數(shù)性質(zhì))

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k,等于用數(shù)

k乘此行列式.例如：第

i行（或列）提出公因數(shù)

k，記作ri÷k（或ci÷k）。第

i行（或列）乘以

k，記作ri

×k（或ci×k

）。

推論行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.兩行相同！兩行成比例！例如：性質(zhì)5[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成兩個數(shù)的和，則該行列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同。a11a12…a1n

ai1+bi1

ai2+bi2

…ain

+bin

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

ai1ai2…ain

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

bi1bi2…bin

an1an2…ann

…………

…………

+=D=第i行推論：[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成m個數(shù)的和，則該行列式可以寫成m個行列式的和，這m個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的m個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同。【例1.11】性質(zhì)5[行(列)倍加變換的不變性]把行列式的某一列（行）的各個元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。以數(shù)

k乘第

j行(列)加到第

i行(列)上,記作ri

+krj

(ci

+kcj

).命題

行列式D=|aij|經(jīng)過有限次的行互換與行倍加運(yùn)算，總可以化為上三角形行列式。(1)k其中(1)k表示行列式進(jìn)行k次行互換改變的符號。例如：計(jì)算行列式【例1.12】計(jì)算行列式【解】運(yùn)用行列式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為上三角形行列式,得【例1.12’】計(jì)算行列式【例1.13】計(jì)算n階行列式【解】注意到行列式每一行的和均為(x+na),因此將每列加至第1列,然后提取公因式(x+na),再將第1行的(

1)倍加至其余各行,得【補(bǔ)例1】計(jì)算n階行列式解：將第2,3,4,…,n

列都加到第一列得(第一列提取因子[a+(n-1)b])設(shè)【補(bǔ)例2】,記則D=D1D2.解：對D1作運(yùn)算ri

+krj

,把D1化為下三角形行列式:

D2作運(yùn)算ci

+kcj

,把D2化為下三角形行列式:于是，對D的前k列作運(yùn)算ri

+krj

,再對后n列作運(yùn)算ci

+kcj

,把D化為下三角形:故D=p11…pkkq11…qnn=D1D2.證畢.例如：計(jì)算行列式解：1.計(jì)算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)1.計(jì)算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)

(3)(4)考研真題1.(2016數(shù)學(xué)三)行列式.2.(2020數(shù)學(xué)三)行列式.3.(2014數(shù)學(xué)三)行列式(A)(ad-bc)2；(B)-(ad-bc)2；(C)a2d2-b2c2；(D)b2c2-a2d2END1.4行列式展開公式1、余子式與代數(shù)余子式定義2、行列式按行(列)展開公式3、范德蒙行列式教學(xué)要求：了解余子式、代數(shù)余子式的概念掌握行列式的按行（列）展開公式

了解范德蒙行列式

定義1.9在

n階行列式det(

aij

)中，把元素

aij

所在的第

i行和第

j列的元素劃去，留下來的n

1階行列式稱為元素

aij

的余子式，記作

Mij

.記Aij

=(

1)i+jMij

,稱Aij

為元素

aij

的代數(shù)余子式。1、余子式與代數(shù)余子式【例1.22】4階行列式中元素a32

的余子式為其代數(shù)余子式為引理1.1

一個

n階行列式D=|

aij

|，如果D的第i

行所有元素除aij

外都為0，那么這個行列式等于aij

與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即【證】第

i

行元素除aij

外都為0

,即ai1=0,ai2=0,…,ain

=0,所以我們先證aij

位于第1行、第1列的情形，此時(shí)i=1,j=1,即aij為a11這是【例1.14】中當(dāng)

k=1時(shí)的特殊情形，故有又從而得把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行，…第1行對調(diào)，下證一般情形,此時(shí)（共對調(diào)了i-1次！）得把D的第j列依次與第j-1列，第j-2列，…第1列對調(diào)，（共對調(diào)了j-1次！）中的余子式Mij注意到：元素aij

在行列式仍然是aij

在行列式中的余子式于是有，行列式故即證畢.

定理1.3【按行（列）展開公式】行列式D=det(aij)等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即2、行列式按行（列）展開公式【證】將D的第i行每個元素拆分為n個數(shù)的和，按行和的可加性，有（按行展開公式）（按列展開公式）或第i行每個元拆分為n個數(shù)求和！上式n個行列式求和，根據(jù)引理1.1，即得按第

i行展開公式，類似地，若按第

j列展開，可得公式推論：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即：（1）第i行元素與第k行的對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零。（2）第j列元素與第l列的對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零。把行列式D=det(aij)按第

k

行展開有【證】把行列式中第k行的元素akj

換成aij(i

k,j=1,2,…,n),可得相同同理證畢所以第k行第i行或由定理與推論，可總結(jié)為例如：

計(jì)算三階行列式解：按第一行展開，得按第二行展開，得注：顯然，因?yàn)閍21=0,a23=0,所以按第二行展開時(shí)，只要計(jì)算A22,

計(jì)算量明顯減少。【例1.14】計(jì)算行列式【解】先將第2列化為含有較多零元素素,再按第2列展開計(jì)算.【補(bǔ)例3】(應(yīng)用行列式性質(zhì)與展開公式計(jì)算行列式)計(jì)算行列式解:觀察行列式，注意到第3行“a33=1”。保留第3行“a33=1”，把第3行其余元素通過“倍加列變換”變?yōu)?

，然后按第3行展開，即（按第3行展開）（再按第3列展開）（已降為3階行列式?。ㄒ呀禐?階行列式！）【例1.15】

計(jì)算行列式3、范德蒙行列式證明：由n個數(shù)組成的行列式Dn(稱為范德蒙行列式)(1.6)表示n個數(shù)兩兩大下標(biāo)與小下標(biāo)兩數(shù)之差的乘積。(1.6)【證】（用歸納法）所以當(dāng)

n=2時(shí)結(jié)論成立。因?yàn)楫?dāng)n=2時(shí)，現(xiàn)假設(shè)(1.6)對于n-1個數(shù)要證(1.6)對于

n

階范德蒙行列式也成立。行列式也成立。顯然，范德蒙行列式的每一列是個等比數(shù)列。對范德蒙行列式

Dn

，從第

n行開始，將第(n-1)行的(-x1)

倍加到第(n)行，將第(n-2)行的(-x1)

倍加到第(n-1)行，依次類推….，將第1

行的(-x1)

倍加到第2行，得按第1列展開，并提出每列的公因子(xi

x1)(i=2,3,…,n)，有上式右端的行列式是

n

1階范德蒙行列式，按照歸納假設(shè)，它等于所有(xj

xi)因子的乘積，其中

2

≤

i<j≤n

。故其中，這是例如組成的4階范德蒙行列式，所以由【例1.16】設(shè)(1)求行列式第二列元素的代數(shù)余子式之和(2)求行列式第二行元素余子式之和【解】(1)將展開公式左右倒過來運(yùn)用,有(2)將余子式轉(zhuǎn)化為代數(shù)余子式，再利用展開式.注：在計(jì)算A12,A22,A32,A42時(shí)，若分別計(jì)算每個Ai2(i=1234)計(jì)算量較大，逆用展開式把其轉(zhuǎn)化為四階行列式，再利用行列式性質(zhì)計(jì)算可簡化運(yùn)算?！玖?xí)題一，14題】

設(shè)n階行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和顯然，行列式Dn與行列式Cn第一行各元素的代數(shù)余子式相同！考察解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成

1.已知四階行列式D中第一列的元素為1,2,0,-4,第三列的元素的余子式為6,x,19,2,試求x的值.2.計(jì)算行列式

練習(xí)3.證明n階行列式

4.(2008數(shù)學(xué)3)證明n階行列式

END1.5克拉姆法則教學(xué)內(nèi)容：1、克拉姆（Cramer）法則2、齊次線性方程組有非零解的充要條件教學(xué)要求：了解克拉姆法則。會用克拉姆法則求解線性方程組。

設(shè)含有

n個未知數(shù)x1,x2,…,xn

以及

n個線性方程的方程組其中aij,bi(i,j=1,2,3,…,n)為常數(shù).1、克拉姆法則(1)若常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn不全為0，稱此方程組為非齊次線性方程組;(2)若常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn全為0，此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.000定理1.4（克拉姆法則）如果線性方程組(1.6)的系數(shù)行列式D不等于零，即那么方程(1.6)有唯一解其中Dj

(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第

j

列的元素用方程右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的

n

階行列式，即【證】用

D中第

j列元素代數(shù)余子式A1j,A2j,…,Anj

依次乘方程組(1.6)的

n個方程，再把它們相加，得(j=1,2

,…,n).根據(jù)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)可知，上式中

xj

的系數(shù)等于D，而其余

xi(i≠j)的系數(shù)均為零;又等式右端即是Dj，于是Dxj=Dj

,(j=1,2,…,n).(1.8)當(dāng)D≠0時(shí)，方程組(1.8)有唯一的一個解(1.7)。由于方程組(1.8)是由方程組(1.6)經(jīng)乘數(shù)與相加兩種運(yùn)算而得，故(1.6)的解一定是(1.8)的解。又(1.8)僅有一個解(1.7)，故(1.6)如果有解的話，就只可能是(1.7)。下面驗(yàn)證解(1.7)是方程組(1.6)的解。也就是要證明為此考慮兩行相同的n+1階行列式它的值等于0！把它按第一行展開，由于第1行中

aij

的代數(shù)余子式為所以有即解:系數(shù)行列式【例1.16】

解線性方程組且常數(shù)列觀察方程組有4個未知量，4個方程，未知量個數(shù)等于方程個數(shù)!事實(shí)上于是得且定理1.4

如果線性方程組(1.6)的系數(shù)行列式D≠0，則(1.6)一定有解，且解是唯一的。定理1.4ˊ（定理1.4的逆否命題）如果線性方程組(1.6)無解或有兩個以上的解，則它的系數(shù)行列式D必為零，即D=0

。對于齊次線性方程組顯然x1=0，x2=0，…

，

xn=0一定是它的解，稱為齊次方程組(1.9)的零解。如果一組不全為零的數(shù)x1=d1，x2=d2，…

，xn=dn

是(1.9)的解，則稱其為齊次方程組(1.9)的非零解。2.齊次線性方程組有非零解的充要條件例如齊次方程組：僅有零解，即x1=0，x2=0

。注：齊次方程組(1.9)一定有零解，但不一定有非零解。顯然x1=0，x2=0，

x3=0是它的零解。但還存在解x1=1，x2=0，x3=-1

，這是方程組的非零解。而齊次方程組：定理1.5

如果齊次線性方程組(1.9)的系數(shù)行列式D≠0，則齊次線性方程組(1.9)只有零解。定理1.5ˊ（定理1.8的逆否命題）如果齊次線性方程組(1.9)有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。（定理1.5否命題）如果齊次線性方程組(1.9)系數(shù)行列式D=0，則齊次線性方程組(1.9)有非零解。（可以證明，否命題是成立的?。。ǖ谌掠凶C明）定理1.6（有非零解的充要條件）齊次線性方程組（1.9）有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零，即D=0

。證明：略！例如，齊次方程組：的系數(shù)行列式所以存在非零解。事實(shí)上：x1=1，x2=0，x3=-1

是其一個非零解?！纠?.17】有非零解。解：系數(shù)行列式問

取何值時(shí)？方程組若齊次方程組有非零解，則D=0，所以當(dāng)

=0,

=2

或

=3

時(shí)，該齊次線性方程組有非零解.即說明：這一例子給我們的啟發(fā)：一個方程中含有一個參數(shù)，當(dāng)這一參數(shù)的取值不同時(shí)影響方程是否有解。若將方程理解為是某個系統(tǒng)，那么參數(shù)可看成是一個控制變量，控制變量的不同取值決定了系統(tǒng)的行為。1.解線性方程組2.問參數(shù)

取何值時(shí)？方程組有非零解。練習(xí)考研真題1.(2008數(shù)學(xué)三)設(shè)n元線性方程組AX=b,其中(1)證明行列式|A|=(n+1)an;(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有唯一解，并求x1.END1、矩陣引例2、矩陣的定義3、矩陣相等4、特殊的矩陣教學(xué)要求：(1)理解矩陣的概念.(2)了解零矩陣、方陣、單位矩陣、對角矩陣、數(shù)量矩陣等矩陣是線性代數(shù)的一個最基本概念，也是數(shù)學(xué)中一個最基本的工具。矩陣?yán)碚撛诙兰o(jì)得到了飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。本章介紹矩陣的概念，矩陣的基本運(yùn)算，逆矩陣的概念，矩陣的分塊與矩陣的初等變換，最后介紹矩陣的秩等內(nèi)容。1、矩陣引例的解，由克拉姆法則知，該方程組的解取決于系數(shù)aij(i,j=1,2,...,n),常數(shù)項(xiàng)bi(i=1,2,...,n).【例2.1】考察n個未知量與n個線性方程的方程組這就是矩陣那么，對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表(矩陣)的研究.將線性方程組的系數(shù)aij與常數(shù)bi按原位置排成數(shù)表：與數(shù)表（矩陣）例如：線性方程組對應(yīng)。【例2.2】某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接

A與B，等等.從i市到j(luò)市有1條單向航線；從i市到j(luò)市沒有單向航線城市間的航班示意圖四城市間的航班圖情況可用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.為了便于計(jì)算,把表中的

改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.定義2.1

由m×n個數(shù)aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡稱m×n

矩陣，記作A。這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aij

稱為矩陣A的(i,j)元,以數(shù)aij為(i,j)元的矩陣A可記作(aij)或(aij)m×n

。用粗體大寫字母A,B,C,…

等表示矩陣.2、矩陣定義說明:（1）

矩陣與行列式比較：從形式上看矩陣與行列式很相似，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別。①行列式是一個算式，其結(jié)果是數(shù)；而矩陣是數(shù)表，僅此而已。②行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以相等，也可以不相等。行列式矩陣

(2)實(shí)矩陣：元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩稱為復(fù)矩陣。本課程中除特別說明外，都指實(shí)矩陣。(3)零矩陣：元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O.注意:不同型的零矩陣是不同的！(4)行矩陣：若矩陣A=(aij)m×n的行數(shù)m=1,即

稱為行矩陣，又稱行向量。若矩陣A=(aij)m×n的列數(shù)n=1,即稱為列矩陣，又稱列向量。有時(shí),行矩陣的元與元之間用逗號隔開，也簡記作(5)方陣：行數(shù)與列數(shù)相同，且都等于n的矩陣稱為n階矩陣

或n階方陣。n階矩陣也記作An.A2為2階方陣；B3為3階方陣

.當(dāng)矩陣An=(aij)n階數(shù)n=1時(shí),一階方陣A1=(a11)是一個數(shù)a11,因此,今后一階方陣和一個數(shù)等同看待,即一階矩陣可省略圓括號，記為(a11)=a11.(6)對角矩陣：

n階方陣從左上角到右下角的直線叫做主對角線,主對角線不在主對角線上的元素aij(i≠

j)都為0的方陣稱為對角矩陣，即形如矩陣為對角矩陣，簡記作注：對角矩陣在書寫時(shí)可省略“0”,用空白替代,且aii簡記為ai,即例如，以下列舉了2，3，4階單位矩陣:(7)單位矩陣：主對角線上元素全為1的對角矩陣叫做單位矩陣，n階單位矩陣記為In或En,簡記作I或E.2階單位矩陣3階單位矩陣4階單位矩陣(8)數(shù)量矩陣:主對角線上的元素都等于數(shù)“a”的對角矩陣稱為a的數(shù)量矩陣,數(shù)a的n階數(shù)量矩陣記為aEn或aIn,即例如，數(shù)“5”的3階數(shù)量矩陣為5E3,即顯然,當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)“1”的數(shù)量矩陣就是單位矩陣.即1En=En。兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們?yōu)橥途仃?。如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等。記作A=B.3、矩陣相等例如：

設(shè)解:已知A=B,求x,y,z.因?yàn)锳=B,所以兩矩陣對應(yīng)元相等，故【例2.1】設(shè)矩陣A=(aij)3

4,其中【解】依題意，矩陣A的行數(shù)為3，列數(shù)為4，故行標(biāo)i可取1，2，3，列標(biāo)j可取1，2，3，4，所以A的第一行元素分別為類似可求出A的第二、三、四行的元素，故得試寫出矩陣A。A=其中aij為工廠向第

i(i=1,2,3)店發(fā)送第j(j=1,2,3,4)種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可構(gòu)成矩陣：【例2.3

】某公司向3個商店發(fā)送4種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可構(gòu)成矩陣：其中bi1為第i種產(chǎn)品的單價(jià)，bi2為第i種產(chǎn)品的單件重量(i=1,2,3,4)。注：注意到矩陣B的第一列數(shù)值與第二列的數(shù)值量綱不同！可見量綱不同的數(shù)值也可以構(gòu)成矩陣。

定義2.2

設(shè)n個變量x1,x2,…,xn與m個變量y1,y2,…,ym之間的關(guān)系式稱為變量x1,x2,…,xn到變量y1,y2,…,ym的線性變換,其中aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)為常數(shù),稱為變換系數(shù)。矩陣A=(aij)m×n稱為線性變換矩陣。4、線性變換矩陣的變換矩陣線性變換給定了線性變換，它的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣也就確定。反之，如果給出一個矩陣作為線性變換的變換矩陣，則線性變換也就確定。在這個意義上說，線性變換和變換矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系。則變換矩陣為例如，給定線性變換，反之給定線性變換矩陣則對應(yīng)的線性變換為:1.寫出下列矩陣（1）設(shè)矩陣A=(aij)4×5,其中aij=2i-j,試寫出矩陣A.（2）設(shè)矩陣A=(aij)4×4,其中aij=i+j(i≥j),aij=1/(i+j)(i<j),試寫出矩陣A.練習(xí)2.設(shè)矩陣且A=B，求x,y,z。3.寫出下列線性變換的變換矩陣END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.

注：矩陣相加就是兩個矩陣對應(yīng)位置兩元相加.定義2.3

設(shè)兩個m×n矩陣A=(aij),B=(bij),定義矩陣C=(aij+bij)m×n

,即稱C為矩陣A

與B

的和，記作C=A+B。2.2.1、矩陣加法A+B=AB例如：注:(1)只有兩矩陣是同型矩陣，才能兩矩陣相加.(2)矩陣的加法可以推廣到有限個矩陣求和，如三個同型矩陣A,B,C,求和為A+B+C.(3)顯然,兩個對角矩陣的和還是對角矩陣,即(4)負(fù)矩陣：設(shè)矩陣A=(aij)m×n,記

A=(

aij)m×n,則

A稱為A的負(fù)矩陣。矩陣減法的定義A

B

=A+(

B

).例如：可以證明,矩陣加法滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律:(3)對于所有的矩陣A，都有A+(

A)=O.(4)對于所有的矩陣A，都有A+O=A.設(shè)A,B,C

都是m×n矩陣，則加法滿足：(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C).(1)交換律A+B=B+A.矩陣加法應(yīng)用舉例：某單位三位職工1、2月份的工資及明細(xì)如下表，求該三位職工的兩個月的工資及及明細(xì)的合計(jì)數(shù)。基本工資(百元)職務(wù)津貼(百元)代扣代繳(百元)實(shí)發(fā)總額(百元)1月張三2515238李四2916342王五35254562月張三2516140李四2917244王五3526457分別記1、2月份的工資及明細(xì)為矩陣A，B，即2516140291724435264572515238291634235254565031378583358670518113那么A+B表示該三位職工的兩個月的工資及明細(xì)合計(jì)?；竟べY(百元)職務(wù)津貼(百元)代扣代繳(百元)實(shí)發(fā)總額(百元)1月2月份合計(jì)張三5031378李四5833586王五70518113三位職工的兩個月的工資合計(jì)及明細(xì)合計(jì)定義2.4

常數(shù)c與矩陣A=(aij)m×n

的乘積記作cA,定義為說明：數(shù)與矩陣的乘積就是用這個數(shù)去乘矩陣中的每個元素。2.2.2數(shù)乘矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)數(shù)與矩陣的乘積稱為矩陣的數(shù)乘運(yùn)算。cA例如，3可以證明，數(shù)乘矩陣滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律：注：矩陣的相加與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。設(shè)A、B

為m×n矩陣，c，d是常數(shù)，則數(shù)乘運(yùn)算滿足：（1）結(jié)合律：(cd)A=c(dA)=d(cA);（2）分配律：(c+d)A=cA+dA;（3）分配律：c(A+B)=cA+cB;（4）常數(shù)1與A相乘：1A

=A。區(qū)別：數(shù)乘行列式數(shù)乘矩陣數(shù)乘行列式等于該數(shù)乘行列式中某行每個元素。數(shù)乘矩陣等于該數(shù)乘矩陣中每個元素?！纠?.4】某物流企業(yè)從兩個生產(chǎn)地直接將商品運(yùn)到三個銷售地，設(shè)生產(chǎn)地到銷售地的距離(單位：km)矩陣為其中bij表示第i個生產(chǎn)地到第j個銷售地的距離(單位：km)，已知9.6米貨車?yán)?8噸貨物，每噸每千米運(yùn)費(fèi)為0.5元，那么貨車?yán)瓭M18噸貨物從各產(chǎn)地到各銷地運(yùn)費(fèi)矩陣為從各產(chǎn)地到各銷地運(yùn)費(fèi)矩陣為其中cij表示第i個生產(chǎn)地到第j個銷售地的運(yùn)費(fèi)(單位：元).C=180.5B，即【例2.5】若【解】由矩陣線性運(yùn)算定義及運(yùn)算性質(zhì)，有A+B=求A+B，A

B，3A+2B.A

B=3A+2B=【例2.6】設(shè)注：這種含有未知矩陣的矩陣等式也稱為矩陣方程。，且A+4X=B，求矩陣X.【解】已知A+4X=B，移項(xiàng)可得4X=B

A，而B

A所以，X=如：設(shè)已知

A+(1/2)X=B,求X.解：在等式中移項(xiàng)得，再兩邊乘以2得所以2.設(shè)矩陣A=且2(A-E)+X=3(A+X),求矩陣X.1.若求2A+3B.練習(xí)END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.定義2.5

設(shè)A=(aik)是m×s矩陣，B=(bkj)是s×n矩陣，定義A

與B

的乘積是一個m×n的矩陣C=(cij),

其中記作C=AB。2.2.3矩陣乘法1、矩陣乘法定義說明：（1）兩個矩陣相乘，其結(jié)果仍是一個矩陣。習(xí)慣上，矩陣A與B乘積AB也稱為A左乘B或者B右乘A

。（2）乘積C=AB的（i,j）元cij是A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和示意圖：×××cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsjcij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（3）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)與第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時(shí)才能相乘。例如：設(shè)例題表明：行矩陣乘以列矩陣結(jié)果為一階矩陣，一階矩陣?yán)ㄌ柨梢允÷?，因而一階矩陣也就是一個數(shù)。求AB,BA.解：例題表明：列矩陣乘以行矩陣結(jié)果為m×n矩陣，其中m為列矩陣的行數(shù)，n為行矩陣的列數(shù)。注：顯然，AB與BA不相同，因而矩陣乘法不滿足交換律?！纠?.7】設(shè)A，B=，求AB.【解】設(shè)，AB的第一行元素類似求出第二行，所以求乘積矩陣AB

的動畫演示！10

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×110

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×1例如

設(shè)矩陣（3）一般情況下，

AB有意義，BA不一定有意義，即使BA有意義，也不一定有AB=BA

，即矩陣的乘法不滿足交換律。求AB，BA.

（4）兩個不為零的矩陣的乘積可以為零矩陣，或者說由AB=O也不能說明A=O或B=O，即矩陣的乘法不滿足消去律。有例外，比如設(shè)則有此時(shí)有AB=BA.（5）可交換矩陣定義2.6給定矩陣A，B，若AB=BA，則稱矩陣A與B可交換.可以證明：（1）可交換的矩陣一定是同階方陣。（2）與一個給定的方陣可交換的矩陣有無數(shù)多個。例如：與可交換的矩陣有等等。設(shè)矩陣A,B,C

以下運(yùn)算都是可行的，則滿足下列運(yùn)算規(guī)律:（1）結(jié)合律:(AB)C=A(BC);（2）數(shù)乘結(jié)合律:k(AB)=(kA)B=A(kB);（3）左分配律:A(B+C)=AB+AC;右分配律(B+C)A=BA+CA;（4）對于單位陣,EmAm×n=Am×nEn=Am×n或簡寫成EA=AE=A.2、乘法運(yùn)算律（方法2）運(yùn)用乘法分配律【例2.8】已知【解】(方法1）先分別求AB與AC，然后求和AB+AC求AB+AC.AB+AC=A(B+C)AB+ACAB+AC其中k

是整數(shù)。由定義，只有方陣才有乘冪的概念。乘冪滿足下列運(yùn)算規(guī)律：AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,

其中k,l

為正整數(shù)。3、n

階方陣的方冪定義2.7

設(shè)A為n階方陣，定義A的k次乘冪為例如求A3.先求A2，再求A3，注：由于矩陣乘法不滿足交換律，所以一般來說:例如：若(AB)≠BA,則

(AB)k≠AkBk

(k>1).(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2.(AB)3=(AB)(AB)(AB)=A(BA)2B≠A3B3.等等

由定義,對角矩陣的冪等于對角線上元素的冪,即【例2.9】已知AA2

2A求A2

2A.【解】(方法1)(方法2)運(yùn)用乘法的分配律，有A2

2A=(A

2E)A=A(A

2E)，所以A2

2A=(A

2E)A【例2.10】設(shè)A與B是可交換矩陣，證明：(A

B)(A+B)=A2

B2.【證】運(yùn)用矩陣乘法的左、右分配律，有(A

B)(A+B)=(A

B)A+(A

B)B（左分配律）

=A2

BA+AB

B2，（右分配律）由于AB=BA，故(A

B)(A+B)=A2

B2.【例2.11】若AB=BA，證明(A+B)2=A2+B2+2AB.證明所以即(A+B)2=A2+B2+2AB.因?yàn)锳B=BA,A2+B2+BA+AB=A2+B2+2AB.證畢.思考：若AB=BA，證明:(1)(A

B)2=A2+B2

2AB.(2)A2

B2=(A

B)

(A+B).注：例與思考題的結(jié)論很像初等數(shù)學(xué)中的平方（或差）公式,不妨稱其為矩陣的平方（或差）公式.但要注意矩陣的平方差（或差）公式成立是有條件的,即A與B要滿足可交換條件.4、矩陣多項(xiàng)式定義2.7

設(shè)x的k次多項(xiàng)式f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak-1x+ak,其中a0,a1,…,ak-1,ak為常數(shù)，A為n階方陣，En為n階單位矩陣，定義f(A)=a0Ak+a1Ak-1+…+ak-1A+akEn,稱f(A)為f(x)對應(yīng)的k次矩陣多項(xiàng)式，簡稱f(A)為A的矩陣多項(xiàng)式。事實(shí)上，矩陣A與矩陣A的多項(xiàng)式f(A)可交換，即Af(A)=f(A)A。5、矩陣乘法的應(yīng)用（教材補(bǔ)充?。?）線性方程組的矩陣表示設(shè)線性方程組利用矩陣乘法，可記作AX=b,記這稱為線性方程組的矩陣表示。即例如，線性方程組則線性方程組的矩陣表示記即Ax=b.(2)設(shè)線性變換的矩陣表示。利用矩陣乘法，則y=Ax,這稱為線性變換的矩陣表示。記設(shè)則線性變換的矩陣表示例如，給定線性變換3

6

07

-1

2

354161

（3）矩陣的行（列）和1

1

11結(jié)論：在矩陣A的右側(cè)乘上元為1的列矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每行和。如：求矩陣的每一行的和3

6

07

-1

2

354161

求矩陣的每一列的和結(jié)論：在矩陣A的左側(cè)乘上元為1的行矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每一列的和。3

6

07

-1

2

354161

（4）提取矩陣的某行（列）0

1

00提取矩陣的第i列，即在矩陣A

的右側(cè)乘上第i(=2)個元為1其余元為0的列矩陣相當(dāng)于提取矩陣A

的第i(=2)列。（提取第2列）1.計(jì)算練習(xí)END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.教學(xué)內(nèi)容：1、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算及其性質(zhì)2、對稱矩陣3、反對稱矩陣定義2.8

設(shè)m×n矩陣A=(aij)m×n,將A的第i行寫成新矩陣的第i列2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置(稱為互換A的行與列),稱新矩陣為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT,即AT

=(aji)n×m1、的轉(zhuǎn)置矩陣的定義矩陣轉(zhuǎn)置演示其轉(zhuǎn)置是

例如，矩陣若A=則AT=矩陣轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律：（1）轉(zhuǎn)置再轉(zhuǎn)置：對于任意矩陣A，

(AT)T=A;（2）和矩陣的轉(zhuǎn)置：給定矩陣A,B，則(A+B)T=AT+BT;（3）數(shù)乘矩陣的轉(zhuǎn)置：任意常數(shù)c，(cA)T=cAT;（4）乘積矩陣的轉(zhuǎn)置：給定矩陣A,B，則(AB)T=BTAT;證明略！下面用一個具體例子說明規(guī)律（4）。解法1

先計(jì)算乘積AB，再轉(zhuǎn)置所以因?yàn)榍?/p>

(AB)T例如：已知解法2

先將A，B分別轉(zhuǎn)置，再計(jì)算乘積BTAT。所以因?yàn)槎x2.9

設(shè)A=(aij)為n階方陣，如果滿足AT=A,即則稱A為對稱矩陣。對稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。顯然，2、對稱矩陣aij=aji

(i,j=1,2,3,…,n)由定義，對角矩陣，單位矩陣，數(shù)量矩陣是對稱矩陣。例如，A是一個3階對稱陣。是一個4階對稱陣。事實(shí)上,由轉(zhuǎn)置的性質(zhì)，得命題1（1）對于任意n階方陣A，則A+AT是對稱矩陣；（2）對于任意m×n階矩陣B,

則BBT,BTB是對稱矩陣。(A+