9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用1.D[解析]由已知得BC=AC=4m,∠ACB=120°,所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=42+42-2×4×4×cos120°=48,所以AB=43m.2.D[解析]由題意可知∠CAB=∠CBA=40°.因?yàn)椤螧CD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°的方向上.3.D[解析]設(shè)該建筑物的高度為h,則PA=2h,PB=2h,PC=233h.在△PBA中,由余弦定理得cos∠PBA=602+2h2-4h22×60×2h,在△PBC中,由余弦定理得cos∠PBC=602+2h2-43h22×60×2h.∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos4.B[解析]由題可知∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,∠ACB=60°.在△ADC中,∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=26.在△BCE中,∠CBE=180°-75°-60°=45°,由正弦定理ECsin∠CBE=BCsin∠BEC,可得BC=EC·sin∠BECsin∠CBE=2×sin60°sin45°=6.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=(26)2+(6)2-2×26×6×12=18,所以AB5.C[解析]在△ACD中,∠CAD=180°-30°-30°-45°=75°,sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24,由正弦定理可得AC=CD·sin60°sin75°=32-62.在△BCD中,易知∠CBD=45°,由正弦定理可得BC=CD·sin30°sin45°=22.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-26.B[解析]根據(jù)題意可知AP=70m,BP=40m,∠APB=60°,則AB=4900+1600-2×70×40×12=1037(m),所以此車(chē)的速度為10373×3600=1200037(m/h)=1237(km/h),而7.B[解析]由題可知,在△ABP中,∠APB=15°,∠BAP=30°,∠ABP=135°,由正弦定理得APsin∠ABP=ABsin∠APB,則AP=ABsin∠ABPsin∠APB=90×sin135°sin15°=90×226-24=90(3+1)(米),在Rt△PAQ中,PQ=8.AC[解析]對(duì)于A,因?yàn)椤螧AD=75°,點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45°的方向上,所以B=45°,∠ADB=60°,所以∠ADC=120°,AC2=AE2+CE2-2·AE·CE·cos120°=AD2+CD2-2·AD·CD·cos120°,因?yàn)镃D=CE=100m,AE=200m,所以AD=200m,故A正確;對(duì)于B,△ADC的面積為12×AD×CD×sin∠ADC=12×200×100×32=50003(m2),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB,則AB=AD·sin∠ADBsinB=200×3222=1006(m),故C正確;對(duì)于D,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G9.ACD[解析]在△BDE中,∠BDE=α,∠DBE=∠BEA-∠BDE=γ-α,∠BED=π-γ,由正弦定理得DEsin∠DBE=BDsin∠BED=BEsin∠BDE,即msin(γ-α)=BDsinγ=BEsinα,所以BD=msinγsin(γ-α),BE=msinαsin(γ-α),所以AB=BDsinα=msinγsinαsin(γ-α),故A正確;AE=BEcosγ=msinαcosγsin(γ-α),故B錯(cuò)誤;在△BCE中,∠BCE=π2-δ,∠BEC=δ-γ,由正弦定理得BCsin(δ-γ)=BEsinπ2-δ,所以BC10.s·sinβ·tanθsin(α+β)[解析]在△BCD中,由正弦定理得BCsinβ=CDsin∠DBC,又sin∠DBC=sin(α+β),所以BC11.10341717[解析]在△ABC中,AB=302海里,AC=20海里,∠BAC=90°+45°=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(302)2+202-2×302×20×-22=3400,可得BC=1034海里.由正弦定理ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,得sin∠ACB=AB·sin∠BACBC=302×221034=334.由∠BAC=135°知∠ACB為銳角,所以cos∠ACB=1-sin2∠ACB=1-934=12.63[解析]因?yàn)椤螦PB=∠PBC-∠PAB=θ=∠PAB,所以PB=AB=130米,∠BPC=∠PCH-∠PBC=θ.在△PBC中,由正弦定理得PBsin(π-3θ)=BCsinθ,則PBBC=sin3θsinθ=sin(2θ+θ)sinθ=sin2θcosθ+cos2θsinθsinθ=3-4sin2θ=13052011,可得sinθ=1413.解:設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí),臺(tái)風(fēng)邊沿恰好在港口O,連接OQ.由題意得OP=300,PQ=20t,OQ=60+10t.∵cosθ=210,∴sinθ=7210,∵∠OPQ∴cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=210×22+7210×由余弦定理得OQ2=OP2+PQ2-2OP·PQcos∠OPQ,即(60+10t)2=3002+(20t)2-2×300×20t×45整理得t2-36t+288=0,解得t1=12,t2=24,則t2-t1=12.故12小時(shí)后該港口開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲,受到臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間為12小時(shí).14.解:(1)在△ABD中,∠BAD=30°,∠ABD=45°,則∠ADB=105°,所以sin∠ADB=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+由正弦定理得BDsin∠BAD=所以BD=ABsin30°sin105°=6(2)連接DC,在△BCD中,BC=36千米,BD=6千米,∠CBD=15°+45°=60°,由余弦定理可得CD=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD15.C[解析]依題意,在Rt△MAC中,AC=60m,tan∠MCA=34,則cos∠MCA=45,CM=ACcos∠MCA=6045=75(m).在Rt△BCN中,BC=703m,cos∠NCB=1415,則CN=BCcos∠NCB=7031415=753(m).在△MNC中,∠MCN=150°,則MN=CM2+CN16.解:(1)在Rt△ABC中,sinA=BCAC=6362+(63)2=在△APB中,由正弦定理得PBsin60°=則PB=6×326+2(2)設(shè)當(dāng)步行時(shí)間為th時(shí),記者位于E處,轉(zhuǎn)播車(chē)位于F處.當(dāng)t∈[0,1]時(shí),E在AB上,AE=6t,AF=12t,在△AEF中,由