788期【圓錐曲線】系統(tǒng)精講系列11——焦點(diǎn)四邊形9性質(zhì)及應(yīng)用一、焦點(diǎn)四邊形9性質(zhì)焦點(diǎn)四邊形：如圖1，直線y=kxk≠0與橢圓E:x2a2+y2圖1性質(zhì)1：四邊形MF性質(zhì)2：任意兩鄰邊之和為2a，?MF1N性質(zhì)3：S?MF性質(zhì)4：當(dāng)且僅當(dāng)k不存在時(shí)，∠F1MF2=∠性質(zhì)5：由平行四邊形性質(zhì)可得：M性質(zhì)6：由余弦定理：cos∠MF1N=cos∠M由均值不等式：MF1?N性質(zhì)7：若?MF1NF2為矩形，則性質(zhì)8：設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(xM,yM)，(x性質(zhì)9：如圖2，橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)A(m,0)，0<|m（1）|M（2）|MP（3）直線MN恒過定點(diǎn)(c（4）k圖2焦點(diǎn)四邊形應(yīng)用【例【例1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在橢圓C上（點(diǎn)M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故選：B．【例【例2】已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋傻?，所以，則，.由余弦定理可得，即，即（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故橢圓離心率故選：C.【例【例3】已知橢圓=1的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由，得，整理得，又，所以.【例【例4】已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若存在直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解析】連接，與左右焦點(diǎn)，的連線，由，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，，在三角形中，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又直線的斜率存在，故，即，可得，所以橢圓的離心率.故選：A．下面我們看雙曲線中的焦點(diǎn)四邊形及應(yīng)用.【例【例5】已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】如下圖，若左焦點(diǎn)，連接，因?yàn)锳、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，所以為矩形，設(shè)，則，，，在直角△中，即，所以，在直角△中，即，所以.故選：B（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）【例【例6】已知點(diǎn)F為雙曲線(，)的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在雙曲線左支上)，連接BF并延長交雙曲線于點(diǎn)C，且，AF⊥BC，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．【解析】如圖，為雙曲線右焦點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性知為矩形﹒設(shè)，則，，，，在△中，由余弦定理得，，即，即①，在Rt△中，，即②，聯(lián)立①②解得，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）代入②，，解得.故選：B.【例【例7】已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長為，面積為S，且滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【解析】由題意可得，，解得，又為直徑，所以四邊形為矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故選：C．【例【例8】如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)，若，且，則與的離心率之積為_____.【解析】連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，（關(guān)注微信公眾號(hào)：H