735期【導(dǎo)數(shù)】深度剖析隱零點(diǎn)技巧總結(jié)與6大題型在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，常常會(huì)遇到零點(diǎn)不可求的情形，此時(shí)可先論證有零點(diǎn)，再虛設(shè)零點(diǎn)，最后運(yùn)用零點(diǎn)代換，化簡(jiǎn)函數(shù)極值的策略來(lái)解決問(wèn)題，這是隱零點(diǎn)問(wèn)題常用的處理方法.隱零點(diǎn)的零點(diǎn)代換處理策略被廣泛應(yīng)用于零點(diǎn)討論、不等式證明、求最值等各種題型中，是零點(diǎn)不可求問(wèn)題中一個(gè)必備的基本處理方法，真題中也十分常見(jiàn).【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的，稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無(wú)法用顯性的代數(shù)表達(dá)的(f′(x)＝0是超越形式)，稱之為“隱零點(diǎn)”．對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，常常涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧．用隱零點(diǎn)處理問(wèn)題時(shí)，先證明函數(shù)f(x)在某區(qū)上單調(diào)，然后用零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明只有一個(gè)零點(diǎn)．此時(shí)設(shè)出零點(diǎn)x0，則f′(x)＝0的根為x0，即有f′(x0)＝0．注意確定x0的合適范圍，如果含參x0的范圍往往和參數(shù)a的范圍有關(guān)．這時(shí)就可以把超越式用代數(shù)式表示，同時(shí)根據(jù)x0的范圍可進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s．從而問(wèn)題得以解決．基本解決思路是：形式上虛設(shè)，運(yùn)算上代換，數(shù)值上估算．用隱零點(diǎn)可解決導(dǎo)數(shù)壓軸題中的不等式證明、恒成立能成立等問(wèn)題．隱零點(diǎn)問(wèn)題求解三步曲(1)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍．(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。⒁猓捍_定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到等等．至于隱性零點(diǎn)的范圍精確到多少，由所求解問(wèn)題決定，因此必要時(shí)盡可能縮小其范圍．進(jìn)行代數(shù)式的替換過(guò)程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對(duì)數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵．最后值得說(shuō)明的是，隱性零點(diǎn)代換實(shí)際上是一種明修棧道，暗渡陳倉(cāng)的策略，也是數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”思想的體現(xiàn)．【拓展知識(shí)】在確定隱零點(diǎn)時(shí)，往往需要用到找點(diǎn)卡根等賦值理論，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理。以下是關(guān)于隱零點(diǎn)的三點(diǎn)拓展，充分理解可以便于隱零點(diǎn)的應(yīng)用。一、賦值的依據(jù)和方法1．賦值的理論依據(jù)：1)不等式的基本性質(zhì)以及一些簡(jiǎn)單代數(shù)方程、不等式的求解．2)零點(diǎn)存在定理.基本模式是已知的符號(hào)，探求賦值點(diǎn)(假定)使得與異號(hào)，則在上存在零點(diǎn)．3)一些基本的超越不等式，如：1．；．2．時(shí)，．3．時(shí)，． 4．．【注】應(yīng)用上述不等式,一般須給出證明．2．賦值的應(yīng)對(duì)方略：2.1賦值的方法：直觀放縮法．其形態(tài)是先直觀嘗試，后放縮證明，其特點(diǎn)是見(jiàn)效快，但有時(shí)有點(diǎn)懸，解、證風(fēng)險(xiǎn)大．（參閱上節(jié)“真題探究”）放縮求解法．其形態(tài)是先適度放縮，然后通過(guò)解不等式或方程求出賦值點(diǎn)，其特點(diǎn)是穩(wěn)妥、可靠，但有時(shí)，目標(biāo)放縮有點(diǎn)難．（參閱上節(jié)“真題探究”中的思路一，思路二）2.2賦值點(diǎn)遴選要領(lǐng)：遴選賦值點(diǎn)須做到三個(gè)確保，三個(gè)優(yōu)先———三個(gè)確保：（1）確保參數(shù)能取到它的一切值；（2）確保賦值點(diǎn)落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；（3）確保運(yùn)算可行．三個(gè)優(yōu)先：（1）優(yōu)先常數(shù)賦值點(diǎn)；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點(diǎn)(參閱2016屆南通一模)；（3）優(yōu)先簡(jiǎn)單運(yùn)算，如，等．2.3放縮的分類及其目標(biāo)：放縮于賦值，如影隨形，唇齒相依．（1）依放縮的依據(jù)劃分，可分為無(wú)條件放縮和條件放縮兩類．前者如，，等；后者如時(shí)，．時(shí)，等；（2）依賦值點(diǎn)的個(gè)數(shù)劃分，可分為單點(diǎn)式和兩點(diǎn)式．前者以解方程為歸宿；后者以解不等式為歸宿，從某種意義上說(shuō)，后者是前者受挫時(shí)的應(yīng)急之舉．一般情形下，放縮的目標(biāo)應(yīng)鎖定于對(duì)函數(shù)的變化趨勢(shì)起不了主導(dǎo)作用的那些項(xiàng)；但有些問(wèn)題中，很難界定“主導(dǎo)”與非“主導(dǎo)”，此時(shí)放縮的尺度取決于對(duì)題目中各種因素的綜合考量———這正是賦值的難點(diǎn)．二、常用的放縮公式（考試時(shí)需給出證明過(guò)程）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)），，（放縮成雙撇函數(shù)），，，，（放縮成二次函數(shù)），，（放縮成類反比例函數(shù)），，，，，第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)），，，（放縮成類反比例函數(shù)），，（放縮成二次函數(shù)），，第三組：指對(duì)放縮第四組：三角函數(shù)放縮，，.第五組：以直線為切線的函數(shù)，，，，.三、幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)模型1.經(jīng)典模型一：或.【例1】討論函數(shù)【例1】討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).，單調(diào)遞增.，（2）時(shí)，無(wú)零點(diǎn).，.（3）時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).，.（4）當(dāng)時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).（目測(cè)），，其中.（放縮）.，其中.（用到了）獲取更多資料，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，或者加數(shù)學(xué)派資料群：790251300【變式】（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1：）：1.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令，）；2.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令）；3.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮）；4.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮，令，）；5.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令，）；6.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令）.2.經(jīng)典模型二：或【例2】討論函數(shù)【例2】討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).，單調(diào)遞增.且，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；（2）時(shí)，無(wú)零點(diǎn).恒成立；（3）時(shí)，無(wú)零點(diǎn).；（4）時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).，，.【變式】（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2：）：1.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令，）；2.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（去分母后與1等價(jià)）；3.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)平方后與1等價(jià)）；4.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)開(kāi)方后換元與1等價(jià)）；5.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（乘以系數(shù)e，令）；6.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令，轉(zhuǎn)化成2）7.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令，）；3.經(jīng)典模型三：或【例】討論函數(shù)【例】討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).，單調(diào)遞增.，.（2）時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)（）.（3）時(shí)，無(wú)零點(diǎn).，（4）時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)..（5）時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).，，，【變式】（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3：）：1.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；2.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮，令）；3.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令）；4.討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；更多找點(diǎn)放縮不等式與技巧可以參考公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，小π的文章《導(dǎo)數(shù)找點(diǎn)技巧中常用的放縮不等式》鏈接/s/NYJGLGZrYB3QZgGaX4EcUA《將導(dǎo)數(shù)大題中的找點(diǎn)模型化》鏈接/s/qvFhPo2VUzkLSfkOzYZOHA《將導(dǎo)數(shù)大題中的找點(diǎn)模型化》鏈接/s/qvFhPo2VUzkLSfkOzYZOHA更多隱零點(diǎn)技巧可以參考公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，小π的文章《隱零點(diǎn)問(wèn)題（一）降次留參，建立含參方程》鏈接/s/mlaS3UCF3ycBbFEMu5XL7w《隱零點(diǎn)問(wèn)題（二）整體代換，化超越式為普通式》鏈接/s/81KiF4qGZozpVJBJIpEA1A《隱零點(diǎn)問(wèn)題（三）反代消參，構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的函數(shù)》鏈接/s/VuN9pgCQe5wmeWGsK2BYKg《對(duì)于含指數(shù)結(jié)構(gòu)的函數(shù)隱零點(diǎn)另一種處理技巧》鏈接/s/VgIT3MMw5yKzgsov4lollg《【導(dǎo)數(shù)】壓軸大題之隱零點(diǎn)問(wèn)題三類處理技巧》鏈接/s/iyhlh5spePhLmjqBL6prHg下面五解法剖析一道含隱零點(diǎn)應(yīng)用的高考題（15四川21）(15四川）已知函數(shù)(15四川）已知函數(shù)，其中．（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解． 法一：（I）知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增． （Ⅱ）由，解得． 令 則．故存在，使得． 令．由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 所以即． 當(dāng)時(shí)，有． 由（I)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 故當(dāng)時(shí)，，從而； 當(dāng)時(shí)，，從而． 所以，當(dāng)時(shí)，． 綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解． 法二：（Ⅱ）令，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)在內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 由于且，故時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增． 從而，當(dāng)時(shí)，在達(dá)到最小值．此時(shí)，． 令，則， 從而存在使得．令．則當(dāng)時(shí)，且． 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而． 綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解． 法三：（II）由（)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，的函數(shù)值也趨向于正無(wú)窮大．即存在，使得，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．且滿足，即時(shí)，取得最小值： ． 令，則． 故存在，使得．所以在區(qū)間內(nèi)有解．此時(shí)相應(yīng)的值為，其中． 由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以，即． 綜上所述，存在，使得的最小值為0． 此時(shí)在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解． 法四：（Ⅱ）前同解法三．．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 又，所以． 令，易得，所以在區(qū)間內(nèi)有解．此時(shí)相應(yīng)的值為，其中．由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以即． 綜上所述，存在，使得的最小值為0． 此時(shí)在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解． 法五：（II）由（Ⅰ）得在內(nèi)單調(diào)遞增，且，．由零點(diǎn)存在性定理得存在唯一，使得① 所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增． 所以滿足在區(qū)間內(nèi)有唯一解只需滿足即可， ，將①帶入化簡(jiǎn)得： ，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)①變形為，在上有解． 令，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 當(dāng)時(shí)，此時(shí)（1）變形為在上有解． 不妨設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增．． 所以在上有解，所以結(jié)論得證． 【反思】本題對(duì)數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問(wèn)題，需要具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．展示了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求考生具有高層次的理性思維,考生解答時(shí)可以采用“聯(lián)系幾何直觀一探索解題思路一提出合情猜想一構(gòu)造輔助函數(shù)一結(jié)合估算精算——進(jìn)行推理證明”的思路，整個(gè)解答過(guò)程與數(shù)學(xué)研究的過(guò)程基本一致，能較好地促進(jìn)考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、探究數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律．這些試題具有立意深遠(yuǎn)、背景深刻、設(shè)問(wèn)巧妙等特點(diǎn)，富含思維價(jià)值，體現(xiàn)了課程改革理念，是檢測(cè)考生理性思維廣度、寬度，深度和學(xué)習(xí)潛能的良好素材．這樣的設(shè)計(jì)，對(duì)考生評(píng)價(jià)合理、科學(xué)，鼓勵(lì)積極、主動(dòng)、探究式的學(xué)習(xí)，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)全面深化課程改革、提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有十分積極的作用．更多隱零點(diǎn)高考真題（答案參考官方標(biāo)答）1．(12課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)1．(12課標(biāo)1）設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間 （Ⅱ）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值2．(17課標(biāo)2）已知函數(shù)，且． （1）求; （2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．3．（18課標(biāo)3）已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； （2）若是的極大值點(diǎn)，求．兩道典型例題與解題模板例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．第(2)問(wèn)解題思路第1步：變量分離，等價(jià)轉(zhuǎn)化：存在實(shí)數(shù)，使得成立，優(yōu)先考察變量分離法，將代入：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：第2步：構(gòu)造函數(shù)：，則目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：第3步：借助導(dǎo)數(shù)研究：（不容易確定正負(fù)，且含有，通常進(jìn)行二階導(dǎo)）；第4步：求二階導(dǎo)：，顯然，從而說(shuō)明在上單調(diào)遞增第5步：借助零點(diǎn)存在定理，找出的根：,，所以：存在，使得，即，也即第6步：得到的單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.第7步：求：當(dāng)時(shí)，所以第8步：得到結(jié)論：由題意，所以整數(shù)的最小值為1.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.(2)

1【詳解】（1）由，可得又恒成立，則在上單調(diào)遞增，且所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.(2)存在實(shí)數(shù)，使得成立即存在實(shí)數(shù)，使得，即成立設(shè)，即，所以在上單調(diào)遞增.,所以存在，使得，即，也即所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，所以，由題意，所以整數(shù)的最小值為1.例題2．（2022·甘肅·金昌市教育科學(xué)研究所高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)例題2．（2022·甘肅·金昌市教育科學(xué)研究所高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值．第(2)問(wèn)解題思路第1步：變量分離，等價(jià)轉(zhuǎn)化：存在，使成立，優(yōu)先考察變量分離法，將代入：，由于等價(jià)轉(zhuǎn)化為：第2步：構(gòu)造函數(shù)：，則目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：第3步：借助導(dǎo)數(shù)研究：（不容易確定正負(fù)，且含有，通常進(jìn)行二階導(dǎo)）；令：第4步：求二階導(dǎo)：，在上單調(diào)遞增第5步：借助零點(diǎn)存在定理，找出的根：，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，且，即，第6步：得到的單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.第7步：求：，第8步：得到結(jié)論：可知，又，，∴的最小值為5．【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）5【詳解】（1）由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，令，或；時(shí)，，在單調(diào)遞增；時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上所述，的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）原式等價(jià)于，即存在，使成立．設(shè)，，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，且，即，∴.由題意可知，又，，∴a的最小值為5．【六大題型歸類】題型一：虛設(shè)零----媒介過(guò)渡題型二：敏銳洞察一觀察零點(diǎn)題型三：反帶消參-構(gòu)造單變量函數(shù)，研究參數(shù)值及范圍題型四：降次或減元留參，達(dá)到證明或求值的目的題型五：巧設(shè)零點(diǎn)--超越式劃代數(shù)式題型六：巧妙轉(zhuǎn)化(含放縮，討論等) 題型一 虛設(shè)零點(diǎn)——媒介過(guò)渡 例1．已知函數(shù)， （1）證明：； （2）已知函數(shù)，若對(duì)區(qū)間上任意均有恒成立，求的最大值． 解：(1）略（2)由題設(shè)條件知：在上恒成立在上恒成立． 令，則，，即為減函數(shù)，又，．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 在上有唯一的零點(diǎn)，且． 當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減． ，又，． ，所以，故． 例2(19課標(biāo)1）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)． 證明： （1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)； （2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)． 解：(1）由題意知：定義域?yàn)椋呵遥?令． 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減， 又，，使得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，即在上遞增；在上遞減，則為唯一極大值點(diǎn)；即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn)． （2）由（1）知：． ①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又為在上的唯一零點(diǎn)． ②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)，又，，使得在上遞增，在上遞減．又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)． ③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，在上遞減，又，即，又在上遞減在上存在唯一零點(diǎn)．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 ④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)．綜上所述：有且僅有2個(gè)零點(diǎn)． 題型二 敏銳洞察——觀察零點(diǎn)技 例3（13北京）設(shè)為曲線C：在點(diǎn)處的切線． （Ⅰ）求的切線方程； （Ⅱ）證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方． 解：（Ⅰ）：． （Ⅱ）令，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線的下方，滿足．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 當(dāng)時(shí)，，所以，故單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以，故單調(diào)遞增． 所以，即除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方． 例4．（11浙江）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)； （Ⅱ）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立． 注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． 解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由，下面討論： 1）當(dāng)時(shí)，成立； 2）當(dāng)時(shí)，；易知：，；；，，． 觀察知：在．綜上： 題型三反帶消參——構(gòu)造單變量函數(shù)，研究參數(shù)值及范圍 例5．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）已知函數(shù)的極小值大于零，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）． 1)當(dāng)時(shí)，在遞增； 2)當(dāng)時(shí)，令，方程，兩根，在遞減，而在遞增． 綜上：1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞增， 2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，而在遞增． （2），由（1）知，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，構(gòu)造函數(shù)解得：，故所求：． 例6（2020屆成都零診）已知函數(shù) （1）略 （2）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值． 解：（1）略；（2），，即在，； 由零點(diǎn)存在性定理：，使得：，即：--------（1） 在，且；即--------------------------------（2） 由（1）（2）有：，構(gòu)造函數(shù)易求唯一解，即成立． 例7已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值； （2）若存在與函數(shù)的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）略 （2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，則即，故，代入得：． 設(shè)，則，不妨設(shè)則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，代入可得：關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派． 設(shè)，則對(duì)恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，． 又當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí)，必存在使得成立； 即存在使函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同． 又得：即在遞減，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍． 題型四降次或減元留參，達(dá)到證明或求值的目的 例8（09全國(guó)1)設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且． （Ⅰ）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域； （Ⅱ）證明：． 解：（1）由題意知方程有兩個(gè)根，且，，則有，，故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域． （Ⅱ）由題意有① 又② 消去可得． 又，且．又如：（09全國(guó)2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且． (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍，并討論的單調(diào)性； (Ⅱ)證明：． 例9．已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過(guò)兩點(diǎn)的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值． 解：（Ⅰ）依題意可得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，故，函數(shù)在上遞增； 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相異實(shí)根，且， 故或遞增；由，此時(shí)遞增遞減． 綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞增， 在遞減． （2）由題知，為的兩根，故，，，即： ，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 同理． 因此直線的方程為． 設(shè)與軸的交點(diǎn)為，得， 而，由題設(shè)知，點(diǎn)在曲線的上，故，解得或或，所以所求的值為或或． 題型五：巧設(shè)零點(diǎn)——超越式劃代數(shù)式 例10（15課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，． 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)檫f增，單調(diào)遞增，所以在遞增．又，當(dāng)滿足且時(shí)，，故時(shí)，存在唯一零點(diǎn)． （Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．由于，所以． 故當(dāng)時(shí)，． 例11已知函數(shù)，． （I）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)的值； （II）當(dāng)時(shí)，證明：． 解：（I）． （II）證法一：因，所以等價(jià)于．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 當(dāng)時(shí)，． 要證，只需證明． 思路1：設(shè)，則． 設(shè)，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ涣泓c(diǎn)，且． 因?yàn)?，所以，即?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，取得最小值． 即． 綜上可知，當(dāng)時(shí)，． 思路2：先證明．令，轉(zhuǎn)化為證明． 因?yàn)榍€與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線與曲線分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B到直線的距離分別為，則．其中． ①設(shè)，則． 因，所以． 即在上遞增，則． 所以． ②設(shè)，則． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增． 故． 綜上可知，當(dāng)時(shí)，． 證法二：因?yàn)?，所以等價(jià)于．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 思路：設(shè)，則． 設(shè)，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 因?yàn)?，所以．所以函?shù)在上有唯一零點(diǎn)，且． 因?yàn)椋?，即?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，取得最小值． ． 綜上可知，當(dāng)時(shí)，． 例12．已知函數(shù)，其中為常數(shù)． （1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點(diǎn)為，求證：． 解：（1），由題意對(duì)恒成立． 對(duì)恒成立．對(duì)恒成立．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 令則， ①若，即，則對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞減，則與矛盾，舍去； ②若，即，令，得， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，， 綜上關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 （2）當(dāng)時(shí)，． 令，則，令，得． ①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，恒成立，單調(diào)遞減，且． ②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，又， 存在唯一，使得． 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且， 由①和②可知，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ， ，又， ． 題型六：巧妙轉(zhuǎn)化（含放縮，討論等）避開(kāi)零點(diǎn) 例13．已知函數(shù)，(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A． B． C． D． 解法1：要使在上恒成立，只需即可． 在上遞增． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上存在唯一的零點(diǎn)，滿足，所以， 且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是． 由得：，必有，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，則有，即． 構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派 故，于是實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法2：要使在上恒成立，