高一數(shù)學三角恒等變換題典三角恒等變換是高中數(shù)學三角函數(shù)部分的核心內容，它不僅是解決三角函數(shù)化簡、求值、證明等問題的基礎，也為后續(xù)學習三角函數(shù)的圖像與性質、解三角形等知識奠定了重要基礎。本“題典”旨在通過對典型例題的分析與解答，幫助同學們梳理三角恒等變換的常用公式、基本技巧與思想方法，提升解題能力。一、核心公式梳理與解讀在進入例題之前，我們先回顧一下三角恒等變換的核心公式。這些公式是我們進行一切變換的“武器庫”，務必熟練掌握、靈活運用。1.同角三角函數(shù)基本關系*平方關系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$*商數(shù)關系：$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$($\cos\alpha\neq0$)*解讀：這組公式是三角函數(shù)變換的基石，常用于已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，或進行三角函數(shù)式的化簡與證明。平方關系常用于“1”的代換。2.誘導公式*核心思想：“奇變偶不變，符號看象限”。即對于$k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha$（$k\in\mathbb{Z}$）的三角函數(shù)，當$k$為奇數(shù)時，函數(shù)名改變（$\sin$與$\cos$互變，$\tan$與$\cot$互變）；當$k$為偶數(shù)時，函數(shù)名不變。然后將$\alpha$視為銳角，判斷原函數(shù)值的符號即為變換后的函數(shù)值符號。*解讀：誘導公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)，是“化歸與轉化”思想的具體體現(xiàn)。3.兩角和與差的三角函數(shù)公式*$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$(S$_{\alpha+\beta}$)*$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$(S$_{\alpha-\beta}$)*$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$(C$_{\alpha+\beta}$)*$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$(C$_{\alpha-\beta}$)*$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$(T$_{\alpha+\beta}$)($\alpha,\beta,\alpha+\beta\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$)*$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$(T$_{\alpha-\beta}$)($\alpha,\beta,\alpha-\beta\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$)*解讀：這組公式是三角恒等變換的核心，是后續(xù)倍角、半角公式的推導基礎。它們揭示了不同角的三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系。4.二倍角公式*$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$(S$_{2\alpha}$)*$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$(C$_{2\alpha}$)*$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$(T$_{2\alpha}$)($\alpha\neq\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$且$\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$)*解讀：二倍角公式是兩角和公式當$\alpha=\beta$時的特殊情況。余弦的二倍角公式有三種形式，在解題時應根據(jù)具體情況靈活選擇，尤其是“升冪降角”和“降冪升角”的功能非常重要。5.輔助角公式（合一變形公式）*$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)$，其中$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}$，或$\tan\varphi=\frac{a}$（$\varphi$角所在象限由$a,b$的符號確定）。*解讀：輔助角公式能將形如$a\sin\alpha+b\cos\alpha$的三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，便于研究其性質（如最值、周期性、單調性等）。二、典型例題解析與方法歸納題型一：給角求值例1求$\sin15^\circ$的值。分析：$15^\circ$不是特殊角，但可以表示為特殊角的差，如$45^\circ-30^\circ$，因此可利用兩角差的正弦公式求解。解答：$\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)$$=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$小結：給角求值問題，若角為非特殊角，通?？紤]將其表示為兩個特殊角的和或差，再利用和差角公式展開計算。題型二：給值求值例2已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\cos\beta=-\frac{5}{13}$，$\beta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，求$\sin(\alpha+\beta)$的值。分析：要求$\sin(\alpha+\beta)$，根據(jù)兩角和的正弦公式，需要知道$\sin\alpha,\cos\alpha,\sin\beta,\cos\beta$的值。題中已給出$\sin\alpha$和$\cos\beta$，因此需要先求出$\cos\alpha$和$\sin\beta$。解答：因為$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，所以$\cos\alpha<0$。由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。因為$\beta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，所以$\sin\beta<0$。由$\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$，得$\sin\beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\sqrt{1-(-\frac{5}{13})^2}=-\frac{12}{13}$。所以$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$=\frac{3}{5}\times(-\frac{5}{13})+(-\frac{4}{5})\times(-\frac{12}{13})$$=-\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{33}{65}$。小結：給值求值問題，關鍵在于分析已知角與所求角之間的關系，以及各三角函數(shù)值的符號（由角所在象限確定）。若所求角可以表示為已知角的和、差、倍等關系，則直接運用相應公式。題型三：化簡與證明例3化簡：$\frac{1+\sin\theta-\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}$。分析：分式形式的三角函數(shù)式化簡，可以考慮分子分母分別利用二倍角公式進行變形，或者“1”的代換等。觀察分子分母的結構，$\sin\theta$和$\cos\theta$可以嘗試用半角公式的相關形式來表示。解答：方法一（利用二倍角公式）：分子：$1+\sin\theta-\cos\theta=(1-\cos\theta)+\sin\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\sin\frac{\theta}{2}(\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2})$分母：$1+\sin\theta+\cos\theta=(1+\cos\theta)+\sin\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}(\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2})$（注：$\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}\neq0$，否則原式無意義）所以，原式$=\frac{2\sin\frac{\theta}{2}(\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2})}{2\cos\frac{\theta}{2}(\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2})}=\tan\frac{\theta}{2}$。方法二（分子分母同除以$\cos\theta$，嘗試化為$\tan\theta$的表達式，略，可自行嘗試）。小結：三角函數(shù)式的化簡，通常遵循“異名化同名、異角化同角、高次降次、分式通分或約分”等原則。二倍角公式及其變形（如升冪公式、降冪公式）是常用的工具。例4證明：$\sin(2\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha=\sin\beta$。分析：證明三角恒等式，可以從左邊證到右邊，也可以從右邊證到左邊，或者左右兩邊同時化簡到同一個式子。本題左邊角較復雜，$2\alpha+\beta$可以看作$(\alpha+\beta)+\alpha$，嘗試利用兩角和的正弦公式展開。解答：左邊$=\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha$$=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha$$=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha$$=\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]$（逆用兩角差的正弦公式）$=\sin\beta$$=$右邊所以，原等式成立。小結：三角恒等式的證明，關鍵在于觀察等式兩邊三角函數(shù)的名稱、角的結構以及運算形式的差異，通過公式的正用、逆用、變形用，消除差異，達到形式上的統(tǒng)一。角的拆分與組合（如$\beta=(\alpha+\beta)-\alpha$，$2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$等）是常用技巧。題型四：輔助角公式的應用例5求函數(shù)$f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx$的最大值及取得最大值時$x$的集合。分析：函數(shù)表達式為$\sinx$與$\cosx$的線性組合，符合輔助角公式的形式，可將其化為$A\sin(x+\varphi)$的形式，再求最值。解答：$f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx=2\left(\frac{1}{2}\sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosx\right)$$=2\left(\sinx\cos\frac{\pi}{3}+\cosx\sin\frac{\pi}{3}\right)$$=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$因為$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$的最大值為$1$，所以$f(x)$的最大值為$2$。此時，$x+\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$x=2k\pi+\frac{\pi}{6}$，$k\in\mathbb{Z}$。所以，$f(x)$取得最大值時$x$的集合為$\left\{x\midx=2k\pi+\frac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\right\}$。小結：輔助角公式能將形如$a\sinx+b\cosx$的函數(shù)化為一個角的正弦（或余弦）函數(shù)，從而便于研究其周期性、單調性、最值等性質。其中，$\sqrt{a^2+b^2}$是振幅，決定了函數(shù)的最值。三、解題策略與思想方法總結1.“角”的變換是核心：三角恒等變換的本質是“角”的變換。在解題中，要善于觀察已知角與未知角之間的關系，如和、差、倍、半、互補、互余等，通過角的拆分與組合（例如：$\beta=(\alpha+\beta)-\alpha$，$2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$，$\alpha=2\cdot\frac{\alpha}{2}$等），將未知角用已知角表示，從而運用相應的公式。2.“名”的變換是關鍵：即三角函數(shù)名稱的變換。通常利用同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式、萬能公式（后續(xù)學習）等將不同名的三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，例如“切化弦”是一種常用策略。3.“式”的變換是手段：包括三角函數(shù)式的結構變形，如“1”的代換（$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\tan45^\circ=1$等）、升冪與降冪（二倍角余弦公式的變形）、因式分解、通分、約分等代數(shù)變形技巧。4.“形”的輔助是技巧：對于一些復雜問題，結合單位圓、三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像進行分析，往往能直觀地找到解題思路。5.常用數(shù)學思想：*化歸與轉化思想：將未知問題轉化為已知問題，將復雜問題轉化為簡單問題。如利用誘導公式將任意角轉化為銳角。*方程思想：在“給值求值”問題中，有時可以將所求三角函數(shù)值視為未知數(shù)，通過列方程（組）求解。*整體思想