17.1等腰三角形練習(xí)一、單選題1．已知是等腰三角形，其中兩條邊長度分別為和，這個三角形周長是（

）A． B． C．或 D．以上都有可能2．如圖，點D在上，，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．下列敘述中正確的是（

）A．等腰三角形的高線、角平分線、中線互相重合；B．有一內(nèi)角為的等腰三角形是等邊三角形；C．等腰三角形一邊的中點到兩腰的距離相等；D．等腰三角形的兩個內(nèi)角相等．4．如圖，點A，B為方格紙中的兩個格點，若以為邊在方格中畫點（點C為格點），使得為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．95．如圖，在中，，與的平分線相交于點O，過O作交于E，交于F，那么圖中所有的等腰三角形個數(shù)是（

）．A．4個 B．5個 C．6個 D．7個6．如圖，的面積為，平分，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．8．在等邊所在平面上找這樣一點P，使、、都是等腰三角形，所有具有這樣性質(zhì)的點有幾個？（）A．3 B．7 C．8 D．109．如圖，直線，點A在直線上，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交直線、于B、C兩點，以點C為圓心，長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接，其中交于點E．若；則①；②；③；④．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．如圖，E是等邊中邊上的點，，若，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題11．已知a，b，c是的三邊長，且滿足，則此三角形是．12．如圖，為等邊的高，E、F分別為線段上的動點，且，當(dāng)取得最小值時，．13．在中，，，在直線或上取點D，使得是等腰三角形，則符合條件的D點有個．14．把一張長方形紙片如圖折疊，則的形狀是．15．在中，，，點D在內(nèi)部，且滿足，若的面積為18，則．三、解答題16．如圖所示，在中，平分，．(1)請判斷的形狀，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．17．如圖，中，，垂足為D．(1)求作的平分線，分別交于P，Q兩點．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)判斷的形狀，并證明．18．如圖，中，于點D，垂直平分，交于點F，交于點E，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)若的周長為，，求的長．19．如圖，點O是等邊內(nèi)一點，D是外一點，，，，，連接．(1)求證：是等邊三角形；(2)當(dāng)時，判斷的形狀為________，（不用寫證明）；(3)探究：當(dāng)為_________度時，是等腰三角形．20．如圖，是等邊的邊上一點，以為邊作等邊，連接，在延長線上取一點，使．求證：．《17.1等腰三角形練習(xí)》參考答案題號12345678910答案ADBCBCDDBA1．A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是檢驗三邊長能否組成三角形．先確定等腰三角形的腰與底的長，分腰長為和腰長為兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形，進(jìn)而求解三角形的周長．【詳解】解：若腰長為，底邊長為，由于，兩邊之和不大于第三邊，則三角形不存在；若腰長為，底邊長為，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊，所以這個三角形的周長為．故選：A．2．D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角的和差推出，，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，故選：D．3．B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線互相重合，故選項錯誤，不符合題意；B、有一內(nèi)角為的等腰三角形是等邊三角形，故選項正確，符合題意；C、等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等，故選項錯誤，不符合題意；D、等腰三角形的兩個底角相等，故選項錯誤，不符合題意．故選：B．4．C【分析】本題主要考查格點作等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的判斷即可得到結(jié)論，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)為腰時，如圖，當(dāng)為底邊時，點無格點，綜上可知：為等腰三角形，則點的個數(shù)有個，故選：C．5．B【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定可得，，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵與的平分線相交于點O，∴，．∵，∴，，∴，∴，即都為等腰三角形．又∵，，∴，且，∴都為等腰三角形．∵，與的平分線相交于點O，∴，∴，即是等腰三角形．故等腰三角形有：．故選：B．6．C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．延長交于，如圖，先證明得到，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，，所以．【詳解】解：延長交于，如圖，平分，，，，，，，，，，，．故選：C．7．D【分析】根據(jù)平行線的判定即可得選項A正確；先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得選項B正確；根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，由此即可得選項C錯誤；根據(jù)等腰三角形的判定即可得選項D正確．【詳解】解：如圖所示，，，則選項B正確；，，，，則選項A正確；，，，，則選項D錯誤；，，則選項C正確；故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．D【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．①如圖所示，當(dāng)點P在三角形的內(nèi)部時，點P到的三個頂點的距離相等；②如圖所示，當(dāng)P在的外部時，每條邊的垂直平分線上的點只要能夠使頂點這條邊的兩端點連接而成的三角形是等腰三角形即可．【詳解】解：①當(dāng)點P在三角形的內(nèi)部時，點P是邊、、的垂直平分線的交點，如圖點．②當(dāng)P在三角形的外部時，分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，與垂直平分線的交點有3個，如圖，點，共9個．綜上，具有這樣性質(zhì)的點P共有10個．故選：D．9．B【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等知識，掌握這些知識是關(guān)鍵；由平行線的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，可求得，從而判斷①；可證明，得，即可判斷②；由②的判斷可判斷③；由得，而，由此即可判斷④，從而可確定答案．【詳解】解：∵，，∴，由題意知，，∴，故①正確；由題意知：，且，∴，∴，∴，故②正確；由②知，，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，∴，故④錯誤，綜上，正確的有①②③三個正確，故選：B．10．A【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，先證，再證是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故選：A．11．等邊三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)題意，將題中式子進(jìn)行化簡得到，推出得到這個三角形是一個等邊三角形．據(jù)此解答．【詳解】解：∵，∴，，即，∴且，∴，∴這個三角形是一個等邊三角形．故答案為：等邊三角形．12．105【分析】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)取得最小值時確定點F的位置，有難度．作于點C，且，連接交于M，連接，證明，得，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點F的位置，即當(dāng)點B，F(xiàn)，H三點共線時，取得最小值，此時取得最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，作于點C，且，連接交于M，連接，∵為等邊的高，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點B，F(xiàn)，H三點共線時，取得最小值，此時取得最小值，此時，∴，故答案為：105．13．6【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的存在性問題，分別以、為圓心，長為半徑畫圓與直線或取交點，再作的垂直平分線與直線或取交點即為所求．【詳解】解：∵，，∴，如圖，以為圓心，長為半徑畫圓與直線交于點和，與直線交于點和，則為等邊三角形，∴以為圓心，長為半徑畫圓與直線交于點和，與直線交于點和，作的垂直平分線與直線交于點，與直線交于點，綜上所述，符合條件的D點有6個．故答案為：．14．等腰三角形【分析】該題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握折疊前后角度不變是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，而，即可得，證得，從而得到的形狀．【詳解】解：在長方形紙片中，∴，根據(jù)折疊可得，∴，∴，∴是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．15．6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行的判定與性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．過點作交的延長線于點，先證明，再通過，得到，推出，得到，從而證明，接著證明，即可得，根據(jù)三角形的面積公式，即可解答．【詳解】解：過點作交的延長線于點，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，的面積為18，，．故答案為：6．16．(1)是等腰三角形，理由見解析(2)【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平分，，可知，所以，從而可知是等腰三角形；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：平分，，，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，．17．(1)見解析(2)為等腰三角形，證明見解析【分析】本題考查了基本作圖，作角平分線，余角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握基本以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作已知角的角平分線的作法，畫出圖形即可；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，再由余角的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，角平分線即為所求．（2）解：為等腰三角形，證明如下：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形．18．(1)證明見解析(2)(3)的長為【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）證明，可得，再證明，可得，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論．（2）先證明是的垂直平分線，等邊對等角求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論求出的度數(shù)即可；（3）先求出的長，再根據(jù)線段的轉(zhuǎn)化，得到，進(jìn)而求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴．（3）解：由（1）得：，，，∵的周長為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長為．19．(1)見解析(2)直角三角形(3)125或140或110【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合即可得證；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，求出，即可得解；（3）由等邊三角形的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，求出，，再由三角形內(nèi)角和定理可得，分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；分別求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：當(dāng)時，的形狀為直角三角形，∵是等邊三角形∴，∵，，∴，∴，∴當(dāng)時，的形狀為直角三角形