第3章信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算與變換

信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算與變換是指信號(hào)的時(shí)間函數(shù)在時(shí)域的運(yùn)算與變換。本章研究信號(hào)的相加、相乘、數(shù)除、微分、積分等基本運(yùn)算以及折疊、時(shí)移、展縮、倒相等時(shí)域變換。3.1連續(xù)信號(hào)的尺度變換連續(xù)信號(hào)的尺度變換包括連續(xù)信號(hào)在幅度上的尺度展縮和在時(shí)間上的尺度展縮。3.1.1連續(xù)信號(hào)的數(shù)乘與幅度變換連續(xù)信號(hào)函數(shù)乘以一個(gè)標(biāo)量值a，將其對應(yīng)的縱坐標(biāo)瞬時(shí)值擴(kuò)大（或縮?。゛倍。（3.1.1）其中a為正的實(shí)常數(shù)。當(dāng)0<a<1時(shí)將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸壓縮為原來的1/a；當(dāng)a>1時(shí)，將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸展寬為原來的a倍。如圖3-1-1（a）和（b）所示。3.1.2連續(xù)信號(hào)的時(shí)間尺度變換時(shí)間尺度變換也稱為時(shí)間展縮，此變換下信號(hào)縱軸的值不變，信號(hào)函數(shù)的自變量乘以一個(gè)標(biāo)量值將其時(shí)間值擴(kuò)大、縮小a倍，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的展縮。即：（3.1.2）其中a為正的實(shí)常數(shù)。當(dāng)a>1時(shí)，將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿t軸壓縮為原來的1/a。如圖3-1-1（a）和（c）所示。當(dāng)0<a<1時(shí)將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿t軸展寬為原來的a倍。如圖3-1-1（a）和（d）所示。例3-1-1連續(xù)信號(hào)的尺度變換。圖3-1-1連續(xù)信號(hào)的展縮

%尺度變換clearall;a=4;t=0:0.001:40;x=sawtooth(t);subplot(2,2,1);plot(t,x,'r');axis([0,40,-5,5]);title('(a)x(t)=sawtooth(t)');y1=a*x;subplot(2,2,2);plot(t,y1,'r');axis([0,40,-5,5]);title('(b)4*x(t)');y2=sawtooth(a*t);subplot(2,2,3);plot(t,y2,'r');axis([0,40,-5,5]);title('(c)x(4*t)');y3=sawtooth(t/a);;subplot(2,2,4);plot(t,y3,'r');axis([0,40,-5,5]);title('(d)x(t/4)');程序運(yùn)行后，結(jié)果如圖3-1-1所示。3.2.1序列的數(shù)乘與幅度變換一個(gè)標(biāo)量與序列相乘，等于序列的每個(gè)元素與該數(shù)值相乘，構(gòu)成一個(gè)新的序列。表示為：若則（3.2.1）其中a為正的實(shí)常數(shù)。當(dāng)a>1時(shí)，將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸展寬為原來的a倍。如圖3-2-1（a）和（b）所示。當(dāng)0<a<1時(shí)將的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸壓縮為原來的1/a。如圖3-2-1（a）和（c）所示。3.2.2序列的抽取與插值（時(shí)間尺度變換）

當(dāng)系統(tǒng)工作在多抽樣率情況時(shí)，例如各種媒體的傳輸，包括語音、圖像、數(shù)據(jù)，由于本身頻率不同，故使用的抽樣頻率也不同。

在信號(hào)處理中，根據(jù)需要進(jìn)行抽樣頻率的降低、提高或抽樣頻率轉(zhuǎn)換的運(yùn)算。一般采取以下方法：

（1）將抽樣序列經(jīng)過DAC，轉(zhuǎn)換回模擬信號(hào)，用新的抽樣頻率經(jīng)過ADC重新抽樣，此法誤差大，影響精度。

（2）從數(shù)字域直接抽樣，即采用信號(hào)時(shí)間尺度變換。

序列的時(shí)間尺度變換是將波形壓縮（或擴(kuò)展）而構(gòu)成一個(gè)新的序列，即序列的抽取與插值。抽?。簻p小抽樣頻率。插值：加大抽樣頻率。例如，給定一個(gè)離散信號(hào)序列，當(dāng)自變量乘以一個(gè)大于1的正整數(shù)a時(shí)，得到一個(gè)新序列。即（3.2.2）它為原波形的壓縮，因?yàn)閴嚎s掉了一些點(diǎn)，稱為序列的抽取(decimation)。對于離散信號(hào)，由于僅在為an為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此序列一般不作波形的時(shí)間尺度變換。當(dāng)自變量除以一個(gè)大于1的正整數(shù)a時(shí)，得到一個(gè)新序列，即它為原波形的擴(kuò)展，因?yàn)樵谠蛄兄g插入了一些0值，稱為序列的插值(interpolation)。例3-2-1序列尺度變換clearall;a=2;n=0:4;x=[13256];subplot(3,1,1);stem(n,x);axis([-1,5,0,15]);title('(a)x(n)=[13256]');y1=a*x;subplot(3,1,2);stem(n,y1);axis([-1,5,0,15]);title('(b)y(n)=4*x(n)');b=1/2;y2=b*x;subplot(3,1,3);stem(n,y2);axis([-1,5,0,15]);title('(c)y(n)=x(n)/2');當(dāng)a>1時(shí)，將當(dāng)a>1時(shí)x(n)的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸展寬為原來的a倍。如圖3-2-1（a）和（b）所示。當(dāng)0<a<1時(shí)將x(n)的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿縱軸壓縮為原來的1/a。如圖3-2-1（a）和（c）所示。3.3信號(hào)的時(shí)域變換信號(hào)的時(shí)域變換包括信號(hào)的時(shí)移、反褶和倒相。3.3.1信號(hào)的時(shí)移1.連續(xù)信號(hào)的時(shí)移連續(xù)信號(hào)的時(shí)移就是將原信號(hào)表達(dá)式和定義域中的所有自變量t替換為t±t0，即（3.3.1）其中t0為正的實(shí)常數(shù)，根據(jù)t0的值，將原信號(hào)沿橫軸左移或右移。2.序列的位移序列的位移（時(shí)移），與連續(xù)信號(hào)的意義相同。序列的時(shí)移就是將原信號(hào)表達(dá)式和定義域中的所有自變量n替換為n+m，即

（3.3.2）其中m為正整數(shù)時(shí)，是沿時(shí)間軸左移m位，表示超前m位；反之是右移m位，表示延時(shí)m位。如圖3-3-2（b）和圖3-3-2（d）所示。3.3.2信號(hào)的反褶1．連續(xù)信號(hào)的反褶

連續(xù)信號(hào)的反褶就是將原信號(hào)表達(dá)式和定義域中的所有自變量t替換為-t，即（3.3.3）其幾何意義是將x(t)的波形以縱軸為軸翻轉(zhuǎn)180o，從波形上看，x(t)與x(-t)關(guān)于縱軸t=0呈鏡像對稱，如圖3-3-1（a）、（e）所示。需要注意的是，的折疊信號(hào)是，而不是。2.序列的反褶序列反褶與連續(xù)信號(hào)的意義相同，序列的反褶就是將原信號(hào)表達(dá)式和定義域中的所有自變量n替換為-n，即（3.3.4）其幾何意義是將x(n)的波形以縱軸n=0為軸的對稱鏡像，如圖3-3-2（a）、（c）所示。由于信號(hào)是一個(gè)行向量，可使用fliplr()函數(shù)將元素左右反轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的反褶。例如，y=fliplr(x)可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的反褶。而N=fliplr(-n)，y=fliplr(x)可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的以縱軸n=0為軸的對稱鏡像信號(hào)，如圖3-3-2（a）、（e）所示。3.3.3信號(hào)的倒相信號(hào)倒相的幾何意義是，將信號(hào)或的波形以橫軸為軸翻轉(zhuǎn)180o，作為新的信號(hào)，即例3-3-2序列的反褶、位移與倒相

已知序列則該序列的反褶序列為：設(shè)a=1.1，1≤n≤10，則序列的反褶、位移與倒相程序如下：%序列的反褶與位移a=1.1;n=[1:10];x=2*a.^n+1;m=n+8;k=n-8;subplot(321);stem(n,x,'.');title('(a)原信號(hào)y=x(n)');axis([-11,20,-8,8])%n0=[-10:-1];y0=2*a.^(-n0)+1;subplot(323);stem(n0,y0,'.');title('(c)反褶y=x(-n)');axis([-11,20,-8,8])N=fliplr(-n);y=fliplr(x);subplot(325);stem(N,y,'.');title('(e)反褶y=x(-n)');axis([-11,20,-8,8])%subplot(322);stem(m,x,'.');title('(b)右位移y=x(n-8)');axis([-11,20,-8,8])%subplot(324);stem(k,x,'.');title('(d)左位移y=x(n+8)');axis([-11,20,-8,8])y2=-x;subplot(326);stem(n,y2,'.');title('(f)倒相y=-x(n)');axis([-11,20,-8,8])程序運(yùn)行后序列的反褶、位移與倒相，結(jié)果如圖3-3-2所示。3.4信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的加、減、乘、微分和積分是信號(hào)的基本運(yùn)算。3.4.1信號(hào)的加（減）運(yùn)算1．連續(xù)信號(hào)相加（減）將各信號(hào)對應(yīng)的縱坐標(biāo)值相加（減）。即，某時(shí)刻的瞬時(shí)值，等于f1和f2相應(yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)值之和(差)。相加（減）用算術(shù)運(yùn)算符“+、-”實(shí)現(xiàn)：（3.4.1）2.序列的相加（減）若則

（3.4.2）即，兩序列同序號(hào)元素的數(shù)值相加（減），構(gòu)成一個(gè)新的序列。3.4.2信號(hào)的相乘1．連續(xù)信號(hào)的相乘連續(xù)信號(hào)的相乘，是將信號(hào)各對應(yīng)的縱坐標(biāo)值相乘。即，某時(shí)刻的瞬時(shí)值，等于f1和f2相應(yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)值之積。相乘用數(shù)組運(yùn)算符“.*”實(shí)現(xiàn)：（3.4.3）信號(hào)處理系統(tǒng)中常常通過信號(hào)相乘的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的抽樣與調(diào)制，因而乘法器也稱為調(diào)制器。2.序列的相乘兩序列同序號(hào)的數(shù)值相乘，構(gòu)成一個(gè)新的序列。表示為：（3.4.4）3.4.3連續(xù)信號(hào)的微分與積分1．連續(xù)信號(hào)的微分連續(xù)信號(hào)的微分就是信號(hào)的函數(shù)值隨時(shí)間t變化的變化率。記作或。x(t)可導(dǎo)的必要(非充分)條件是函數(shù)連續(xù)。但引入δ函數(shù)后，的不連續(xù)點(diǎn)處也可求導(dǎo)。連續(xù)信號(hào)的微分是用差分來近似的，當(dāng)步長（時(shí)間間隔）越小時(shí)，用差分表示微分就越精確，故求導(dǎo)數(shù)就是近似求差分與步長之比。

MATLAB中用diff()函數(shù)來計(jì)算差分，其調(diào)用格式為：y=diff(f)

計(jì)算連續(xù)信號(hào)微分的調(diào)用格式為：y=diff(f)/dt，dt為時(shí)間間隔。2.連續(xù)信號(hào)的積分連續(xù)信號(hào)的積分就是信號(hào)x(t)的函數(shù)在（-∞，t]時(shí)間區(qū)間內(nèi)的任意時(shí)間t處，x(t)與時(shí)間t軸所包圍的面積。連續(xù)信號(hào)的定積分可由MATLAB中的數(shù)值積分quad()函數(shù)和quadl()來實(shí)現(xiàn)：quad(‘function_name’,a,b)：采用自適應(yīng)Simpson算法。quadl(‘function_name’,a,b)：采用自適應(yīng)Lobatto算法。其中，function_name為被積函數(shù)名，a、b為指定的積分區(qū)間。3.連續(xù)信號(hào)微分與積分的解析解法除了用數(shù)值方法計(jì)算連續(xù)信號(hào)微分與積分以外，還可以利用MATLAB強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能求連續(xù)信號(hào)微分與積分的解析解。在數(shù)值計(jì)算過程中，參與運(yùn)算的變量都是被賦了值的數(shù)值。而在符號(hào)運(yùn)算的整個(gè)過程中，參與運(yùn)算的是符號(hào)變量。在符號(hào)運(yùn)算中所出現(xiàn)的數(shù)字都是當(dāng)做符號(hào)來處理的，求微分的函數(shù)是diff()，求積分運(yùn)算的函數(shù)是int()。例如：>>symsxa>>diff(heaviside(x),x)ans=dirac(x)>>int(dirac(x),-inf,inf)ans=1>>int(dirac(x-a)*sin(x),-inf,inf)ans=sin(a)例3-4-4已知三角波和矩形脈沖，求其解析解畫出其微分與積分的波形。symstf1=sym('1/3*(t+2)*heaviside(t+2)-4/3*(t-1)*heaviside(t-1)+(t-2)*heaviside(t-2)');f2=sym('heaviside(t+2)-heaviside(t-2)');df1=diff(f1);df1=simple(df1);df2=diff(f2);df2=simple(df2);intf1=int(f1);intf1=simple(intf1);intf2=int(f2);intf2=simple(intf2);解析結(jié)果：df1=heaviside(t-2)-(4*heaviside(t-1))/3+heaviside(t+2)/3df2=dirac(t+2)-dirac(t-2)intf1=(heaviside(t-2)*(t-2)^2)/2-(2*heaviside(t-1)*(t-1)^2)/3+(heaviside(t+2)*(t+2)^2)/6intf2=2*heaviside(t-2)+2*heaviside(t+2)-t*heaviside(t-2)+t*heaviside(t+2)3.4.4離散信號(hào)的差分與累加求和1.序列的差分序列的差分：對應(yīng)于連續(xù)信號(hào)中的微分的運(yùn)算。由連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，即（3.4.5）由此得：一階前向差分：（3.4.6）一階后向差分（3.4.7）序列的差分運(yùn)算，仍為序列。一階前向差分與一階后向差分的關(guān)系：前者是后者左移一位的結(jié)果，后者是前者右移一位的結(jié)果，即，二階前向差分：（3.4.8）二階后向差分：（3.4.9）2.序列的累加求和序列的累加求和：對應(yīng)于連續(xù)信號(hào)中的積分運(yùn)算，它表示序列在某一點(diǎn)n時(shí)的函數(shù)值與之前的所有函數(shù)值之和。（3.4.10）（1）離散序列的累加求和在MATLAB中可利用sum()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。例如：其調(diào)用形式為：n=m1:m2;y=sum(f

)

;（2）在符號(hào)運(yùn)算中使用symsum()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)序列的求和。例3-4-6求序列

的和R，以及前十項(xiàng)的部分和R1。

解：>>symsn>>R=symsum(1/n^2,1,inf)>>R1=symsum(1/n^2,1,10)R=1/6*pi^2R1=1968329/11700803.5信號(hào)的卷積卷積運(yùn)算是線性系統(tǒng)中對信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析的一種最常用的方法之一，可研究信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞規(guī)律的關(guān)鍵所在，在信號(hào)理論和通訊等理論中占有重要地位。3.5.1連續(xù)信號(hào)的卷積1.卷積的定義卷積的定義如下：稱為與的卷積積分，簡稱為“卷積”，用符號(hào)卷積結(jié)果的長度為：length(y)=length(x)+length(h)-1注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。表示：（3.5.1）2.卷積過程圖解：圖形掃描法計(jì)算卷積有如圖3-5-1（a）所示的矩形信號(hào)和如圖3-5-1（b）所示的單邊指數(shù)信號(hào)。卷積的方法和步驟如下：（1）將時(shí)間變量換成t

，并對h(t)圍繞縱軸折疊，得h(-t)，如圖3-5-1（c）所示。（2）再對其移位得h(t-t)，如圖3-5-1（d）所示。（3）將對應(yīng)項(xiàng)相乘，并對其進(jìn)行積分，如圖3-5-1（e）所示。（4）然后將各子項(xiàng)相加得到y(tǒng)(t)，其卷積結(jié)果圖形，如圖3-5-1（f）所示。圖3-5-1卷積圖解3.用MATLAB程序計(jì)算卷積

在MATLAB中，可使用conv(x1,x2)函數(shù)計(jì)算連續(xù)信號(hào)x1與x2的卷積。由于計(jì)算機(jī)只能計(jì)算離散數(shù)據(jù)，因此使用conv(x1,x2)函數(shù)計(jì)算連續(xù)信號(hào)時(shí)，實(shí)際上是把x1(t)和x2(t)進(jìn)行等間隔采樣進(jìn)行離散，x1(t)和x2(t)成為和，其中m為整數(shù)，當(dāng)足夠小時(shí)，和就成為連續(xù)信號(hào)x1(t)和x2(t)。因此（3.5.1）式可表示為：（3.5.2）當(dāng)進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，只求時(shí)的卷積積分值。n為整數(shù)，當(dāng)足夠小時(shí)，序列就是y(t)的值。即（3.5.3）例3-5-1計(jì)算連續(xù)信號(hào)線性卷積如圖3-5-1所示的矩形信號(hào)和單邊指數(shù)信號(hào)。令b=3，a=2，使用conv()函數(shù)計(jì)算其卷積。解：程序如下：clearall;dt=0.001;b=3;a=2;t=-1:dt:4;x=heaviside(t)-heaviside(t-2);h=b*exp(-a*t).*heaviside(t);y=conv(x,h)*dt;m=length(y)-1;n=(0:m)*dt-2;subplot(3,1,1);plot(t,x);axis([-1,4,-0.5,2.2]);title('矩形波信號(hào)');subplot(3,1,2);plot(t,h);axis([-1,4,-0.5,4]);title('指數(shù)信號(hào)');subplot(3,1,3);plot(n,y);axis([-1,4,-0.5,2.2]);title('卷積結(jié)果');由于兩個(gè)信號(hào)的時(shí)間都是從-1開始，所以卷積結(jié)果的時(shí)間要從-2開始：n=(0:m)*dt-2。結(jié)果如圖3-5-2所示。4.用MATLAB程序計(jì)算卷積的解析結(jié)果使用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算功能可以計(jì)算卷積的解析結(jié)果。例3-5-2用符號(hào)運(yùn)算計(jì)算卷積的解析結(jié)果如圖3-5-1所示的矩形信號(hào)和單邊指數(shù)信號(hào)。令b=3，a=2，使用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算功能計(jì)算卷積的解析結(jié)果。解：根據(jù)卷積的定義（3.5.1）式，可寫出程序如下：

symsttao;b=3;a=2;h=b*exp(-a*t);f=heaviside(t)-heaviside(t-2);y=simple(int(subs(f,t,tao)*subs(h,t,t-tao),tao,0,t));yt=0:0.001:4;yt=subs(y);ft=subs(f);ht=subs(h);subplot(3,1,1),plot(t,ft,'linewidth',2),title('信號(hào)1的波形');axis([-0.5,4,-0.5,2]);grid;subplot(3,1,2),plot(t,ht,'linewidth',2),title('信號(hào)2的波形');axis([-0.5,4,-0.5,3.5]);grid;subplot(3,1,3),plot(t,yt,'linewidth',2),axis([-0.5,4,-0.5,2]);grid;title('卷積的波形');解析結(jié)果為：y=3/2*heaviside(t)-3/2*heaviside(t)*exp(-2*t)-3/2*heaviside(t-2)+3/2*heaviside(t-2)*exp(-2*t+4)即，繪制卷積結(jié)果如圖3-5-3所示。卷積積分的性質(zhì)(補(bǔ)充內(nèi)容)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。主要包括：卷積代數(shù)運(yùn)算

與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積

微分積分性質(zhì)一、卷積代數(shù)運(yùn)算1．交換律2．分配律3．結(jié)合律系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)級聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

二、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1.f(t)δ(t)=δ(t)f(t)=f(t)證：f(t)δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)δ’(t)=f’(t)證：f(t)δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)ε(t)ε(t)ε(t)=tε(t)4.卷積的時(shí)移特性若f(t)=f1(t)f2(t)，則f1(t–t1)f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)f2(t)=f1(t)f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)卷積性質(zhì)例例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)f2(t)解：

f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)

f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)f2(t)=2ε

(t)ε

(t+1)–2ε

(t)ε

(t–1)–2ε

(t–1)ε

(t+1)+2ε

(t–1)ε

(t–1)由于ε

(t)ε

(t)=tε

(t)據(jù)時(shí)移特性，有f1(t)f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)三、卷積的微積分性質(zhì)1.證：上式=δ(n)(t)[f1(t)f2(t)]=[δ(n)(t)

f1(t)]f2(t)=f1(n)(t)f2(t)2.證：上式=ε(t)[f1(t)f2(t)]=[ε(t)f1(t)]f2(t)=f1(–1)(t)f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)f2(t)=f1’(t)f2(–1)(t)3.5.2線性離散卷積1.線性離散卷積的定義線性離散卷積的定義如下：（3.5.4）為了區(qū)別其他種類的卷積，該離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”。卷積結(jié)果的長度（即輸出的元素個(gè)數(shù)）為：length(y)=length(x)+length(h)-1

注意：該式的結(jié)論非常重要，它清楚地表明，當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)確定時(shí)，系統(tǒng)對任何一個(gè)輸入x(n)的響應(yīng)y(n)就確定了，可以表示成x(n)和h(n)之間的一種簡單的運(yùn)算形式：線性卷積?；蛘哒f，對線性時(shí)不變系統(tǒng)的任何有意義的輸入，都可以用卷積的方式來求其輸出。該結(jié)論不僅有理論上的重要意義，更重要的是離散卷積是簡單的運(yùn)算，可以很容易實(shí)現(xiàn)，具有明顯的實(shí)用意義。2.線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)與連續(xù)卷積相似。但離散卷積存在一些固有的運(yùn)算規(guī)律，這些規(guī)律實(shí)際上反映了系統(tǒng)的不同結(jié)構(gòu)。（1）交換律（3.5.5）交換律表明，卷積的序列與次序無關(guān)。其意義是，互換系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)，系統(tǒng)的輸出不變。（2）結(jié)合律

（3.5.6）結(jié)合律表明，級聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的變換，在輸出結(jié)果上與級聯(lián)次序無關(guān)。其意義是，可以互換級聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的順序，或系統(tǒng)級聯(lián)可以等效為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出不變。如圖3-5-4所示的3個(gè)系統(tǒng)相同。圖3-5-4結(jié)合律（3）分配律（3.5.7）分配律表明，并聯(lián)系統(tǒng)的變換，等于各子系統(tǒng)變換之和?；虿⒙?lián)系統(tǒng)可以等效為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出不變。如圖3-5-5所示。（4）“篩選”特性“篩選”特性，即與d(n)卷積不變性。其物理意義是，輸入信號(hào)x(n)通過一個(gè)零相位的全通系統(tǒng)，輸出信號(hào)沒有變化。（3.5.8）（5）與卷積的移位性（3.5.9）其物理意義是，輸入信號(hào)x(n)通過一個(gè)線性相位的全通系統(tǒng)，輸出信號(hào)除了產(chǎn)生一定的位移外，其他沒有變化。（6）離散卷積不存在微分、積分性質(zhì)。圖3-5-5分配律3.離散序列卷積的圖解法離散卷積過程：序列反褶

移位

相乘

取和。例3-5-3線性離散卷積的方法和步驟已知輸入序列為：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：根據(jù)題意得，x=[11111]，h=[0.50.50.50.50.50.5]，其圖形形式如圖3-5-6所示。解：線性卷積的方法和步驟如下：（1）將時(shí)間變量換成k，并對h(k)圍繞縱軸折疊，得h(-k)，如圖3-5-7所示。圖3-5-6輸入的卷積函數(shù)圖3-5-7序列反褶（2）再對其移位得h(n-k)，當(dāng)n>0時(shí)對h(-k)右移n位，當(dāng)n<0時(shí)對h(-k)左移n位；（3）將對應(yīng)項(xiàng)x(k)和h(n-k)相乘，然后將各子項(xiàng)相加得到y(tǒng)(n)。當(dāng)n=3時(shí)的圖形，如圖3-5-8所示。圖3-5-8當(dāng)n=3時(shí)的y(n)圖形y(0)=x(0)*h(0)=1*0.5=0.5y(1)=x(0)*h(1)+x(1)*h(0)=1*0.5+1*0.5=1y(2)=x(0)*h(2)+x(