11.1.6祖暅原理與幾何體的體積【課前預(yù)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)一1.兩個(gè)平行平面間平行于這兩個(gè)平面總相等一定相等2.等底面積等高診斷分析解:(1)可以.依據(jù)柱體的定義、性質(zhì)和祖暅原理可知,柱體的體積可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積.(2)祖暅原理提供了求不規(guī)則幾何體體積的一種方法.知識(shí)點(diǎn)二底面積高底面積高上、下底面面積高診斷分析1.(1)×(2)√2.解:圓柱和圓錐是圓臺(tái)的特殊情形,當(dāng)圓臺(tái)的上、下底面半徑接近相等時(shí),圓臺(tái)接近于圓柱,圓臺(tái)的體積公式變?yōu)閳A柱的體積公式;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑接近于零時(shí),圓臺(tái)接近于圓錐,圓臺(tái)的體積公式變?yōu)閳A錐的體積公式.V圓錐=13πr2hV圓臺(tái)=13πh(r'2+r'r+r2)V圓柱=πr2h.知識(shí)點(diǎn)三4π診斷分析1.×2.解:設(shè)氣球原來的半徑為R,則氣球原來的體積V=43πR3氣球的半徑擴(kuò)大1倍后,半徑變?yōu)?R,則氣球擴(kuò)大后的體積V'=43π(2R)3=8×43πR3=8V,所以將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍,它的體積擴(kuò)大到原來的8【課中探究】探究點(diǎn)一例1(1)2873[解析]由題知正四棱臺(tái)的上底面的對(duì)角線長(zhǎng)為22,下底面的對(duì)角線長(zhǎng)為42,側(cè)棱長(zhǎng)為3,所以正四棱臺(tái)的高為32-42-2222=7(2)解:連接BD1,如圖所示,則VA-BB1D1D=2VA-BD11=13×S△ABD×AA1=13×12×3×3×2=3(cm3),所以V變式(1)2(2)112a3[解析](1)設(shè)該正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2a,則斜高、下底面邊長(zhǎng)分別為5a,8a,所以該正四棱臺(tái)的高為(5a)2-(4a-a)2=4a.又因?yàn)?3×4a×(64a2+4a(2)由題意得S△A1D1E=12EA1·A1D1=14a2,三棱錐F-A1D1E的高為CD=a,∴V三棱錐F-A1D1E=13·a·14a探究點(diǎn)二例2A[解析]設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為90°的扇形,所以2πr=π2l,得l=4r.因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面積為4π,所以πrl=4πr2=4π,所以r=1,則l=4,所以底面圓的面積S=π×r2=π,圓錐的高h(yuǎn)=l2-r2=15,故圓錐的體積V=13Sh=變式解:設(shè)上、下底面半徑,母線長(zhǎng)分別為r,R,l,作A1D⊥AB于點(diǎn)D,則A1D=3,∠A1AD=π3,∴AD=A1D∴R-r=3.∵BD=A1D·tanπ3=33,∴R+r=33,∴R=23,r=3,又∵高h(yuǎn)=3,∴V圓臺(tái)=13π(R2+Rr+r2)h=13π×[(23)2+23×3+(3)拓展解:如圖所示,設(shè)OA與圓R相切于點(diǎn)E,連接ER,OR,設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r',r.(1)∵2πr=π3×72,∴r=12cm在Rt△OER中,RE=r,OR=2r,∴OD=3r=36cm,∴AD=OA-OD=36(cm).(2)由(1)知2πr'=π3·3r,∴r'=6cm,則圓臺(tái)的高h(yuǎn)=AD2-(r-r')2=362-62=635(cm),∴圓臺(tái)的體積V=13π(r'2+r'r+r2)h=13探究點(diǎn)三例3(1)B(2)A[解析](1)設(shè)截面圓的圓心為O',M為截面圓周上任一點(diǎn),連接OO',O'M,OM,則OO'=2,O'M=1,∴OM=(2)2+1=3,即球O的半徑為3,∴球O的體積V=43π×(3)(2)因?yàn)槿忮FP-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以三棱錐的外接球就是以PA,PB,PC為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球,因?yàn)镻A=3,PB=2,PC=3,所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為(3)2+(2)2+(3)2=22,所以外接球的直徑是22,半徑為2,所以所求外接球的體積V變式D[解析]設(shè)球的半徑為R,正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,則S底=12×6×6×sin60°=12r(6+6+6),解得r=3,所以R=3+(R-1)2,解得R=2,所以球的體積V=43π探究點(diǎn)四例4解:由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V四棱錐=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V四棱柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),所以倉庫的容積V=V四棱錐+V四棱柱變式A[解析]由題可知,該玉琮的體積V=π×4×322-12+3×3×3-π×3×322=【課堂評(píng)價(jià)】1.B[解析]以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是底面半徑為2,高為2的圓柱,所以所得到的幾何體的體積V=π×22×2=8π.故選B.2.B[解析]四棱錐S-ABCD的高與正方體的高相等,底面與正方體的底面重合,根據(jù)柱體和錐體的體積公式得,四棱錐S-ABCD的體積占正方體體積的13,故選B3.B[解析]設(shè)小明用掉34的紙后,剩下的這卷紙的直徑為xcm,卷紙高為hcm,則由題可知(π×62-π×22)h×14=π×x22-π×22h,解得x2=48,則x=43≈4×1.4.A[解析]設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r,R,則有4πr2∶4πR2=4∶9,∴r∶R=2∶3,∴兩個(gè)球的體積之比為43πr3∶43πR3=r3∶R3=8∶27.故選5.152[解析]如圖,連接EB