專題05有理數(shù)的八大計(jì)算技巧（舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練） 【華東師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)消與湊整】 1【題型2歸類與組合】 3【題型3活用運(yùn)算律】 5【題型4裂項(xiàng)相消】 7【題型5錯(cuò)位相消】 10【題型6倒數(shù)法】 13【題型7相互轉(zhuǎn)化】 15【題型8圖形法】 16知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的計(jì)算技巧（1）對(duì)消與湊整將相加得零的數(shù)結(jié)合計(jì)算，將和為整數(shù)的數(shù)結(jié)合計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的計(jì)算技巧（2）歸類與組合將同類數(shù)（如正數(shù)或負(fù)數(shù)）歸類計(jì)算，將相反數(shù)、分母相同或易于通分的數(shù)結(jié)合計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)三有理數(shù)的計(jì)算技巧（3）活用運(yùn)算律運(yùn)用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序，正難則反，利用運(yùn)算律改變次序，將復(fù)雜的數(shù)拆開來算．知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)的計(jì)算技巧（4）裂項(xiàng)常見的裂項(xiàng)一般是將一項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的和或差，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消或湊整，其中分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)是重點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)五相互轉(zhuǎn)化法根據(jù)算式特點(diǎn)，將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算．【題型1對(duì)消與湊整】【例1】（24-25七年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）計(jì)算+34-+6+-2【答案】-【分析】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算．先將減法轉(zhuǎn)化為加法，然后運(yùn)用加法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算即可得到結(jié)果；【詳解】解：+==1+=-1-6=-7【變式1-1】（24-25六年級(jí)上·山東威?！て谥校┯?jì)算1【答案】21【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則，運(yùn)算律和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．根據(jù)加減運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律即可求解.【詳解】解：1=1==2+=2【變式1-2】（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）計(jì)算：-【答案】-【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及有理數(shù)的加法的運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算律，將能湊整的數(shù)先湊整，得到-3.19+【詳解】解：原式=-3.19+219==-10+5=-5．【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：-2【答案】5【分析】先根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；【詳解】解：-===-1+5+1=5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【題型2歸類與組合】【例2】計(jì)算：(1)+357(2)-2018【答案】(1)12(2)-【詳解】（1）+35===12+=121（2）-===0+=-2．【變式2-1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：-16+24+6【答案】9【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，加法運(yùn)算律及簡(jiǎn)便運(yùn)算等知識(shí)，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；常見的加減法簡(jiǎn)便方法有：相加得整數(shù)的先相加，正數(shù)與負(fù)數(shù)分別相加，同分母或易于通分的先相加等；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)、同分母兩個(gè)數(shù)及兩個(gè)小數(shù)分別結(jié)合相加，最后再相加即可．【詳解】解：原式=8+=8+11=92【變式2-2】（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）計(jì)算．-【答案】-【分析】本題主要考查了有理數(shù)的計(jì)算；根據(jù)有理數(shù)加減法計(jì)算法則求解即可；【詳解】解：-=====-【變式2-3】計(jì)算：(-21【答案】-【分析】該題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則．原式去掉括號(hào)后，利用加減法計(jì)算法則即可得到結(jié)果；解：(-2=-2=-2+4-4-5-=-7-=-7-=-7【題型3活用運(yùn)算律】【例3】計(jì)算：-0.25【答案】-【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)有理數(shù)乘法的交換律和結(jié)合律計(jì)算即可．【詳解】解：-==10×1×=-1000【變式3-1】（24-25七年級(jí)上·江西贛州·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：29【答案】5【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．利用乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】解：原式=2【變式3-2】算：-【答案】1【分析】該題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則．原式先將除法變成乘法，再計(jì)算乘法運(yùn)算即可得到結(jié)果；【詳解】解：(-49)÷=(-49)×=(-8)×(-=【變式3-3】（23-24七年級(jí)·河南開封·開學(xué)考試）怎樣簡(jiǎn)便怎樣算(1)2021×20222022-2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【答案】(1)0(2)21(3)1(4)1【分析】（1）根據(jù)20222022=2022×10001，20212021=2021×10001將原式變形為（2）將原式先加上164，再減去1（3）根據(jù)2016×2014=2016×2015-1，利用乘法的分配律將分子變形為2016×2015-1（3）根據(jù)n+n+1nn【詳解】（1）解：2021×20222022-2022×20212021=2021×2022×10001-2022×2021×10001=0；（2）解：1=1=1=1=1=1=1=22-=2163（3）解：2015+2016×2014====1；（4）解：9======1【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，熟知有理數(shù)的相關(guān)計(jì)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【題型4裂項(xiàng)相消】【例4】閱讀下列材料：計(jì)算：1解：原式=1-這種求和方法稱為“裂項(xiàng)相消法”，請(qǐng)你參照此法計(jì)算：222【答案】14949【分析】先計(jì)算分母，再根據(jù)“裂項(xiàng)相消法”計(jì)算可得答案．【詳解】解：22=2=2=1-=1+=1494910100故答案為：1494910100【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，正確理解題意掌握解題的方法是解此題的關(guān)鍵．【變式4-1】計(jì)算：11×3【答案】49【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可解答【詳解】解：依題意得：1====【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．【變式4-2】（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：11×2×3【答案】27【分析】本題考查裂項(xiàng)相消法．將所給算式改寫成分母為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)積的形式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式===1×=====27【變式4-3】（24-25九年級(jí)下·安徽阜陽·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家基斯頓·卡曼于1808年發(fā)明了一種運(yùn)算符號(hào)叫階乘，用“!”表示．它的意思是：一個(gè)正整數(shù)的階乘是所有小于及等于該數(shù)的正整數(shù)的積，如1!=1，5!=5×4×3×2×1．正整數(shù)N的階乘記作N!，即N!=1×2×3×?×N．裂項(xiàng)相消法可以和階乘結(jié)合起來研究，例如，我們可以把910!拆分為兩個(gè)分母含有階乘形式的分子為根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)填空：5!=________；(2)將67!+78!化簡(jiǎn)為兩個(gè)分母含有階乘形式的分子為(3)計(jì)算：12!【答案】(1)120(2)1(3)1-【分析】本題主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂項(xiàng)法、階乘的運(yùn)用等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)階乘定義直接求解即可；（2）根據(jù)題干材料仿照即可得解；（3）根據(jù)（2）思路寫出過程求解即可．【詳解】（1）解：5!=5×4×3×2×1=120，故答案為：120；（2）解：6===1（3）解：1=====1-1【題型5錯(cuò)位相消】【例5】（2025·海南三亞·二模）閱讀與思考：請(qǐng)閱讀下列材料，并完成下列問題．【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1,a2,a3,?,a根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等比數(shù)列3,9,27,…的公比q為_____，第5項(xiàng)是_____．【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列a1,a2所以a（2）由此，請(qǐng)你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過程——錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計(jì)算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+②－①得2S∴S【解決問題】（3）請(qǐng)仿照小明的方法求3+3【答案】（1）3，243；（2）qn-1；（【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中給出的等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)公式推導(dǎo)過程即可求解；（3）設(shè)S=1+3+32【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：等比數(shù)列3,9,27,…的公比q為3，第5項(xiàng)是35故答案為：3，243；（2）根據(jù)題意得：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an故答案為：q（3）設(shè)S=1+3+3則3S=3+②-①得3S∴S∴3+3【變式5-1】求11+11【答案】）11【詳解】解：設(shè)S=11+11則11S=②-①得11S∴S【變式5-2】計(jì)算：1【答案】1【詳解】設(shè)S=14S=1+②-①得，3S∴S故原式=1【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確進(jìn)行有理數(shù)的規(guī)律計(jì)算．【變式5-3】解決下列問題：(1)計(jì)算：1(2)化簡(jiǎn)：M=5+2×【答案】(1)1-(2)31×【分析】（1）利用“錯(cuò)位相減法”求解即可；（2）利用“錯(cuò)位相減法”求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)S=1則2S=1+則②-①，得：2S（2）解：∵M(jìn)=5+2×∴5M=1×∴②-①，得：5=8×5設(shè)T=5+∴5T∴5T∴4T∴T=∴原式=8×5∴4M∴=31×【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律問題，“錯(cuò)位相減法”的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“錯(cuò)位相減法”的運(yùn)用．【題型6倒數(shù)法】【例6】（24-25七年級(jí)上·河南商丘·期中）請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀材料：計(jì)算：-1解：原式的倒數(shù)是2===-20-=-20+3-5+12=-10．故原式=-1再根據(jù)你對(duì)所提供材料的理解，選擇合適的方法計(jì)算：-1【答案】1【分析】根據(jù)運(yùn)算律，倒數(shù)的定義解答即可．本題考查了有理數(shù)的除法，運(yùn)算律的應(yīng)用，倒數(shù)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式的倒數(shù)是3==-=-21-25+16-20=8故原式=1【變式6-1】（24-25七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）簡(jiǎn)便計(jì)算：-1【答案】-【詳解】解：原式的倒數(shù)===-7+9-28+12=-14，故原式=-1【變式6-2】（24-25七年級(jí)上·福建福州·期中）計(jì)算：-【答案】-【詳解】解：原式的倒數(shù)為：1===-42+28-15=-29，故原式=-1【變式6-3】計(jì)算：-1【答案】1【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，乘法分配律，計(jì)算原式的倒數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：1===-7+20-18+21=16，∴-1【題型7相互轉(zhuǎn)化】【例7】計(jì)算：(1)-3(2)-1【答案】(1)18(2)-【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：-=3×=18；（2）解：-=-=-5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-1】計(jì)算：+0.125-【答案】-【詳解】解：+0.125===-3+2=-1【變式7-2】利用運(yùn)算律簡(jiǎn)便運(yùn)算：-3.61×0.75+0.61×【答案】-【詳解】解：-=-3.61×0.75+0.61×0.75+=0.75×=0.75×=-2.4．【變式7-3】計(jì)算：38×【答案】25【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】38×=38×===25．【題型8圖形法】【例8】）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法．材料一：欲求1+2+4+8+16+?+2令S=1+2+4+8+16+?+等式兩邊同時(shí)乘以2，得2S由②式減去①式，得S=231-材料二：如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①的面積是正方形面積的一半，部分②的面積是部分①的面積的一半，依此類推126=1閱讀材料，解決問題：(1)利用材料一提供的方法，請(qǐng)你求出1+5+5(2)如圖2，若按這樣的方式繼續(xù)分割下去，受材料二的啟發(fā)12+1(3)通過學(xué)習(xí)材料一、材料二，選擇你喜歡的方法解決問題：13+13【答案】(1)5(2)1-(3)1【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變化，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算．理解題意，確定數(shù)字的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知先求出5S（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)部分①的面積為12，部分②的面積為122=14，部分③的面積為（3）令T=13+1【詳解】（1）解：令S=1+5+5等式兩邊同時(shí)乘以5，得5S=5+由②式減去①式，得4S∴S=∴1+5+5（2）解：∵正方形邊長(zhǎng)為1，∴正方形面積為1，∵①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，∴①的面積為12依此類推②的面積為122=14，∴求12∴此時(shí)剩余陰影部分面積為：12∴12故答案為：1-1（3）解：令T=等式兩邊同時(shí)乘3得，3T由②式減去①式，得2T∴T=∴13故答案為：12【變式8-1】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下圖形的一半……以此類推，每一次都取出剩下圖形的一半，共進(jìn)行n次這樣的操作．進(jìn)行的次數(shù)123n剩下圖形的面積1____________(1)請(qǐng)將上表填寫完整．(2)請(qǐng)利用這個(gè)幾何圖形求12+122+123+?+【答案】(1)見詳解(2)1-【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，面積法等知識(shí)．（1）根據(jù)題意填表即可．（2）原正方形分成各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為12+122【詳解】（1）解：上表填寫如下：進(jìn)行的次數(shù)123…n剩下圖形的面積111…1（2）解：原正方形分成各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為12∴12則12故答案為：1-1【變式8-2】在數(shù)學(xué)習(xí)題課中，同學(xué)們?yōu)榱饲?2（1）某同學(xué)設(shè)計(jì)如圖1所示的幾何圖形，將一個(gè)面積為1的長(zhǎng)方形紙片對(duì)折．（I）求圖1中部分④的面積；（II）請(qǐng)你利用圖形求12（2）請(qǐng)你利用備用圖，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求與12【答案】（1）（I）116；（II）3132；（【分析】（1）（?。└鶕?jù)題目中的圖形和題意，計(jì)算出部分④的面積即可；（ⅱ）根據(jù)圖形，可以所求式子的值即可；（2）將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)全等的三角形，然后繼續(xù)分割兩個(gè)小一點(diǎn)的全等三角形，依次繼續(xù)分割即可即可解答（答案不唯一）